Chapitre V
The'oric ge'ne'rale de la transformation des fonctions
e 11 i pt i fi u e s par rapport au module.
A l'aide des théorèmes que nous avons établis dans les chapitres précédents, nous pourrons maintenant donner la solution de ce problème:
"Etant proposée tme fonction elliptique avec un viodule quelconque, exprimer cette fonction de la manière la plus générale en d'antres fonctions."
Condition générale pour la transformation.
Soit proposé une intégrale de la forme:
y'r.dx
on demande, s'il est possible d'exprimer cette intégrale par des fonctions algébriques, logarithmiques et des fonctions elliptiques, dont les modules sont fj, c^,...c^, en sorte qu'on ait:
J^ =^A^.^>^x^-^ ^2i/'a^2 + • • • + ^mi/'...^m+ ^. où ^ , A^...A„, sont des constantes, a^ , x^ . . . x„ des fonctions algébriques
de X, et F une fonction algébrique et logarithmique; ip^, if-j 'ipm désignent
des fonctions elliptiques ayant respectivement c^, c^, . . c^ pour modules. Cela posé, cette équation donnera en vertu de (86):
Ax OÙ
'■'^•^ = A-^ . i|^ ^y ^ + A-j. xi'^^ 4- . . • + k„.xp„y„ + V;
yi» ^25 ys^-'-i/m,
et également
Ax '
Ax ' Aj ' ■ '
Aj:
sont des fonctions rationnelles de .v.
Si l'on suppose, ce qui est permis, qu'il soit impossible d'exprimer
/rdx As par un nombre moindre des fonctions 1/'^, i/'^,... V'mj •! ^st clair, qu'aucune des quantités y^ , ^j, ... y,» ne pourra être constante.
On doit donc avoir séparément, en vertu du tiiéorème démontré dans le premier paragraphe du chapitré précédent:
dy^ dx dy.^ dx dy„ dx
Aj^j ^' Ajt' A.,^2 '^' Ajt ' * ' " A^y^ "* Ax '
OÙ fj, fj, . . . f„ sont des constantes. Cela donne en intégrant,
sauf une constante qu'il faut .ijouter à obacune de ces équations. On pourra donc énoncer ce théorème:
Théorème XllI. Une relation quelconque entre des fonctions elliptiques, ayant c^, c^,...c„ pour modules, ne pourra subsister à moins qu'on n'ait entre les fonctions correspondantes de la première espèce, cette relation:
206) X5{x,c) = —.B{7/^,cJ = -.xs{y^, rj = ... — -. n5(y„, r„,),
OÙ fj, f^, . . . f„ sont des constantes et y^, 1/.2, • ■ ■ j/m des fonctions rationnelles de la variable x.
On pourra donc encore satisfaire aux équations suivantes :
(rs{.r^ , r) = é' . a{x, cj,
]xs{.v^,c) = t".a{x,c^),
\is{x„,c) =é"").c5(a;,c„), où .Tj, x^, . . . x,^ sont des fonctions rationnelles de x-, ou bien, si Ton désigne par c et c' les modules de deux quelconques des fonctions entre lesquelles on a une relation, on pourra toujours satisfaire à l'équation:
208) xs(x',c') = f.xs{x,c)
en supposant x' fonction rationnelle de x, ou x fonction rationnelle en x'. Cette équation donne
dx' dx
Soit maintenant x' une fonction rationnelle de x; si r' désigne une fonction rationnelle quelcontjiie de x', ou pourra transformer r' en une fonction pareille de X. En la désignant par r, on aura donc r = r. Donc en multipliant l'équation différentielle ci-dessus par ?■', on aura, en intégrant:
210) fi'j^ = J'-r^.
Ouelle que soit la fonction rationnelle ?•, on pourra toujours, comme on sait, exprimer
y'*rdx A(x, c) par des fonctions elliptiques des trois espèces avec le module c. On aura donc ce théorème:
Théorème XIV. Si une fonction elliptique quelconque (fx, ayant c' pour module, peut être exprimée par d'autres fonctions avec les modules c^ , i\, . . . c^, ou pourra toujours exprimer la même fonction (fx par des fonctions elliptiques avec le même module c, c étant un quelconque des modules c^, c^, ...c„, eit cela de la manière suivante:
où y et ?• sont des fonctions rationnelles de x.
