Il
77„.(i +k--)iina +A:-+'^"') = 77 (1 +F'") (0
1 1 -Il
De la même manière on aura
77 77 H l )^(2•^-l)(2'i-l-l)+ïm\__77 M I ;^.2..+l+2".\/]^ I p(2«-(-l)-|-2...^^1 j/~5(2«-i-l)+2.>.^__
n 2nj-l
iljl + A-^ '*■•+"+*"•) = 77J1+A-2"-»),
donc 77^ 7T„/ 1 + A--+^") = I7„( 1 H- A-^" -') (e)
Ed vertu des formules (;j) et (6) l'équation (;;) deviendra
Or q = k-''+^, donc (^ * =:A"'+"+l, et par suite q * .A-"'— =:A:i. On aura par conséquent
En substituant dans cette équation la valeur de A on a la formule (14) de l'auteur,
Paff. 516. Si dans l'équation (?) on fait ^ = 1, on trouvera aisément
2".sm ■. sm- — - . sin - — -...sin - — --=:|/(2?i4-l)
et de là
JJ sm = -!-A^ — i- (/)
Cela posé, en faisant dans la formule (12) 6 := — — - = «, on aura
l-2q> .cos^^ + q'-'
-/ \ ^ iV .,• '"^ TT ; 2«+i
Donc ayant égard aux formules (,?) et (/)
;.«./.(2«)... ;.(««) = —^. -^2^r— iv.n+i i •^3i^^i+Tû=r-Ag^-g^"7- ^"-^
Si dans l'équation (12) on divise les deux membres par 9 et qu'on fasse ensuite 6=0, on obtiendra en remarquant que — = 1 pour 9^0:
l A.i/. JifI:z^.izi9i...V (;.)
En multipliant cette équation membre par membre par le carré de l'équation (x), on trouvera
Lorsque « = ^' "*" ^" , on aura 2m+1
„ ^ . . „ ^ (l— 2o2.cos(wi. — a)+o* 1— 2o*.cos(m. — a)+9* )
A(;rta)=-— •l/fl'.sinlm T+»«--r— t)x ; — ;ï— ^ ■ • 7 — ii — ^ >•
Il — 2^ . cosl m. — oij+q^ 1 — ^j^.coslw». — aJ+ç" l
Or en faisant pour abréger comme précédemment
q''''+^ . di^ = k.
on trouvera
1 — 2ff.cos(— «) + <^27. —, (^rf — A*") (r/ — A"-*'") ;
donc
lire
c'est-à-dire
donc
n -nCn + i)
nj{nia)= ^^ ^ . 77jr-" - 1)77„77, C^^^nz^ • -l^rr::^) •
Soit comme précédemment 2)'(2w-|-l)=:(7, (2/' — 1)(2«+1) = t on aura «,■ (v.y. W) l=J-.f,.J.(7Ï.i;5iy;
on tire de là en multipliant et remarqufint que q * .k'"^""^^^ = k*,
En traitant celte équation entièrement de la même manière que l'équation (î:) ci-dessus, on trouvera
Pag. 517. Le théorème portant le numéro XVllI est démontré dans le mémoire XXI.
Pag. 521. Pour qrO infini on a ç(2w+ 1)9 = ^(;9, où B est une constante; car le numérateur de la fraction rationnelle en (^9 qui exprime la valeur de la fonction if{2u-\- 1)0 est d'un degré d'une unité plus élevé que le dénominateur.
Pag. 522. On a
t;9 = 2:^2.\ ;r(9 + ma + ///?),
Le second membre de la première équation contient le terme ;r(9 -|- /(/?) (jui répond à m = 0 et qui ne se trouve pas dans le second membre de la dernière équation. Celui-ci au contraire contient le terme :r(9 -|- {2n -f- 1)« -|- ;"/5) répondant à 7» = 2n, et qui ne se trouve pas dans la première équation. Ces deux termes étant égaux, et tous les autres termes communs aux deux équations, il est clair que v9 = ^i^-\-")-
L'équation (1) U'(2/<-j-l)9=i?, peut se mettre sous la forme (voyez p. 187) (j^,2„+i,= -I- ... -I- B.i) — (/■(2«+l)9.(Ca:««"+i>'-i -\-...-\-jD) = 0, Ou voit par là que le coefficient de toute puissance impair de .v est indépendant de 9, et que le coefficient de toute puissance paire de x contient le facteur f/:(2«-)-l)9. Donc la somme de toutes les racines est de la forme C.if{2n-\-l)^, où C est constant; la somme de tous les produits de deux racines est indépendante de 9 etc., d'où il est clair que dans l'équation (16) ^ = 0 si le nombre des facteurs de ,t9 est impair, et ^ = 0 si ce nombre est pair.
