V' — r-^ — pour 1 -A
d'où l'on tire en réduisant
donc en substituant cette vîileur dans l'équation ci-dessus, on obtient
Pfl^. 221. En remarquant que — -^ — = 2J^ ■ —, on voit aisé-
ment qu'on pourra aussi mettre la valeur de — - sous la forme suivante
"g^ A^ ft^ , A-^ ■
Pag. 225 Tout nombre premier de la forme Av-\-l est une somme de deux carrés. Voyez Legendre théorie des nombre pag. 60 ou pag. 178.
Pag. 228. On voit que v est une fonction rationnelle de ô et Y^ — 1, en se rappelant que les coefficiens de léquation Rz=0 sont de la forme A-\- B Y — Ij où ^ et ^ sont des nombres rationnels.
Pag. 229. Il faut observer que les nombres n^, 'n^,...7i^ doivent être
différents entre eux, car si p. ex. n^ = 71., , on aurait — ^ \- ■ — — =
Donc la valeur de la fonction qp ( — —) ne peut pas être exprimée par des racines carrées, si n contient un facteur de la forme (i-\-2"'y, p étant plus grand que l'unité.
Pag. 255. La valeur de -^ pour ^ = 0 se tire de l'équation (233). Pag. 253. On a e.=.-\ ^ et y=k\ix, donc+e,iy= — x:^ — ,
li^i*,y=^l y^.. ^ • Si maintenant dans l'équation (237) on fait e^^ —
on aura
<px
en remarquant qu'en vertu de (250) on a (p(^ -\-{2ïi—tn'yt) =(ff^—(m'-^l)c(\ et que q>(~) = — -i-. Donc
et en changeant le signe de i
gî
1 + e^iy^ (1 — eix) i .
Pag. 236. Les équations (238) et et 243) donnent
donc en remarquant que ^ est seulement du degré 2ii, on voit que le coefllcient de ^^"'^^ dans cette expression de R est
9i£ (ça . ç2a . . . çwa)''
ç, (f) =^ et 9,{~) = ± ^ en vertu de (247) et (2S1).
Pag. 259. L'équation (273) se tire de (272) et (268).
Pag. 240. L'auteur dit que l/(-^—^j est positif par ce que ^^j est réel,
mais il me semble que tt^ pourrait être réel quand même la quantité yf ~^^ j
serait négative, car en vertu de (249) on a «^ = + ^ V \~~^^) ' ^^ raison
pourquoi T/( , ^ ) est toujours positif c'est que y est égal à zéro en même
temps que x, que ]/"(! — .r") et Y{l—y-) sont tous deux positifs lorsque x et y sont très petits, et enfin que y devient égal à Tunité en même temps que X. Eu effet l'équation (271) donne pour .r = 1
Or 1 — c^'»» = f\, et 1 + eSi.\i = F\c, donc
de plus ^ = f,y (^« + l) = y („ + |.), c étant = 1, donc
/ = - , donc
e'.+*.ç.f L. ii).ç.f^. Jiy..ç.f^^:zi. »\
nY^2^>'^-U^2;;7r;-^-U^2;m)
^ \2«+l 2/ ^ V2//xl 2/ ^ V 2«+l 2/ Or il est facile de voir que cette fraction est égale à l'unité, en remar-
q,iantque,-(-+-^) = .r(2— ^^^Zr)^'^ C^riT— 2> "*"" ^«'^ voit qu"eu donnant à ,// toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu'à n, les facteurs du numérateur seront les mêmes que ceux du dénominateur, mais dans Tordre inverse. Donc a: = 1 donne ^ = 1.
Pag. 241. En faisant dans l'équation (271) .r == ly r---îi—j et ayant
égard à la valeur de /', on voit que cette valeur de x donne y ■= ( — 1)". En
effet, soit pour abréger — - — = «, on a
l+e2o2(aa)9
L = r; ((2/< + 1) 1) . V ((2//-1) I), donc
or .f {2n+ 1)^ = ^ '^ = 1, ^tVe.^e-^K^^ ^ .^.^ . . .^{2n-l)^y,
donc y = ( — 1)".