DE LÉDITEIR.
Pog. //. Ml faut ici reinan|iier la (IKTérence entre les équations réductibles et irrétluotibles. Une équation algébrique est dite irréductible lorsqu'il est impossible qu'une racine de cette équation puisse être racine d'une équation moins élevée de la même forme, c'est-à-dire, dont les coefficiens ne contiennent aucun radical qui ne se trouve dans les coelFiciens de l'équation donnée Dans le cas contraire l'équation est dite réductible. Ainsi par exemple l'équation
.r* -f |/2 . .r^" — 1/2 . .r + 3 = 0 {a) est réductible, car elle a deux racines communes avec l'équatiou
^.2 2j/'2..r-j-3 = 0, (,-;) équation moins élevée que («), mais de la même forme, car ses coefficiens ne contiennent aucun radical qui ne se trouve dans les coefficiens de l'équation («). L'équation
a aussi deux racines communes avec l'équation (>); mais l'équation (;) est irréductible; car il n'existe pas d'équation moins élevée de la même forme qui ait une racine commune avec cette équation. Donc si l'équation
s, + s,: + .V,- + . . . + s^.^z"-^ + c^- = 0 01) est réductible, son premier membre contiendra un facteur irréductible
da la même forme, c'est-à-dire où t^, t^,...t^^ sont des fonctions rationnelles de p, 7'o, r^, . . . r„i et où /< est moindre que k. Si elle est irréductible on a ft = k, et l'expression (f) est identique avec le premier membre de l'équation {<)).
L'équation c.^ — 1^=0 ne peut avoir lieu lorsque (i est moindre que w,
et 71 un nombre premier; car si cette équation avait lieu, l'équation — = 0
serait réductible. Or cette équation est irréductible, (voyez Legendre essai sur la théorie des nombres p. 459). On doit remarquer que cela n'a pas lieu
lorsque n est un nonil)re composé; par exemple dans l'équation x*" — 1 = 0, une lies racines imaginaires est -, et en appelant cette racine «, on
Pag. 12. Les quantités i\, ?'i,-..7',i étant des fonctions entières de
f), il est clair qu'elles restent invariables par la substitution de av-qy- pour/7"
dans l'équation (2); car on "^ pz^\p^) ::= \a\'- . p" ) , fi étant un nombre entier quelconque. L'équation (5) est doue satisfaite par cette substitution, et par suite l'équation (1) l'est de même.
On a.
I/l. = -/o + «'^"'•r + "■■'"^-^^q^-P" -}-.•. + u<-''^\^-^Kq„,.p -,
donc si 7/^j = y^, on aurait en faisant /^" = 2,
et («|X-l«'.-l).2|(a2(,X-l),;2(V-l)).^2^. ..^,/..-l)<|^-l)f,f»-l)r(.-l)).n-l Q (.J
Or en concluant de la même manière que précédemment, on voit que l'équation (0 est impossible; donc les racines y^ et y^ sont différentes entre elles.
Pag. 15. Les coetTiciens de l'équation du degré n' dont les racines sont les quantités v^, z\, . . . v,,' étant des fonctions symétriques de x^, x^, x^, . . . x„„ on sait par la théorie des équations algébriques qu'ils seront des fonctions rationnelles de a, r/j, a^, . . . «„,i.
Pay. m. p est le plus grand nombre premier qui ne surpasse pas n. Si p. ex. n = 5 ou ?/ = 6, on a dans les deux cas p = 5. Soit 7/ = 5 =p, on a les indices c, [1, y, t), t. Si l'on applique plusieurs fois de suite la permutation («igg^) à la combinaison ct'jyâf, on aura les combinaisons suivantes
(jyô'su, yâectîj, ()fce(jy, ôa/iyâ | f.i'Jyô's, etc. En appliquant de la même manière la permutation (,,],4£) ^ ^^ combinaison [iydéc, on aura les combinaisons suivantes
ya()âf, cuyiiô', f-àuyi'J, âfJtay | ftyâfa, etc.
d'où l'on voit que les deux permutations (flyjj^^) et (yl^^^^) sont des pernmtations récurrentes du cinquième degré.
