S,+A^S^-\-A,^S,^-\-A,S\ + AA

S„+A ^S.,,+A.^S,,^ + . . . + A,S.,, + . . . + A,,.,S^-\-nA„=: 0 Eu vertu des équations (c) et (</) on a

A^P+, — 0 et A.,y-~^ 1 .2 .3...;, •'"

donc S^ = 0, S^ = 0, S^ = 0 etc.

S^ = h', '^4 = 1/'» '^6 = T6-."' '^'8 = T2F-/' etc. Ces valeurs étant substituées dans les équations (f) donnent

A^ = X l>-(l'-*)il—^) etc. ' * ^"^ 1.2.3

et en substituant ces valeurs dans l'équation (e), on obtient l'équation (70) de

l'auteur.

Faq. loi. hi dans 1 équation 2^ cos mz=:x — i — ^ ^— on iiose

1 •" 2sin^s ■

c^ — ^-^, A" étant un entier, on aura

-^ / 2kTZ \ ,

2J ( cos w . ) = — A.

En comparant cette équation à l'équation (b), après y avoir fait x = .-^JL. , on en conclut, lorsque p est impair

c'est-à-dire

donc

i" fcos/w.-^y=— i. (<ç)

Lorsque p est paii", on trouvera " / 2:: V i p(pD Pip-mp-^)-(^+^)] p(rl)(/'-2)...(f + l)

2P-'27 (cosm.--^^f==— ^ l+»+^î^il+...H li — lUi. ^i 1. //,

•^ ^"-^l^ '( 2 1.2.3...(|-l)Pl.2.3...(|)

et de là

2/ (cosm.- — -) = - ; i. (h)

Si dans cette équation on fait successivement p=i2, ^, 6, 8 etc., on aura

i (cosm.-?^y = ii i, l'-'V 27^ + 1/ 2 *'

i (cos,,^.-^y=^-!? 5 i.(cos^.-?!Ly Ê^it

etc.

Soit maintenant

réquation dont les racines sont cos — ~, cos — ^, .. .cos—^, on trouvera ^ 2» + !' 2// + 1' 2/1+1'

aisément par ce qui précède

et en substituant ces valeurs dans l'équation (i), on obtiendra l'équation (75) de l'auteur.

Pfiff. 148. b — Y{e''-\-c')

l^ag. 149. Des équations (19) et (20) on voit aisément que

^(WIW + f<) =:= + ( l)"'.y«,

(f.{nm + «) ^=^ i (~ 1)" • f " 5

donc en mettant imi -f- « au lieu de « dans la première équation on a

Png. lo4. La valeur .i- = — a -\- {2iii -\- 1)0 -\- {2>i -\- l)ai qui satisfait à réquation ,f (-^) = ^, rond f(^^)= i et F (^) = ^, donc elle

représente la valeur de ({x — (fa sous la forme — . Or la valeur de cette

fraction n'est pas égale à zéro, mais à — 2ifa.

Pag. 164. En vertu de l'équation (2*2), t\itm-\-)mi-\- ('.)■={ — l)'"./«, ou a

= ( — l)""./! — ^^ — ^+-T-^^^ — f'J + — ^ cj/ ) en écrivant/// pour 2/// + (2//+ 1)//. ^ ' ' V2// + 1 ^ 2/î + l ^2// + l / ' ^ \ ^ >l

— JL'^V'C'"— M— 1) =— V (— //) — >j(— //+1) — U'(— //+2) ... — ni—n+k — 1). i '"

Or on voit immédiatement que la somme de ces trois équations est la même chose que

+ u(0) + .'(l)+ ..-f.i(-l+ZO + ^(*H-'i(A-+l) + ---+-'('.'+")- Png. 171. L'expression y ((>'-{ » + ^ ■ ^M étant identique avec l'expression (51) y f(— l)"+i^.;; 4- ^"" + !^^'" ) lorsqu'on fait ?/î=:2A- et u = 2k', il est

V ji// -ri/

«•lair que la première expression est une racine de l'équation (f {2/1 -\- l),i = ''"^' quelle que soit la valeur entière de k et de A'. Donc pour faire voir

que (p L'j -\- " " "" °' ) exprime une racine quelconque de cette équation, il

sufilt de démontrer que toutes les valeurs de cette expression qu'on obtient en donnant à k et à k' toute valeur entière depuis — ti jusqu'à -j-^« sont différentes entre elles. En effet dans le cas contraire on aurait

'^(^+ 2«^i ; = n^ + ^;;Ti->

d'où

( l)"-+ix = 1

2k' = 2l'-\-i2n-\-l)u, donc 2(A- — r)=.{2n-\-l)m; donc m doit être un nombre pair. Or k et /étant compris entre les limites — ?^ et -{-ii, la plus grande valeur numérique de 2{k — l) est Ait; mais »« étant un nombre pair, la plus petite valeur numérique de m{2ii-\-l)^=2{k — /) est An-\-2, ce qui est absurde. Donc etc.

Paff. 175. On voit par l'équation (tJS) que l'équation (80) est du degré 2ti + 1.

Pat/. 174. Soit pour abréger |/(q, + l/(^,î — ^r^')) = ^1^ on aura

r:.p.„ = 2: r-'-^fO + ^X

•In -" ""^li. 2„ ^ \i I 2«+l /

donc

Pff^. i5J. Si a„,^=a^, il faut que f;"-i^ — 1 ou «"-i^+l et par suite que «2i'"-|j.) — 1 soit divisible par 2n-\-\. Or m<)/, /i<n, donc m — fi<n: donc 2(»i — fi)<2)/. On en conclut que f.^""-!^' — 1 n'est pas divisible par 2n-\-l, en remaripiant que « est une racine primitive du nombre 2?i-{-l. Donc il est impossible que «„ = a^^-

On a — = k, k étant un entier, donc

2« + l Or « étant une racine primitive du nombre 2» + l, «" — 1 n'est pas divisible par 2«+l) il faut donc que

= un entier = A*»:

donc

a» = (2«+l)Ar,. — 1.

Pag. 18S.

]A'fc=(;.^(0 + eV'(«f)+6>'(«'O+---+9''V'(«''0+---+s^""'^'-9'V"'*)-

En mettant ici «"*£ au lieu de f, il vient

|Qr»-m>«r^2^^^j Q(„-m+iifc^2(f^j)| __ Q-mJr |/^,^ gu temarquaut quc ô"=l

et Ç)'(«"+'"é) = çi^Ca"*).

Pa^. 188. On a en général

Faisant •/{}»)= V ('»?,")? *>•* ^"1"^

Donc

En posant successivement dans l'équation («)