Suivant la définition de la fonction çk on a
a:=: / — — — lorsque .r = a«: donc
Jo / [{l — j-2) (1 + e2 j2) 1 ^
0 ^lO—y^)(i+^W)'] •/" v/[(i-^-')(i+e^^-^)] ' 2 -~ 2(2«+i) '
donc
^0 •/[(!- 3,2) (l + eV)] 2(2« + l) ^ -*
en remarquant que
/ ^<{x)dx ^= — / \i{x)dx, lorsque if ( — x) = — ^pix).
L'expression de y (280) s'obtient en éliminant f de (271) et (272), et en
mettant ensuite pour a . ( — 1)" sa valeur (2« + 1) . — -
Dans le cas « = — ^ — l'équation (265) donnera en y faisant c = c^ = i et +(— 1)"=1:
Soit m.2fi = {2n-\-l)t + «„ où t est entier, et c„ entier positif et moindre que
— - — , on aura
(ai , 2u.ot\ /ai , a„mi < . •\ / ^m /ai , a^x3i\
2^+"*-2«Tr)^'^(2-±M-+H=(-i)nT±2^)
On peut donc écrire la valeur de — comme suit:
P«^. 242. On a
remarquant que cp (7,1 . -^) = 9 (^^ot + ^-j) =± 9 ("2;^; lorsque 2fi = {2n-\-l)t±a^. Or
" -LH-i^- -2-IH2^- -2-ln2;^- -^;---H2^' "2-;J
Pag. 245. La première des équations (281) donne
— ; x = œ( — - — ) donne
donc en substituant la valeur de e".
et par suite x = cp(~ — ) donne z=—.
Lorsque x = zy — 1, z-=0 donne x^O et ^:=0, et z=. — donne x=: — I^ et, en faisant pour abrésrer — ^
e-^i ■ (1 — ç2a)(l — ç22a) . . . (l — ç'^na)
- -feâ^ = ^ (^ +..)■* (^ -«)='- (t + ") (^'»>- (*5). (!'))
l+e292ij.a
en substituant la valeur de — — et ayant égard à la formule
Po^r. 2&1. L'expression de — se tire de (248).
Lorsque « = et ?« = — 1, on a a = — - — —,
etc.
Pfl^r. 2o2. Si l'on fait dans l'équation (257) c = i et e« = — )5;'», on a ( — k^)''.{q)u.ff2ct...(pnu)^.(pe.(f(ê-\-a).(f{t-{-2u)...(p(f-\-2?iu))
=9,«+.p(é4-«) + ç(. + 2«)+... + <y(^ + 2mO) ^""^
^^ ^^(m+i,)oH'n-l>.)m Sj y^^ f^-^ ,„ ^ i «^ aura a=- -^
et par suite
En faisant maintenant f = -^ — - • ^^ , ou aura
^{^+t^«) = -<fi-i^[^■^)=A-^^^A — 2>
(f it -\- -^^^r— «j = — y(^) = — 1 lorsque ?« est impair
et 9 (e H ^ — « j = 1 lorsque ?^ est pair. Ou tire de là
9)f.(jp(e + u).(f{e + %') . . . </({ + 2««) = |
Donc si l'on fait y f ^ . ^ j = sinO't^), on tirera des équations (a), (b) et (c)
( — A"Y.(sinô".sinO"". . . sin9'-"')'-(sine'.sin0"' . . . sinO'^^-^'f )
= + 2(1. — sin6' + sin6"' — . . . + sinO'^"-*') )
Si l'on fait ensuite e =- t" H~ t"~I~ -v^? ^Q ^^ rappelant que
^/i-TL 2^2
on aura k.^{^.^uu) = k .^{^^ --r" i^^TT' 2 J = / 4^-1 .\ '
A-.yfé 4" "^ ") ^ ^ lorsque ?^ est impair
et A-.çff -] ^^ftj= — 1 lorsque n est pair.
Donc
^<2;;tî-2-; 192;:tî-2V '12;;tï-27 ^
Donc ou tirera des étiuations (a), (b), (e( et (f):
^ ' (siii9'.sinô"'...siu 9 1. ■-«-'))« ^ ' — -*'
Donc l'identité des deux expressions de /i, celle de 3fr. Jacobi et celle de r.iuteur est démontrée. Si Ton divise l'équation (d) membre à niembre par l'équation (g), il viendra
/:*".(sine'.sinO"' . . . sin 9' *"->')■* =
siiiO' — siii9"'+ |-siii9(^-"-i> +\
cosec9' — cosec9"' + . . . + cosec6(.-"-i; -|-^ En nmltipliant cette équation de part et d'autre par h; on aura l'égalité des deux expressions de )..