Pag. 16. Voyez la table des fautes à corriger.
Pag. 19. Toute fonction de la forme («) ou est symétrique ou a "> valeurs: donc la fonction f;(.r,), étant de la forme («), doit avoir o valeurs.
Le nombre des combinaisons à 3 qu'on peut former de 5 quantités est
\ ' = 10: donc (fx^ -\- (f-i\-\- (fx^ a dix valeurs, et par suite (fx. — i^x,
-f- (fx^ a un nombre de valeurs trois fois si grand.
Pag. 20. Pour m =r 4 on aura r^ -f- i\ = T-^i 5 ''a + ''3 ^= ^f^ii i\ + '"4 = <?'^3J ''4 + ''1 = ^^i •J'o" • o" tire (^x ^ — ^.r^ + (fx^ — (fx^ = 0; donc /"j -j- ?"., = (/^.«-j = f/.r.j — (fx^-\-(f.r^. Or le second membre de cette équation a 30 valeurs; mais /'^ -\- r„ étant de la forme {a) n'en doit avoir ({ue 5; donc m ne peut être égal à 4. Pour ni =5 ou trouvera l'équation 2^^ = (fx^ — (fx^ -f- qx^ — (fx^ -)- f/.r. dont le second membre a 10 valeurs: donc m ne peut être égal à 5. Pour « ^= 3, v^ + ^'2 ~l~ ''3 sera de la forme (a), et aura par conséquent 5 valeurs.
La forme générale que l'auteur a trouvé pour les fonctions de 5 quantités qui ont 5 valeurs diflerentés, peut être déduite dune manière abrégée, comme suit.
Soit H une fonction donnée des 5 tjuantités x , x^, x^, x^, x^ qui ait les 5 valeurs différentes 11^, î/^, 11^, 11^, 11^, et soit r une fonction des mêmes quantités qui ait les 5 valeurs 'i\, i\, i\, i\, Vy Une permutation quelconque qui change Uj, en u^ est supposée de changer Vp en v^. Cela posé, soit
Les quantités Jî^, k^, k^, k^, k^ sont évidemment des fonctions symétriques de .r^, Xj, j-j, x^, .Tj. Soit de plus
"2"3 + "2>U+ "2"S + "3"4+ "3"5+ "4"5 = ^'j. Q "a"3"4 -h "2«3"5 + ftl'W'a + "3"4"5 = — '^3 |
.ïj, *2, .^3, s^ sont des fonctions symétriques de ii^, n^, ii^, //j, et on a identiquement
"! + *i"!+*2'^î + *a"i+*4=(Wi — «aK«i— "3)(«i— «4)('^— "»)^
Si l'on ajoute membre à membre les équations (I) après avoir multiplié la 1'' par *4 la 2'*' par ^3, la 3"" par s^ la 4"" par j^ et la dernière par l'unité, on obtiendra en vertu des équations (3) la suivante
d'où l'on tire
Soit maintenant
1 u\ + SiU\+S.j^U'\+S^Ui+S^
l , l , ï^, l^, /g sont des fonctions symétriques de ar^, x^, x,, x^, Xy De ces équations on tire
= 'fl^y+f^=K—K'', + h
Ces valeurs de * , .y^, ^3, ^^ étant substituées dans l'équation (4), ou aura évidemment pour la valeur de v^ la forme suivante
1 ÎO + îl«l + ?2"''l + ?3"^ + Î4«*l '
oh p^, /?j , . . . Pi, qo, Qi^- • • 9t ^0"*- ^^^ fonctions symétriques de x^, x^, a-, ,
Soit pour abréger ^o+7^i«i + "-+/'4< = A«,) et Ço+^i^i +-- + 9'4«î = 9'(«i), on a
1 <p(«i) En multipliant le haut et le bas de cette fraction par (p{uj.(f{n,).(piu^.(p{u^) on aura
Or y(Mj).çi(w3).?(/'4).v(/'5) est une tbnotioii entière et symétrique de ii^, //,, «4, ?/5 et par conséquent, en vertu des équations (2), une fonction entière de *j, *., , A-3, s^x mais ces quantités sont des fonctions entières de 1^,1,, /j, /^ et de Wj. Donc le numérateur de l'expression de v^ (7) est une fonction entière de ces mêmes quantités. Le dénominateur est une fonction symétrique de x^, .r^, ^3, .r^, .ij. Ou aura donc pour r^ la fonne suivante:
*'i = «o + 'S«i +«.,«1 + '^3«i + • • • + «..""i 8- Les équations (o) donnent identiquement
