o I ta
mettant «
on tire de là
fe =
donc
Le produit de ces deux équations donne, après avoir divisé les deux membres
par e^c"^,
on trouve de plus
')-Ki+T-')'
donc OD aura
Cette équation donne la valeur de ip{m, fi). 2m+1 2w+1
2<p f!:L Viï'f i!L-\/r^)
^){m, fi)
donc
-(^K/0-|oK/.))=^
(2«+l)2 (2«+l) OU bien en faisant pour abréger -— ^:=:A"
Maintenant en remarquant que
^^^-^<2^) ^' 9Ak^-^<2^)] '
g/ « \ gg . B.a.*
OÙ J et £ sont finis.
il est clair que 7?„ peut être mis sous la forme
""-çA- A-"^2;;Tr'
donc, en remarquant que -!=±i-= -i^LJL^ =A:+ ^r-^, on aura en faisant pour
abréger 2^ = /,
On tire de là
Donc
fini.
<fk 9(^- + 0 ç^k+<fkfk.Fk.ol "^ 2«+ï'
mais F*A" — e^(f^k=l, donc
9* 9(^ + 0 <?'^k+çk.fk.Fk.<fl ' 2m+1"
Le second membre de cette équation est de la forme
o fk . y
2»+l' ç2yt ~^2« + l'
en remarquant que y?= ç (^) = ^ + (^, où ^ est
Déplus iL JL=-!=-i+-^ = J^ L + J^.
On conclut de là
n n » C fk ^ \i »
Cette équation a lieu, soit que la limite de k == — î^— soit finie ou zéro. Dans
le dernier cas on a
fk Jl k-^fk — ^n k\\ + Ak'^)—k-^ — Bk'>' A—B
Or on trouverti aisément que lim {A — -S)= — (^ ^ ). Donc dans tous les cas la quantité R„, — /2^i est de la forme
2n + l ~*~2«+l' OÙ A„, est différent de zéro.
Cela posé, considérons l'expression
v|l ëf •"- = I • .1^ («.-«.+/?,-«. + . . .+(-«-«..). En vertu de ce qui précède, on a
T|.ëT-'^-=f(5W'(-<» + ^- + ^- + -+^* + ^'+2-^- OÙ' k est égal à u — 2 ou à n — 3 selon que n est pair ou impair; dans le premier cas on a B = 0 et dans le second B = Rn-i- Dans l'un et l'autre cas on aura
^^iA + A^ + A, + ...+A + B)=.È^^fiS.=A'„
OÙ A'y est indépendant de u.
Donc
et par suite
2 5 V (-1)- ^ 1 g ^V , "^ « - J"-l-^,. donc faisant ?< croître à l'infini,
OÙ A" est indépendant de «.
C'est-à-dire l'expression
est indépendante de a.
En changeant le signe de i, on voit de même que la quantité
est indépendante de «.
On conclut de là que lin. i:"^J- ir(rii>n, //) + V,('«,/')) = ^ ^S\i— 1)-(«K")+ ^My')):+K,
K étant indépendant de «.
En vertu de ce qui précède, la dernière équation de la page 202 donne
/« = + ^ + A^+ i- 2' >'„.(- ir(0(/«,//) + 9iO«,/')).
En substituant ici les valeurs de 6(m,//) et 6i(w,/') et en réduisant, on aura
/•« =4-C4- KA- J-^ l^' (—1 )"' 2[a-(?«+A)o)] ^ / I x„ 2[a+(m+j)o] i
— e ';;'l^(-7"A ' •[a-(,„+i)u]-^+(p.+^)2t32 -^'-^ ^ •[a+(7«+i)o]2+(|ji+^-)2t3'if
Faisant maintenant a=~, on trouvera + C 4" -^^ = 0» «"e qui donne l'équation (161) de la page 20i.
Pag. 204. L'équation (162) peut aussi se déduire de (161) en changeant a, e, co, o, f{c'.i) respectivement en ci, c, o, OJ, Fu.
Pag. 207. On a en général '— = 1 + PizUL L
l iL ^('■ + *) 1-^
donc
(mo + ij.n3/+À-)'- (/rto + jj-raî + A-)*
(OT0 + [J.C5î + ^)2
' (2n + l)2 j; ^ (;7JO+U.t3? + Â-)2
(27^ + l)2 ; (Ȕo+ij.n3/+i-)2
Z-»^. 209. Ayant i^ 8 (i) = 8 (1) + , (1) + . . . + » (i> on en tire
Soit i^ =: a:, on aura n
ou bien
n donc en faisant n infini
liml. ^^=9(^), n dx
et en intégrant
lim — 26(a:) z=p{x)dx, c'est-à-dire
P«^. 2i2. Il faut ici se rappeler que H '^i{n — m)-=JI \p{m — 1), donc
nn 1- 9^ Uzj/z 1 ^-^ \
iP«^. 2M. Voyez Catichy Cours d'analyse de l'école royale polytechnique pag. 568 et 570.
sin^a — sin^'é cos'6
Pag. 216. tang (a -|- è) . tang (a — è).cot*6 =
cos'^a — sin*ô sin^i sîn*a
sin^ô
\ siii^ô / cos^é cos«i
Pcj7. 2i7. On a (voyez pag. 574 de l'ouvrage cité ci-dessus de M. Cauchy)
2 „!^V ^ (2tJ. + l)''':î''/
Par cette formule il est clair qu'on aura
A" + A-« -Ti" 1^.
(2lJL + 1)2^''
OÙ ^2(j.+i est déterminé par l'équation
or cette valeur de ^2,^+1 est de la forme ^; donc