Pag. 529. Les expressions de ;.(9s) sont les mêmes que les expressions (24) et (33) pag. 303 et 304, en remarquant que ^=zb. " dans ces
dernières formules signifie la même chose que b— ici, et que— = 6.-— dans
les formules citées est la même chose que b.^ ici. En ayant égard à ces significations Téquation (9) pag. 500 deviendra:
îStt: 28~ ^S'x 26it sotc
1 1—e " 1— «2e " 1— «2e <^ \—p*e " 1— «*e " j/fi\ . s. i- . !- • • • • •
V) t/ g 26TC îST lirz 29:r îStc
ait /•ES \
- — ( — -eu)
En mettant ici -; 9w à la place de 9 et remarquant que e " V ^ /=^p'™
on aura l'expression de ^{^^ — 6w j-
Pag. 551. Pour les expressions de y^c^, voyez les équations (16) et (14) pag. 302 et 301.
Pag, 555. L'équation ;.'(m — f^-{-a) = l'{f^-}-a) Aonae
^o fO + « = (— l)'"'é6 + (— !)"'■« + »i'a' + i^'co'i, où m' et f.i' sont des entiers; on en tire
«(^1(1)-) = ((—1)"'' + 1).<6 4- ?H'G5' — él3 + /('W'/.
Il faut donc que m' soit un nombre impair 2.m + ^ j '^**"'^ ^" reniaïquant que ixa = ma', on aura
2a = (2^/ -f- 1 — "0^' + /''"'*"• Pc^. 554. Les deux équations
9'(Ô' + 6).r;(0'— 9) = (<ip9./"0')' — (9'6'./'9)% '
se tirent immédiatement de l'équation
\ Oft' \ 2fi
en y faisant ;.9 = -^' '•^' = "T^"
Pa^. 557. Ayant i|,a=^(a' — .t^)(«^ — 0...(«*— ^^), on peut faire
0« ^ gi I C, , g-2 I g^-l-...-L ^i^ 4- ^1^
OU Bk = -r^TT rs '^k —
Or ^x et ip'.r étant des fonctions impaires, on a
0(— .r) = — 9.r et if' (— a:) = — ri''x, donc on aura
On tire dp là
Pag. ÔÔ8.
fl-
donc
donc
.s'^.dxt
où,« est le coefficient de — dans le développement de la fonction
" . log f^" + 9° • '^^ '\ suivant les puissances ascendantes de—. 2Afl "V/a— ça.Art/ *^ «
2^a ^\fa-ça^aJ fa ^S \ fa J ^ ^^5 V /« 7 ^ ^ ^
Substituant ici les valeur de (pu, fa et A«, et développant suivant les puissances ascendantes de —, on verra que le coefficient de -— - du développement sera a «2
Pag. 541. Si fx est impair, et (fx pair, on aura
fx =. K + «1-^' + V^ + • • • + »,.-v^-"-n^, <FX = b, + b,x^ + b,x^ + . . • + b^-^x-"-* + *•"—% (^fa:)''-(cfxr-(l—x'){l-c'x') = — c"-{x^—x]){x-'—xl) . . . (.t--.r^^,)(.r^-y^). .r = 0 donne b"- = c-xixl . . . xl„, .g-, d'où l'on tire
Si l'on substitue dans cette écpiation la valeur de bg tirée des écpiations (13'), on trouvera par exemple pour ii = 2:
c ' {s\ — x\)x^x.;^^x^ + {s\—x\)x^X3^a:^ + {x\—s\)x„X3àJ:^
En désignant par y' la valeur de y déterminée par l'éfjuation (14) on trouvera de la même manière pour ii=.2:
donc 7/' =
Pag. 547. Les étpiations (42) et (43) donnent
donc
On voit par la que A^jj. est rationnel, lorsque /< est un nombre pair.
Pag. 549. J^ est la valeur de "^^^ pour .r=:0; donc Ag =. '-
X dx
d\U'2m—\)'i\ (2/?i— l).Ar)/2m— l)e] a . r^ • j . ^
= — ^~- — '-^= -^ —k-\ '-J- = 2m — 1 pour x=0 qui donne 6 = 0.
On trouve de la même manière B^ = 2ii = — ^ pour x = 0.
Les équations (42) et (4J) donnent, comme on le voit aisément,
(^2t-+i + ^2a-i)(l — C^^''-^2!X ) = 2.r„^, .Ax) ('■^•2 ji "T" •'^'2 y.-^)\^ ^''^ • •^2 [j.-i) = 2a'.2 |j, j . A^ )
La première équation est la même chose que
Réduisant les fractions du premier membre au même dénominateur et remarquant qu'après cette réduction les dénominateurs des deux membres doivent être égaux séparément, on aura
Soit maintenant
9'2|jl+i ^ 1 + ^'2,2!Jl+l-'^ +••• <I-2i>.-l = 1 + ^'2,2^-1 •^- + • . . 9'2|X = 1 H--6'2,2!^-^' +•••
En substituant ces valeurs dans (b), on en tirera
La seconde des équations (a) donne de la même manière
fi'2,2^+^'2,2iX-2 + A/^!.-l=0. (d)
L'équation (d) tait voir que si ^'^ ,(j,, = 0 et /î'î,2(jl-2 = 0, ^'a,2|i ^^*'^ aussi égal à zéro; et l'équation (c) que si />'2,2n = 0 et ^'.2,2[i-i = 0, ^'2,2^+1 doit de même être égal à zéro Or les équations (^3) montrent que B\^=zO et J'2 3 = 0. Donc il est clair que B'.^^^^ = 0 et ^'2,2^+1 = 0 pour toute valeur de //.
inn + b,v, 4- //^''a -\- ■■'+ b,v^ + b^'Ait,)+b\^,{f,) + . . . + i>".A,{Q.