Pag. 2S8. Dans l'équation
fg' — f'g dx
dx
soit pour abréger -— /^' /f, — j^t^tt = ^^ ^t les coefficieus de x sous
le radical du premier membre suivant leur ordre k, k', l, l', on aura
A\\ — c\v"-){l — é\v^) = (r(X + Am-)(1 + k'x){l + lx){\ + Vx).
(i+fa)(i+M=i + %d^?^-- + ii
2 — p2 fa
Soit de plus pour abréger
on aura
A\\-{c''+e^)o,^-^t^é'x*)=a\i+{B+B')x+{C-^BB'+C')x''+{B<C+DC')x-'+CC'x*).
On tire de cette équation
A" =z a\ B-{-B' = 0, C-{.BB'-\-0 = — {e^-{-c% } il?) B'C-\-BC' = 0, ce z= c'eP' En éliminant B' des équations B-\-B' =zQ et BC-\-BC'=zO, on obtient
B{0 — C) = Q; {y) donc, ou B = 0 = B', ou C — C = 0.
Soit d'abord B = 0 = B', on aura '
ffff'-clP = Oetffff'-e\f' = 0.
Ces deux écpiations donnent, en remarquant que c^ ne doit pas être égal à e^,
gff' = 0 etf' = 0.
On en conclut, ou ^ ^ 0 et /"'::= 0
ou «/' = 0 et /■ = 0^ car g et f ne peuvent pas être égaux à zéro à la fois, ni g' et /"', puisque ces valeurs rendraient y constant, a) -7=0 et /-'^O donne C = -^, C' = -^, a-=Il
donc
ce = ' ,\'-^ = c'e%
d'où l'on tire
OU <'^ = -- et e^==— -,
OU c? = -^ et e? r=
f y = ^—x= -{- ax.
h) ff> = 0 et f=0 donne les mêmes valeurs pour c^ et e^ que dans le cas précédent, et pour y celle-ci
" — ecx
Si B est différent de zéro, on aura C = C et 5' = — B, c'est-à-dire
En élioiinant successivement r^ et e\ de ces équations et remarquant que fff' — f'ff "c peut pas être égal à zéro par ce que cela rendrait y constant, on obtiendra
2fff-(fy'+rff)B-\-zrff'c=o, (0
2fy-\-irff--\-rff)B -{-2fyC=0, (ri) La somme de ces équations donne
fg + f'g'-C=o, (0)
et en retranchant (;) de (/,) et remarquant que Z> est différent de zéro, on aura
Les deux dernières équations donnent
f' = ±^.ig'=+f^. (X) Substituant ces valeurs dans les équations {^) on aura
eu V , ^^^
d'où l'on tire en ajoutant et réduisant
^r-* = e\c\f\ donc / = + e^c^p. (/<)
Maintenant les équations (o') donnent, lorsque B est différent de zéro : ou jB = + (c -}- e) et alors C = ceA on B^=±{c — é) et alors C z= — ce] ^^'
Supposons d'abord ^ B = c -\- e, YC = y^ce, substituons ces valeui'S dans
(/) et pour g^ la valeur e^c^f'^, nous en tirerons
Faisant maintenant ( - — ^ ) . r, ^ — , on aura
Vyc— y/e/ ^ m
^ 1 /y/c-^ey
m\ \/ c — v^e Des équations (x) et (/y) on tire
ifff'-f'gf=Èîllf:
^,.__c\n(g'--e\n = - ^■'^^^''~^^'-'^\ donc
(fg'-f'gr . "ire ^
Or les équations {i) donnent e^— fj = — . -^; donc on trouvera
En substituant dans l'équation
g +gx
les valeurs de /'', g' et g, et réduisant on aura
. /l -]-j;\/ce\
Les équation (/), (/.), (//) et {i) montrent qu'on peut prendre les quantités r e, yc, Ye avec quel signe qu'on voudra. En remarquant que les g quantités /■', /", g\ g, Pi, Cx ne doivent satisfaire qu'à 5 équations {(i), on peut les faire dépendre d'une quantité indéterminée m.
Pftfj 261. L'équation (28) a lieu non seulement pour une valeur quelconque de 0, mais aussi pour une valeur quelconque de (3. (Voyez l'équation (237) pag. 252).
