C. aam-ï (^1 1) = fi^^—'^) -= ?! on aura

- / l-2y^'".cos2x+y^- N ^ fcos2.r. J^ + Jcos4;i:. -?î- + icos6^-. -?' +...)•

En changeant le signe de p on aura log(l + 2,p cos 2:r + P^) = ^{p • cos 2x — ^;^^. cos 4iX -\~ ■!/?' . cos 6.v — . . .).

On obtiendra par là et en remarquant que ^'^V^^'^".(5'''+ 1) = :p^ — 5:

'"gi-2t^c^'rst?g'^"-0^^

jj l+2g^-".co.2x+g4. N^ / 2;r.-l- + 'cos4^.-l^ +icos6^.-A, +. . •) De la même manière on trouvera

logP ^"^''"'t''^"'^-^^'^*"t')— 4(Q^"^ncos2^+AQ''"+^cos6a; + l«'"^"+^cosl0a^^ + et de là

log JZ ( J^ — -z , ^, ■— 1 = 4 (cos 2.r. , , + icos6.c.— i — - + . . . ).

De ce qui précède on tirera immédiatement les formules (28), (29) et (30). Il faut observer que dans les formules (20i) et (20r>) p. 219 la quantité r est la même chose que r~^ dans les formules (3Î>) et (36) ici.

Pag. 508. Ayant

on aura

donc -=^,

or 7' = e °' \ (r^=e "•'

donc :^.T=lo<;fl), °',n=lo^(^),

et de là

donc i^l^log (1) = ^/?Klog (1),

ce qui est la formule de Mr. Canchy.

Pag. 510. L'expression de c* se tire des doux équations (i7) p. 264 en divisant la première par la seconde, remarquant que '/.(— +6J.a("- — 9j =— ,

;.(|-+e)=A(|- — o), ''(|- + 0=Kt--0' ''"'^"^ c==f^ = i et

écrivant ensuite c pour e.

L'expression de « se tire de l'équation (11) p. 264. Cette équation donne en faisant ^'=1, écrivant c au lieu de e et substituant les valeurs de «i , «j . . . «„

Les équations (47) donnent après les mêmes substitutions, en faisant leur produit et substituant la valeur de b de (46),

donc

Pfl^f. J/5. to* — (0 étant égal à xsi on voit que ^-^ (^ — p) est réel; donc s et par suite c' est réel pour cette valeur de «, en remarquant que

V 2n + 1 / Paff. 514. En vertu de l'équation /.H=P{^+ma), où m est un entier, on a

'■ l 2«+l -) — '■ \—^nn )— \ 2^TÏ >

donc

^/cJ+oN .„/î3/+2(n+1)u\ ,,/nj/+3o\ ,2/t3ï+2(w+2)u\ .2/t3^+(27^+l)o^ .2/' tsi \

^A2^Try='- V 2«+i > ^' 1-2;^;— ^' l 2«+i /••' l-27^Tr-;— ^ ^2^^/

L'équation (12) est la même que l'équation (24) pag. 305 en faisant dans

celle-ci a:= — 0.

En vertu du théorème de Moivre on a

£9iipi=4X-.-2..c.si^+i). («

En multipliant ces deux équations membre à membre il viendra

Faisant dans cette équation x"^ = — 1. on aura

c'est-à-dire 2-(l)n.cos^-^.cos^-^.cos^-^...cos^^.cos^^-^...cos^^

Or cosfi^)=-oos(i^Çi^D^\ donc

(n+l")z («4-2)7: 2«z / ^\„ tc 27C «tï:

cos'^—^.cos >-—{"... cos — ^=( — l)".cos -, — -.cos - — -...cos- — -; 2n+l 2«+l 2n+l ^ ^ 2h+1 2h+1 2n+l

donc en substituant

et de là

cos cos — — — . . . cos -

En changeant le signe de x dans l'équation (,-7) on aura

^!:ll±l = 77(^^+2^.cos-^-f l). (d)

X + 1 jW ^ 2/2 + 1 ' / ^^

Cela posé, si l'on fait dans l'équation (12) successivement ^ = -—-\- a, — -\-2a,

. . \- na et « = on aura

^ |l + 25-. cos 2^-^+5=' l+2?3.cos-^— j- + ç« )

l+2o2.cos--^ + o* l+2q*.cas .^ ^, +q»

(--4-2« 1=-^-- F<y-cos- .-< — -

v/c ^ 2«+l 1 , n 2//:r „ i « , 2«tc .

(1+20.C0S +o2 l+2o3.cos-- ^ + 96

Donc en ayant égard aux équations (;) et (d) on obtiendra

2" vV /(y''""+') + 1)(?^''^"+') + l)...\ / (l+y)(l + ?3)...\ J!. * 2" V (î^"+i+l)(?H-^''+iJ + l)... A(l+ç2Xl+?'')---^*

Or (voyez l'équation (16) pag. 502 où le changement de ^ en c entraîne celui de 1' en q)

Donc on déduit de là

, 2i> «2..+. /(?^ra"+') + l)(9^-^"+i) + l)...y V (92"+! + l)(îH2"+i; + ])... /

T cîi + 2ao

Lorsque « = — ^ — '- — , on aura ^ 2«+l

V2^/ /c'^^ \(o 2«+l ' 2«+l/ i-^V „ „, / „n to , 4!j.7u \ ,,

[l+2î".•co.s(^;n.2-.2^+«^.^;^; + 9

l+a^^cos (2/w. - . ^-f 2m. ^^) +q^P={qP-\-{q"'+\à^f''%qr'-\-{q'"'+\à\^)-''"').

Donc si Ton fait pour abréger

et de là

En remarquant maintenant que q = k^''+^ et faisant pour abréger 2)(2«+l) := a ai {2>' — 1)(2« + 1) = t, on trouvera en substituant réduisant et carrant

en vertu de (é) ci-dessus on a

Multipliant les deux dernières équations membre par membre il viendra

Or on a

mais

JJ (1 }- A"*"+«+2"') =n {i +k'""),

JJ (14- A"»''+*+2m) = 77 (1 4-A"^"'),

-II 3n-|-2

donc J7 77 (1 + ^""+'"") = 77 ( 1 + A'"'),

et par conséquent