En nmUipliant cette équation successivement par u^, ?/.^, v"^ , . . . ii "-*, on obtiendra n — 4 équations desquelles on tirera les valeurs des fonctions w*, //*, n\, . . . ii'\ exprimées par des quantités de la forme p'o + /'^'i" + z"^. «^ + /^8"i 4~ /^V't' '"'o' /^i • • • 1^4 étant des fonctions syniétriques de x^, .r, , arj, •^4? ^5- ^^1 peut donc de l'expression de v^ chasser toutes les puissances de Mj supérieures à la quatrième. On aura donc en écrivant v pour v et h pour u
?' = ^0 + ^" + ^."^ + t,u^ + ^^w-*. Or u est une fonction donnée de 5 quantités qui a 5 valeurs différentes-, une telle fonction est par exemple 0.:r, 9 étant une fonction symétrique et x tme quelconque des 5 quantités. Soit donc n = H.x, et soit t^^.^y- ^i-^^, r^ ainsi que t^^ est une fonction symétrique, et Ion aura
V = r„ + r^x -f ?-^.i-* + î-j-r^" 4- r^x* 10. qui est la forme générale que l'auteur a trouvée"). De l'équation
ï'o +'\^ + '•.•^■* + ^'î--^' + '■4-*^* = i', on trouvera
♦) De la même manière on peut démontrer qiie, si u signifie une fonction donne'e de « quantite's qui prend wi valeurs diife'rentes lorsqu'on échange ces n quantités entre elles de toutes les manières possibles, la forme générale de la fonction de w quantités qui par leurs permutations mutuelles peut obtenir m valeurs différentes sera
rg+r^u + r^û'^ + . . . + r^-iM"
^0' ^i' ''2 • • • '■"-' étant des fonctions symétriques des h quantités. C'est ce que j'ai démontré dans un mémoire inséré dans le 12'"^ volume du journal, Magazin for Naturvidenskaberne.
comme nous allons voir. H est clair qne la fonction
v" = {r„ -\- r^.v + 7-.,.r^ + r^x* + r^x*)'^ peut être mise sous la forme
ï>" = ^j, 4- t^X 4- t^^x"^ + tyV^ + f^x'^
où ta, ^1 • • • ^4 sont des fonctions symétriques de x^, x,^, x^, x^, Xy En effet toute puissance de x supérieure à la quatrième peut être chassée à l'aide de l'équation donnée .r* — ax'^-\-bx^ — cx'^-\-dx — ^ = 0. On peut donc former les quatre équations suivantes
?'o -f- 1\X -f- J\^X^ ~\- ï'jO.-^ -[~ ''4^* = *' ^
y-"'o-j-7-"'j.r + r'\x'^ -\- r'\x^ -\- r'\x'^ z= v*J où ?"'„, r'j . . . ?'"q, ?'"j . . . 7'"'p, ?'"'j . . . ainsi que r^, î\ • • • sont des fonctions symétriques. En multipliant la seconde de ces équations par 7n^, la troisième par ?n^ et la quatrième par 7»^, m^, m^ et/Wj étant déterminées par les équations »'., + m^r\^ + mj'\^ + m^r'\^ = 0 \
^■4 + ^"i>\ + »>.2^'\ + "'s*""* = 0,) on trouvera
( V -\-m ir-\~7nv* -4- m.v* \ — r^—m^7\—m^r\—7n.,r'\ d'où l'on tire pour la valeur de x la forme (10') ci-dessus, en remarquant que les équations (12) étant linéaires par rapport aux quantités m^, 7«., , Wg, ces quantités sont des fonctions rationnelles de 7\, r^, i\, 7''^...7'''\ et par suite des fonctions symétriques de x^, x^, x^, x^, Xy
Pag. 22. «^ — (.V' étant une fonction symétrique, Vi"-'' — i^"^^"^) ^"ra nécessairement /« valeurs différentes et pas un plus grand nombre. Or
|/^(f:* — fj^s'^) étant une fonction rationnelle de 5 quantités, ou doit être symétrique, ou avoir deux valeurs, ou cinq valeurs, en remarquant que tïi est un nombre premier. Donc si cette fonction n'est pas symétrique, »i sera égal à 2 ou à 5. Dans le dernier cas on aurait
^(«'- ,,V) = r„ + r^x + r^x^ + r,.r' + r^x\ mais nous avons vu qu^ine telle équation conduit à des contradictions. Si m = 2, on aurait «> = ]/(«-}-/>]/(**)), fonction de 5 quantités qui aurait 4 va-
leurs; or une telle fonction n'existe pas. Donc Y (u^ — jiV) est uécessaiicment une fonction symétrique.