Pag. 263. En vertu de (32) on a 1 — Ciy = — , où P est une fonction
du degré 2«-}-l, on aura donc en diiTérentiant
dx Cj \ dx dx /
or Q étant du degré 2n, il est clair que Q^--~- est du degré 4w. Que cette
fonction est divisible par t et V, on en trouve la démonstration pag. 233.
Pag. 263. Lorsque «j = 271"^ on aura c<^= ,^'j^'"^ ; car ^.(D+«) étant
une quelconque des quantités /.{^-\-i'.^, /(O + f^s) «te. on sait que /(0 + i"«) sera
égale à l'une d'entre elles. Donc si «, = " , ;. ( 0 + -„'^) sera une de ^ ^ 2«+l \ ' 2w+l /
ces fonctions pour toute valeur entière de p.
La valeur de k se déduit de la première des é(|uations (47). La valeur
de e^ se trouve en divisant la 1" par la 2''" des équations (47) et remarquant
qu'en vertu de (18) et (16) on a -—^, — ^ = «'''•1^ — 0-
L'équ.ition (4J) donne
Soit pour abré-er A f-J " ) . ;. f ^ •-)... iÇ^"-^ ■ ^)=^N, on a
k^b. e*". xV-, donc
^__ 0>a,->'a-2- •• Aa.)*
or b = (P.Kj . P.«„ . . . A«„)*, donc lorsque «, =-
donc en substituant la valeur de N et remarquant que A (^^-^.a)=?.(^^:f!^.a\, on aura l'expression de a.
L'expression de i/ se trouve en substituant dans (io) la valeur de «^ et celle de k.
Pag. 267. /(0-f-'') «"t /(0-j-«i) étant deux quelconques des fonctions A où « et (^j sont de la forme /f/w-|-/('w', ^tt et //' étant des nombres rationnels, on sait (Théorème IV) que '{^-\-k^ii-\-k^".^ où k^ et k^ sont des nombres entiers quelconques, sera de même l'une d'entre elles. Donc a étant égal à
-— -|- -— et «j égal à - -| — —, on en conclut, en faisant k^^=. 1 et Z"o= — 1,
que A f 0 -) ^-|--^ — " " J =^ /.(O-j-") se trouvera nécessairement parmi
ces fonctions.
A(e +/?) = + -!-• 1 (voyez 10). L'équation (o3) se tire de (2i), (2o), (26).
Pw^r. 565. On obtiendra l'équation (61) en faisant dans (24) et (26) B-=i "~ ; *'= — ( — 2~^) ^*^ ^" concluant comme on l'a fait pour obtenir l'expression de 1 — t-^y '•
La valeur de a est
or f=:g' = 0, donc « = + -^^^^ = -i ;
mais (voyez (1 i)) e^c^ = -^, donc o = — •
Lorsqu'on fait w = 0, c, = c = 1, fi ^ -—-{--— , on trouvera
*(ï) = '+}' »=*0 + l)' '*'""' * = 7^-> (voy. 62)
donc
^(^) = 2A(i^) = ±-^. En effet on a
Faisant donc 0 = " " , AG = A ( ""*^" j = .r, on aura
et pal- suite 1 — eV =z 0, d^où a.- = + -*- = /•(-^^) •
On aura par conséquent e^ = -y- —
Pag. 269. On a ;,e = — /(9 + o))et;(e-î-«)4- A(e — «)=:— (;.(—Ô + «) |;^( — Q — fc)); donc (f{ — G) = — (/0 = (/9, et par conséquent q^z=Q.
On sait qu'en nommant S^ la somme des racines d'une équation algébrique du m"" degré, S^ la somme de leurs carrés, A^ le coefficient de .r'"~', ^-/.^ le coefficient de .x"""*, on aura
donc lorsque S^ = 0,
La formule (6S) est démontrée dans le mémoire suivant pag. 279. Pan. 275. En faisant z = —r-r- — ^ on aura
y*h dz /•* dy o
en remarquant que e^ =rz 1 — e^.
Pff^. 276; Lorsque P.O' = /'•O on en tire
0' = ( — 1)1^+!^'. 0 + ftio 4- ."'(« + n]/ — 1), c'est-à-dire 9' = (— l)!^+i^'.e + (/( + /ii')(o-\-ft'ay — 1 ; donc en faisant /( -]-,u' r= ?«, fi' = 7H',
Pag. 280. .r -- ]/(l — 7/') donne
''■" — 1 '^^ -, donc
./•^ dx /»« dy /•■ ày
c est-a-dire & . — - = —- .
