xp{0, f,) = ^{0, 0) + ijnio, f>) + '/'(o, —f

+i'i^z'jv(-m,/i)+if'(-»w-/i)).

Substituant dans l'équation ((5). on trouvera

i- i t/;(«i,//)=t/.(0,0) + i' (V'(0,//) + t/;(0,— //)) + i'Jtf'KO)+i/.(-»i,0)))

■" " \ir)

En mettant dans cette équation log i/'(w, //) à la place de \p{m, /»), et rentrant ensuite des logarithmes aux nombres, on aura

^.i^(^'A') = ^(O'O) . 7T^^(O,/0 . ^'(0, - f,) . n,jim,0) . H—m,0) )

X Iinj{in,fi) . rp{—7n,—f,).nnyim—p,).^p{—m,^) Si dans l'équation (y) on fait xiim,f.i) = {—l)'^i'.(p (/^ + ""^^^i')' «" ^'oi*»'" sèment que ^ = -^ — ^— ^ pour ^ = -f- .

P«</. iS5. Voyez les équations (22) et (16).

Pag. 191. L'équation (13) donne 9(^ + a)-<P(^-«) ^ \ 9'^ .

Si dans l'étpiation (18) (fia — y)- 9 (« + g^) ^^ — "^' ^" "*^* " + y au lieu de «, on en tirera \ -\- e-c^(f-u.if-^>z=\ "^ ^ —;

cp(P4-a).y(p— a) ç^

Si dans l'équation (16) h.^^=i — /"(« + ^' )' ''*^ "^^ ''*^ ^" ^* ^" ^^ '"^^ leur valeurs en fa, on en tirera

et de là

En mettant cette valeur de çj'a, et 1— /"V au lieu de c'y"/?, dans l'équation (14)

/■(,? J a).fŒ~-a) = l-cV»-cV3-e"-c'y%.92g

on trouvera

Si dans la dernière des équations (18) on met a + ^ à la place de a, on aura / yu-\- —-{- -^J . /'(^« -[- ^ j = — • A l'aide de cette équation on peut

chasser — de l'équation ci-dessus par où on obtiendra

/(^+a)./(g-a) ^ ■^'aI'+V

On trouvera de plus

En substituant ces valeurs de F'^a et (f'^a, et mettant ^~^ pour g;^,? dans l'équation (14)

il viendra

Fi,^+a).FQ^^a) = ''

En éliminant — de cette équation et de celle-ci

on obtiendra la dernière équation de la page 191.

Pag. 194, Les formules de la page 193 donnent

•' V2«+l 2/ ^ V2 2 2w+l/ mï^— — "'" ^

" 1 AS ? V2^2h+1/ * V2^2«+l/

X JX..

•' V 2 2w+l/ * V 2 2 2«+l/ i(^ ^ jxTO\

•^ VT"*" 2« + l / ' V2"*"T^ 2w + l / a/'ii ^' ""J+t^-PA

•^ V2 2«+l / ' \2 2 'in+l ) i^i^ ^ mo-jjiaA

En faisant /5 = 0, on aura

^ VY"^ 2«+i / "^ \T^T^ 2//+1 y

/u OTo — a

^jj^ .1 i» *? V2+^«+i y

^ V"2+ 2« + l / *? VY+T"^ 2« + l /

En divisant l'avant-dernière de ces équations pai" la dernière, on obtiendra l'expression (150') de la fonction f{2n-\-l\^. Par un procédé tout semblable on trouve l'expression de F{2n-\-i)^.

Pag. 193. L'équation (18) donne

donc

(a+wio+[i.t3/\ I 1 » 1

2« + l / ec /a.+m(ô+\t.m o xsi\ ec /a-(«-?n+^)u-(H-[j.+^)OT\

/g — mo — \i.m'\ » 1

V 2« + l / ec (o. + («-ot+^)m + («-[j.+^)a8 Y

et, en remarquant que (/:(« — y) = — ? (« + y), 9: (« — ^') = — ? («+!*).

on aura

/ a+OTo — \x.m\ t

^V 2« + l / ec /a— (h— w«+rl)u+(rt— [jn-^)ai\'

^V 2^Tï y

(a — 7HO+[jLn/\ i 2« + l / ~^'

De ces équations on tire

= — ^i„i (-i)-+!^v("-»^, «—//) + -ii'^i'(-i)-+!^v',(^/-7»,«-«).

Paff 197. Lorsque ^ = .^(«), on a a =fj -,^^—Jf^^^-^^, donc ^ = (1 — (c»+ e«)x«+ cV^*)-' = 1 + ^(c*+ e^)a;* + . . .

d'où en intégrant

en remarquant que la constante arbitraire due à l'intégration se réduit à zéro, puisque « s'évanouit en même temps que x. On tire de là

Donc faisant x converger vers zéro

— = = 1 pour :r = 0.