Pftff. 25. Les coeiricicns A, A^ etc. sont des fonctions symétriques des quantités p^, p^...p,„, lesquelles sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée. Donc A, A^ etc. sont des fonctions symétriques des racines.
On a vu que toute fonction non symi'trique de 5 quantitc's ne peut avoir que 2 ou 5 valeurs, si le nombre de ces valeurs est un nombre premier. On a vu de plus que m ne peut être égal à 2, donc on doit avoir m = 5.
Pag. 28. Si dans la fommle/f^^ = ^^^^^^ (voye. pag. 131
du Résumé des leçons données à l'école royale polytecbnique sur le calcul
infinitésimal par Cliaiichy) «>n pose x = ^ , on trouvera
Jo -^ ^ •^' J r(a+6) Pu(j. ôl. On verra dans le tome second comment l'auteur est parvenu à l'expression démontrée ici.
Pag. 39. ô {t' ^J^l^+ -^) <.)t, («).
On a
ôt= ôR^ — âN= 2m (9), ôt^ =^,)t = m {l 1),
d?' < w par bypoth. (8), ôN=n — m, donc ôv — fW<??i, donc ô ( ^ )<m, par suite (U ^^ . j <('^^ , et de là on tire l'expression («).
On a ()r =
hR+hN
= II, dv < n, donc ()v < ()r, donc d (-^) < (5 (— ) et de
Pag. 40. dt\<m (II), '•.V=7/ — ?>}, donc d{Nt\)<n: àt' <n — m (9), donc '\y^t\ -\- t') < n, c'est-à-dire ds < u (13), ôr = n, donc as < àr, fVé < ds, donc Af < (W.
Pag. 42. èfi^=n)r^ — l's^, donc ''(^,"i) < ''''i j i)s<dr^, ôr^z=Ôr,^ donc ôs <.dr .
Pag. 45. às„-\-2(\->n^x <()r, à cause que àv<C7i. f} et (3^ ont le facteur commun r',„,. (Voyez les deux dernières équations pag. 45 et les suivantes).
Pag. 47. ôp — ôq^n. On a (pag. 39) p^-=t^q-\- p, où di^<dg, donc (^'i — ôq=ôt^=m; or p = Nj)^, donc dp^=r)p — dN=dp — n-{-m\ donc ("ip — n + m — (5^ = m ; c'est-à-di re ôp — dq = n.
Pag. 63. Le théorème mentionné ici que l'auteur .se réserve de démontrer dans une autre occassion, est un cas particulier du théorème III. pag. 354, qui est lui-même un cas particulier du théorème II. de la même page.
Pag. 69. Ayant p,„ < () pour toute valeur de m on en conclut
Pm-lifv,-l fm)<(5-f,,.-l (^-fm
donc en ajoutant
Pag. 75. {m-\-)>)^ = m^,n^ + ?"j>'|^-i + • • • + ni^,7i^. La démonstration de ce théorème se trouve dans l'ouvrage cité de 31. Caiichy pag. 98, 99 et 100.