.vz= 1 . Si l'on fait x = y(l4-z-), ou trouvera
'Ji ^[(^•^-l)(l-o-^:r2)]— X v[(l + =-^)(l-e'^^-^)] — J., ^[(l-y^)(l-6^x2)]'
c est-a-dire -^ = b. — - 2 2
En mettant 6 (^ — «) au lieu de « dans l'équation (28) et réduisant, il viendra successivement: .
( ^ + VT=^* +/•-+*"'/ ) ( (1 + /•■^'"+i)2
'■" ^/"•LVl— /■-"■+' / V (l + r-^^+l)-^ + (^m^^m+ 1/^-1)2 yj'
O LV 1 — /■"'"+Ï'/ V 1 H- r-^^fï + ,4m+2 + ^2m-|-2^-2Vj '
. -^ r/ j + /■■^'"+i y/ (1 -^•-"■^-)(» — /■""+'<-^) NI
ce qui est l'équation (54) de l'auteur en faisant
Po</. 55/. L'équation (56) peut s'écrire ainsi:
/.« = A.xp (c( — ) . 77^ ^limro -\- a) ^. ^'{nm — «)^ . Eu y mettant 0 + ^ co à la place de « on aura
c'est-à-dire
On en conclut en faisant pour abréger — :=.k
donc en développant
i? A(9H-ii oJ)==J^77 U'(//co,+(5)/i-. V'((/^+/0"i+'^>-^((2«+/')«i+(5)^" • • • ii-i
mais
ir,^((»«+/0wi+^)^"=i7„ V'(^w,+(3)A-; 71 i|{(2/i+//)fOj+(5)A"— 77 1/ (^tOj+(5)A:ete.
= ^^^'(/^co^ + d)A- = n'âk.njii^, + l)co ^ + (5)^;
on aura de même
qH- o'^ 0*^ o'^
jn l n-i n-i 3n-i
71 ^)((^+l)œi-d)Â;77 r({^n-f,yo^-d)k=n ^i'({2n+^i+l)io^-d)k=n ji{ft+iyoj-ô)k etc.
donc
on en conclut
]ï ;.(0 + Ji co) == J". a/-dA". î^ [v((^,+l)o) ^+(5) . ^((/,+l)« -(5)],
ce qui est la formule (57).
En faisant P.O = x on aura
,-c.p(Bl).,
Cette formule, en remarquant que À To -{- "~ ^- co j := ;. (J^ — 9), et, si y/
est un nombre pair, que le produit ).()J.(()-\- — j ...}.( f)-^ILlI-^o A contiendra le
facteur ^(24-^) = ]/ f J~.^ ., j, donne les équations (13) et (M).
Pff^. 2S5. Si dans l'équation (51) on fait « = " , on aura ?.a — 1 et / ^ }•' , donc
En vertu de l'équation -^= 'v~~\~-^V^ — ^5 où
o' /» « dx
on trouvera, en posant dans l'équation (31) « = ^-)-— -]/ — 1,
/.« = — , f = — ?•* .|/^ — 1 : donc f'^ =r. — r, et par là
Les équations (a) et (b) donnent — = /<^ et par suite A = — —
Pag. 286. Les équations (a) et (b) ci-dessus donnent immédiatement
*r 1— r 1— r» 1— rs . -:t.—
1/ C= ... ou 7' = e o ;
de cette formule on obtient la valeur de yb en échangeant lo et o entre eux.
Paq. 291. On a ---— = — - — : — r-^ r ; -, donc
^ Ft. .>/(a-x,)(a-x,)...(a-X|^)'
Fa. (a-jJF'JT^ ' (a-j:^)/*"^^ ' ' {ol—x^F's^
c'est-à-dire
jRx 1 p (a — x,)i^'J» (j— a)iï"j:
La fonction r^r- «tant de là forme
(x — a)Fs si^' + a^xi" + a^x^-' + . . . + a^^, '
le développement de cette fonction selon les puissances ascendantes de — sera de la forme
donc 77- — — = 0, // étant > 0.