X epa

Cela posé, en remarquant que y( — «) = — (pa^ il est clair que le développement de (pa suivant les puissances de a ne peut contenir que les puissances impaires de «. Donc

cpu = aa -|- bu^ -f- f «* ")-•••

et parceque — = 1 pour « = 0, on a a = 1 ; donc

(pu = « -|- ba^ -\- cu^ -f- • • •

donc

/ a \ a I ^oc^

OÙ A convergera vers une limite finie pour des valeurs toujours croissantes de n. Pag. 198. Si /"" n'a pas zéro pour limite, il s'en suit que -^—=2

"*" "^ ^^' aura pour limite une quantité différente de zéro, quelle que soit la 2w + 1

valeur da jM.

Pag. 200. En posant

e(»)'— 9(w+i)+o(»+2)— o(«+3)+...=^o(w)+^ie'('0 + ^2^"00 + ---

où ^'(n)z=:^^^, 9"(«) = ^^ etc., on aura en mettant 7i-{-l au lieu de v, (In dii"^

e(w + l) — 0(«4-2) + 6(» + 3) — ...=50(« + l) + 5le'(?^+l)l^-iÎ2e"("+l) + .•• donc en ajoutant membre îi membre

Or

e(w+l)r=0(w)+e'(w)+ifJ"(«)+^Ô"'(«)+-»6'(*«+l)=6'(«)+6"(/O+i6"'(")+-.etc. On tire de là en substituant et réduisant

G(w) = 2/?9(«) + 56'(«) + }jBr{)i) + . . .

+2fi,0"(«) + • • •

On en conclut 2B =z 1, doue /> =^,

J54-2fii = 0, donc i5j = — ^, ^B-\-n^-^2B^ = 0, doue /?2 = 0, etc. doue fj(//) — fj(«-f- 1) + 0(m + 2) — ... = |0(w)— l-0'(M) + ^3f|"'(«) + . . . i'ff;^. 205. L'auteur dit que la limite de la quaulité

'^"{/■(.£n)+f~(-')"[<i:s^)+K^)]+4;[/-(Sï')+/-(2f)]l ■

est égale à zéro, et qu'on aura par suite

/■„ — liiu(— 1)"^' 2: {—iy.tin — m, ?^— ,«)

Or le premier énoncé n'est pas juste, et par conséquent ni le second non plus; mais la faute résultant du premier, est détruite par celle du seconde, de sorte que le résultat, c'est-à-dire léquatiou (160) se trouve juste. C'est ce que nous allons voir.

Considérons d'abord la quantité

* V2»+l/ ^ V2«+l/ 2ff "■ ^ f( "'" "i Soit pour abréger ^ =^„.,

^ V2«+iy' V2«+l/

OU a

Soit »' le plus grand nombre entier compris dans ]/«, on aura -/?, + /?,- 7^3 + ... H- {—lyR, = vR, où R est une quantité finie.

Si m surpasse y?i, il est clair que R„ — R,„^^ est de la forme v„, r, ayant pour limite zéro. On' tire de là

oix k = "~^ ou = — ~^ — selon que n — v est pair ou impair; dans le

premier cas on a 5 = 0 et dans le second B = 1. Donc

et de là

fci|f(«.«-«.«+...-(i,-.«.)=±,-i,-(i|i|^>

dont la limite est évidemment zéro.

Au contraire la limite de la quantité

n'est pas zéro, mais une quantité finie indépendante de «, et comprise entre les limites 1 et — •

En effet soit pour abréger /•(^t^) + /(^Z^) =i?„ on a

Or on voit aisément que cette équation peut être mise sous la forme

où Py est une quantité finie pour toute valeur de fi ainsi que sa limite pour des valeurs toujours croissantes de ?i. On aura donc

(-1)" V i? -td)! 2f(^^)\^- f(J^) -- 1 y pi.

2«+l V^ ^ 2h+1 ' ' V2«+l/ L^îJ-' V2w+l/ (2«+l)* 'T'h- N

Maintenant /"f ^"' ) est compris entre les limites 1 et—, donc ^ 2/*(-]^^) ' V27Ï+1/ ' e ' 1 (^ ' V2«+l/

est compris entre les limites 2n et 2w La quantité P^^^ étant finie, on a

" 1 " nP

2J P^=^nP, où P est fini; donc — — -rr ^' Pu. = -7^ — ttt dont la limite

est zéro. On voit par là que

(ri^ V 7? ,

où C est une quantité moyenne entre les limites 1 et — . Donc en faisant // croître à rinfini

quantité indépendante de a, comme nous l'avons dit plus haut.

Venons maintenant à la détermination de la limite de la fonction

La dernière des équations (18) donne

et l'équation (16), /-(, + 1.) = 6. |j, en y place de f, devient

La première des équations (18) donne