Pag. 78. ^{k, k< -\- 1<) = 9.mn-\- ^!{k, k') + \i'{0, l) en vertu de (o) en y faisant / = 0.
Pag. 81. Lorsque /(>1, on a cos/^^ — 1, sin;'^^0: donc y^^={2k-\-l)n, k étant un entier; on tire de là y^ + /s + ^'4 + • • • + /|j. = {-^ + ," — 1)t> / étant un entier. M.iis cos /^ = 0 et sin/^ = 1, donc y^ = ^f^Ti -f- ~, donc
dm
ri + r^ + rs + • • ■ ri>. = {^'i+ f'— Ih = ^'/y.;
donc cos(»V/jji)=cos(// — ^)t=0, sin(.S/jj,) = sin((/ — ^)'^= — *^os fi:T = — ( — l)i^, et de là cos(0',j.):= — sin^/y .sin(^/ — i)T=rr( — l):\sin//9,
sin(0'u.)= cos /(y.sin(,// — D^t r= — ( — l)!-^.oos//ff. Pag. 83. On peut démontrer comme dans le deuxième cas que )n„=0 pour « = 00. En effet, ayant A" =0, ou compris entre 0 et — 1, si l'on fait k = — /, l sera = 0 ou compris entre 0 et 1, et on aura
Or 1 — / étant une quantité positive, ou peut prendre une quantité positive r telle que r < 1 — /. Cela posé, on a
{u-\-l — i-\-cf = (u^l—if -f 2c{f(-\-l— 1) + c""
donc
donc si Ton lait /.t > 1 — / — ir + -§— (= ?)
on verra que
ij.
Si dans l'équation (20) on fait « = 1 — r — / et fi=—, on trouvera
(i + l)-^'^Vi-l^±::^,
donc
c'est-à-dire
donc
«î„+p < ( ^^^y~'" , ou /( > 0,
donc en faisant // = 1, 2, 3 . . . /(
on tire de là, comme dans le deuxième cas,
V, «>,<',.".■. .Op(^)'
Si l'on fait ici /< -j- p :=: n, on a
donc en faisant n infini et remarquant que 1 — / — c est une quantité positive, on voit que /„ se réduit à zéro. Or (voyez pag. 75)
m„ = /„(cos(;'j -j- ^^ -1- . . . -I- ;.„) + ]/ — 1 sin(;'^ + ;'.^ + . . . + ;',.)), donc i>i„ = 0 pour n = oo.
Pfiff. 91. II faut se rappeler que (2 + 2 cos2a-)* =2 coso; depuis x=^2Qn
— ^ jusqu'à x^=.2o:i -f- .1, mais (2 + 2 cos2.i)^= — 2 cos.r depuis x=.2Qn
+ y jusqu'à X = 2?.T + -^ •
Pdff. 9o. L"équation (4) donne
dy^ (il/. 2
■ y-^ JfL 1^^ . —^ , pour a = oc.
Or
ll^^r(f±fLy^^^'^^^J^^=f\-^.{i-a:)-dx, lorsque « = oo
De la luénie manière on trouve
^l^=f\y->{l—x)?'-'dx, et "^^ =if(-\-d-\-y)f^x-?-n—x)-^dx, lorsque « = oo. Eu substituant ces valeurs dans l'expression de C ci-dessus, on trouve
(Voyez la table des fautes à corriger.) Or
Jo ^ ' r(a+^) ' Jo ^ ' r(2-a-^) (l-a-p)r(l-a-P)
d„„c r='-<'i;,''''--l','-<»-^<'-^'; mais i-(«)./-(l-«) = ^fT ^
r(a+p).l(l — a — p) sin(n7r)
donc en substituant et réduisant
C =z .-r(cot(«.T) 4- cot(p^-i)).
L équation f = — * — —- s ob-
tient en mettant dans l'équation (o) la valeur de C exprimée en intégrales définies; c'est-à-dire en mettant cette expression de C au lieu de .T(cot(f<T) + cot {fin)).