(j — a.)Fs
Pag. 293 Si l'on suppose f.v = «x" -f- «^a-""* -f~ «2-^""* + • • -5 '^ degré
de cette fonction étant moindre que la moitié de celui de cfx, on doit avoir
ycf.T = /?,r"+i 4- fl^x" + . . .
donc -, — ^ = -tAt + • • ■ 5 <^t P'"" suite
(x — a)\/(fx ^x^
(x — a) / (Çix
Par/. 294. L'auteur dit (7) que le second membre de l'équation (29) se réduit à une constante, lorsque le degré de (f-v)'^ est moindre que celui de q^x; mais cela ne suffit pas. Si le second membre de (29) doit, se réduire à une constante, le degré de (/".r)^, augmenté de deux unités, doit être moindre que celui de (fx, car les relations entre v' et v, établies dans le théorème VI, sont nécessaires.
Priff. 293. Le nombre des indéterminées a„, a^,...c„, c^,... est égal à m-\- n -\-2, mais on peut diviser les deux membres de l'équation (5) par l'une quelconque de ces quantités, de sorte qu'après cette division le nombre des indéterminées se réduit à m-\-n-\-l.
Pag. 299. Les équations (16) et (17) de la page 148 donnent
' \2 V v/[l+e2cp2(6a)] \/{l + e-^v'') '
en faisant pour abréger (f{bu) = v.
On tire de là
dv bdx
donc et
/[(l — ij2)(l + e2„2)] v/[(l— ■r2)(l — c*-r^)]'
y^ dv , /• dx ,
y*i rfç .f,f' <ff / fi 0 v[(l — w2)(l + e2„2)] J„ v/[(t — J2)(l-c2jr2)] J„
'2, rfO
v/(i-c2siii2e)
On a en çénéml
et par suite
\\x.dx = / \l{mx).mdx.
dx
or ^.f
• [(l-x'^)(l-62^2)] erv/(l+e2) 1
eis
en faisant ev = v.
du
On en tire
/•e erfj 1 /* e 0 v^[(l— e^x^Xl— c-^x^)] TJ a v[(1 + m2)(1— e2»f2)]'
hJ^ vT(l + «-)(l- " " ' ' •* '
tloii
V[(l — J-'^Xi — **-^'^)] *«^o v[(l + «-)(l — e-K-)] 6 2
Pay. 500. L'équation (9) est la même que l'équation (34) de la page 280. En faisant dans l'équation (18i) p. 216, «=-|- — ^9, on aura
et de là en réduisant
à- dire BU bien
'•" — 2^-YAl— r2'»/A 1 — ?-V /V(l+p2Xl+pV2Xl+?-='-"')(ï+?^'-*)(l+?-'''*)--^'
c'est-à-dire
or -^4 zTo — = P'" '5 «l"»c
;,fi 1 ^ n- /1+^"-"-^ Y^p./-t / (l-pV)(l-p-V)(l-pV3)(l-p-V3) . . N
On peut donc poser (10)
v^ = A' 2? /(i-pVXi-p-vKi-p^/^Ki-p-v^)... N
OÙ A' est constant. Si l'on fait 9 = 0, on aura /.'9 :^ 1 et Q=^l, et par suite
1 = ^' /^('-On-r3)o-/-^)...y
d'où l'on tire l'équation (12) de l'auteur.
En faisant dans l'équation (18fi) p. 216 « = ^ — b% on trouvera
( '+ Vr-('»-i)+/-"'-M :
d'où en réduisant
r<^-B(or-^ 4- ,.-V^)^ /(l+pV-"-^)(l^p-^>--'"+^)y
/y^^ç? --f-(, ^--'-'/mV (l+p2/2^-2)(l+p-V2'") /'
OÙ B est constant. Donc en développant
/"fi^fi/'pc^i?:!:!^ J / (' +p^/)(i +p-^/)(i ^?-^/^)(i+?-'^-^) •• • )
V l + p-V )' l + p2 ■ V(l + p2/-2)(|+p-2^-2)(]+p'ir-l)(l+p-^/*)-.-^ -i , ] i
Donc en remarquant que ~ ^^ ^ = Qr~^, on peut poser (11)
" ■ l+p2 V(l + pV2)(l+p-2/-2)(l + p2^4)(, + p-2^4)...y'
OÙ A" est constant. Faisant 9 = 0, on aura /."^ r^b.F (^^bY{\-\-e^)=l, et p= 1, donc
d'où l'on tire l'équation (15) de l'auteur.