Pag. 98. Si l'on différentie l'équation
on trouvera
s'^~\\—xy
[a{\ -f «)(« -f fi) — («« + (1 + ./),:-0(-^- + «)] ■■
doue en intégrant
intégrant • = a(l-l-«X«+p)/^ , \^J. —(«« + (1 + 4^)/ , \aJ'^?
divisant cette équation par « (1 -|- o), mettant pour les intégrales leur valeurs en y et -^ et pour r sa valeur en x, on obtiendra
da V « "•" 1 + ff A' «(l+fl)(j:+«)'+^
Pag. 99. En multipliant l'équation
par fl?(l + a)'', on obtient
//o?(l+«)' = /* 'f^l+i^ A-='-'(l— ^■)'^-^r/.l• = /*V-'(l-.r)?-^f/a•,lorsquea=^o,
en remarquant (lue —^ — "^ pour cette valeur de a se réduit à l'unité.
Pfl^r. dOl. La définition de la fonction r{i') est, r{(()= f z'^-^.e-'dz.
xiy-^fi-^'dx; donc en écrivant — au lieu de « et divisant par 2 on a
/^«r/. iii. Lorsque x est positif on a <r/.r; donc en intégrant depuis .r = 0,
c'est-à-dire log(l-f-.r) < .r pour toute valeur positive de x.
Pag. 121. La valeur de ipx^ se trouve par le procédé employé pag. 411 et suiv. pour trouver la valeur de «'. Voyez Cauchy cours d'Analyse de l'école royale polyteclinique pag. 71.
Pag. 124. On peut toujours trouver une racine « de l'équation uv- — 1 =0 telle que toutes les racines de cette équation puissent être représentées par (f, a^, h^, . . . f<!^"^. Voyez Lagrange Traité de la résolution des équations numériques, Note XIII. pag. 243.
Pag. 126. Ayant c.^ = cos ^^^ -\- y" — 1 .sin — ^, on a «^.^ :=: c^"^
2(a— 1)n 1 ,/- . . 2(a— 1):: 2^ i/" ^ • 2tc t,
cos -5^ ^ \-y — 1 . sm -!^- Ll = cos — — Y — 1 . sm — . D
onc en
vertu des équations (ôô), si i\ = c-\-dl/^ — 1? on aura iy i ^c — d^ — 1- On en conclut d'après (40)
et «V-i = l^i^- '^V- 1) • î^{c+dV— 1), donc
«'(,! = «^i, et «Ji, = «'^ = *V-i-*'r
P«^. iJ6. L'équation (70) se trouve comme il suit.
Lorsque n est un nombre entier positif, on a
2"-i.(cos a.-)"=cos w.r+??.cos(?«-2).r+ ^^ . cos(«-4):i.-4- ^j^.Ç'^ '• cos(?«-6):r-|-... (a)
' où le dernier ternie est .cosa-, lorsque n est impair,
et ï. . , lorsque ii est pair.
\^ En mettant mx au lieu de .r et désignant par J7„,cos(wj)" la somme de toutes
les valeurs de (cos(?«î))" qu'on obtient en donnant à m toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu'à /(, on aura
2»-!^ (cos mxY=^ cos mîix-\-7i2^jios m{n — 2)x-\- ~~JJ^cos m{n—4)x-{-...{o) Or
ï^ sin(/n+A)2i — sin.ls 2. cos ?«;=: '■ .^ r , = —
Faisant ici z = ^^, k et // étant des entiers, on aura
2J cos m . = 0.
Donc en vertu de l'équation {b) en y faisant x = -^, lorsque n est un nombre impair =2/; + l,
l'„.(cos»«.^y''^' = 0; (c)
et lorsque n est un nombre pair = 2p,
i (C0S.«. ^y = JL . ,2,(2.-')(2;^-2).. ■(,.!) '7" V [j. / 2-? 1 . 2 . 3 . . . ;j
Soit a= — et
(.1- — cosfl) (.r — cos2rt) {x- — cos 3«) . . . (x — vos fia)
= .1-!^ + A , .ri^-» + A^x^--" + J^xi'-^ -\- . . = 0 ) ^^^ Cela posé, on sait qu'en désignant la somme des racines de cette équation par S^ , la somme de leur carrés par S^, la somme de leur troisièmes puissances qar S^ etc. on a