Pag. 501. Ayant }.u=zfi^ — bu\ on a en faisant «^-^-f- — /,
- — TTC — Tli 2 13
(i^ = e =7'.e~'^'=r.{co&7t — zsin;r) = — ?*.
On trouvera
JL—4' ^^. (l+r^)(2)0+^-')0 + ^')--- c'est-à-dire
c ^^ ^ \(\—r)(y — r^)...) L'équatiou (12) donne
donc t^A'^Yr = - , d'où A' = -^ ]/ A •
2ez
» "/irt 2 ~ o' . 207C , T/207r\*
donc l o2 3=297t^
On a
donc
et par conséquent
* = (l + 7-)(l+?-^)(l + »•')... = PP'.
Pff^r. J05. Les formules (24, 2o, 26) que l'auteur a déduites des formules (10, 9, 11) peuvent, ce me semble, se tirer plus aisément des formules (189,
187, 188) pag. 218, 217. Si dans l'équation (189) on fait a = ^ — b.-x,
2 Tt
on aura fu = A ( — x\ — = — — x, donc
/ 4cos2j;
x(^x) = sinx.n 'ir-^rï'
Vtc / 1 "' Il 4cos2x
— sinx n (rc^-^^ + r-^Yf (q-^ + q'")^—4cos^x y
(y-m+ç'm)2 — 4cos''j? ç2m-l / 1 — 2y"» . cos 2^ + ç^"* \
donc
OÙ jB est indépendant de ;r.
Si l'on fait ;i^ = -|, on aura ;.(|1) =/'(|— *|1) =/D = I, donc
i=Bh (-i±^)! (b)
Si l'on fait a;=-^ + -^. ^/, on aura sina;= '^^t>^ * = 4r^> 2cos2;r 2 ' u' 2 2 2js
or 7IJl + (?^'^^) = -î^7IJl+r"'-^) et 7IJl+ç''-'')=2i7Jl+ryn donc 1 ^+ï 1 1 1
En multipliant cette équation membre à membre par l'équation (b) ci-dessus, on obtient
— = — r ■, d ou Z; = — V-^ .
c 4^4 vc
Cette valeur de B étant substituée dans l'équation (a) donne la formule (24) de l'auteur.
Si dans l'équation (187) on fait « = ^ — b^x, on aura ç;a=A'r— a:J,
donc
4cos2j: 1 +
OÙ iS' est indépendant de x.
x = 0 donne 1 = 5'. 77 rJLt-^!:^)' •
donc
et de là ea réduisant
l^^è (^ -y'-' Y; donc
1^A; donc fi' = 21/A . l>-^.
Cette valeur de B' étant substituée dans l'équation (c) donne la formule (25) de l'auteur.
En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (188) on aura
4 cos^j
inr^'\^f,n ) (r' "'+*'- r^^)M — fi>rr /i + V"+^ • «"^ 2^ + ?""^+'^
où J5" est constant.
a: = 0 donne A" (-^;r) = ^».f(|^) = i.K(l + 0 = 1. donc
:r = | donne ;.«(^;.-) = ;.''(|l)== è.F(| - i. f ) = è.FO == è; donc
b = B".IT (- — ^ — :—) , doù l'on tire
* = B'^ ou i?" = Vb.
Cette valeur de B" étant substituée dans l'expression de /." (— arj ci-dessus
donne la formule (26) de l'auteur.
Paff. 504. On a ~ / l-2?^'".cos2j+y*'" ^ y In-T (1 — 9'"".e-^")(l — g'''"-^-''") \
Or log(l —pe^^') = — ipe"-^' + ^jsV*-' + ^/>^e«'' +...),
log(l pe-^') = — {pe-^'-\- ^■'e-*^'+ ^p^e-'^'^ . . .) ;
donc log(l — pé^"") (1 — pe-^') = log(l — 2/) cos 2x + />«)
= — 2{p cos 2x -f Ip'' cos 4.r + ^p^ cos 6.r + . . .).
On tire de là
. / l—2q^"'.cos2x + q*'" \
* \ 1 — 292m- 1 . cos 2x + q^m-i )
— 2(<?"""' •(? — !) COS 2.r 4- ^«y*"^^ (</* — 1) cos 4^+ ^q^"^^. {q^—\) cos 6.r + . . .). Or en remarquant que 21 ^(f"'''^'^ ■ — — -
et que par suite