Supposons qu'on demande p. ex. t^ exprimé rationnellement en 0, a:^, x^,...ary, ^i> 2/2» •••^ix; on fera
en désignant pour abréger, par if la somme des autres termes dont 9 est cornposé. Donc
b'J„ = 9—1/' = x(.^i , a-2, . . • ^pi, 2^1 5 ?h^ • • • I/ii)^ où X ost une fonction algébrique des quantités comprises entre les parenthèses parce que f„ qui par l'hypothèse est une fonction algébrique de x^, x^,...^^, peut s'exprimer en fonction algébrique de x^, x^, . . . x^, y^,yz,---y^- On en déduit
/■(9— «i) =: fonc. rat de x^ , x^, . . . .r^, y ^ , 3^2, • • • y^- = ^• En développant on aura
où P et Q sont des fonctions rationnelles de 9, x^, x^, . . . .r^, y^, y^, • ' • y^^-
Donc P -f Qx^' = F,
et de là
et par suite
lfj„,= ^ — ^~^ = fonc. rat. de 9, x^ , x^, . . . x^, y^, y^, . . . y^.
Pag. 5i)2. Le théorème en vertu duquel les équations (68) seront satisfaites en mettant au lieu de 9 une racine quelconque de l'équation V=0, lorsque cette équation est irréductible, est démontré pag. 115, 116.
Pfiff. 563. Désignons pour abréger le degré d'une fonction par la lettre D, et soit Dfx = m,
D(fx = n, on aura Dv = m -j- ?^ -f- 3,
D^x=2m, si m>n-\- 2, ^
et Z?9:r = 2?i -\- 4, si m <îi-\-2.
On ne peut pas avoir ?h =in -\- 2 en remarquant que des nombres m et n l'un doit être pair et l'autre impair.
Soit d'abord m>n-\-2,
donc 2m > 7n -\- n -]- 2,
donc 2in=:ou>7n-\-n-{-3,
c'est-à-dire Dfix = ou>Dv.
Soit ensuite n-\-2>m,
donc 2?ï + 4 > 7« 4- ?/+ 2,
donc 2« -)- 4 == ou> ?« + "+3, c'est-à-dire Df)x=ou>D/\
Pag. 366. Lorsque m = 2, l'équation (109) devient
(fa;)^ (y^)2(l ^2)(^ ^2^.-) ^ (^,2 ^y
En faisant /'r = «.r, (^ar = i, on aura
b'^c'^x" + (P(l +C^) + «^)a-^— &^ = x*—2rr-x^ + «*;
*V^ = — 1, ^"-(l + C-) -f «- = — 2cr, h- = — f'*,
donc et de là
Donc
V c , ni
^ lorsque f. = —
2//iAa 4(c — 1)
et
— = — — !- — -, lorsque cr = •
2/nAa 4(c + 1) ' ^ c
Pa(7. J67. On a en général {r'' — s^){t'' —>/'') = {rt±suf — {si ±ru)"'. En faisant x=i\. o\ix^=— dans l'équation (108), la partie logarithmique dis-
paraît. On voit par là que ^ ne peut pas être zéro; car cela donnerait ce qui n'a pas lieu.
En différentiant l'équaiion (112) on trouve i^=j f>', k l'tant la partie entière de
— . Or — ^ — ^-^ —, dont la partie entière est 2bc'- ; donc ,j = iA-
6j Ox j* + . . ' '2
= bc" ■=■ c^aa^a^.
Lorsque «jj:=^, on a f^ = -j- , n'r(^=mx, — L := -j-
Ag coii' ~ *i — *
La seconde des équations (111) donne a sous la forme cxd — co. Or on a
a,Aa2 + a.,Aaj
" 1— c^aVoV" '
et lorsque a^ = oo,
Aa^ A(x,
on tire de là 2 3 2 2 2 1 /A^a I ^«■i\^ 2 1 /'^ I '^''^* 2 2a„Aa .
donc ou aura
a.jAa
Cette valeur de « étant substituée dans l'équation
Aa X- + a
o. aa jOtj
fait voir que la supposition de c.^ infini ne clian<ïe pas la valeur de
En substituant les valeurs trouvées ci-dessus dans l'équation (112) on en déduira l'équation (US), où il faut observer que le coefficient de isx deviendra
+ ^-««^«2 + — — qui est de la forme + do -[- oo. Or en prenant les signes
Aa convenables ce coefficient se réduit à — — . En eflet on a
a,Aa, + a.,Aaj
Aa.j Aa,
1 — c-îa^a^^ c
Aa,
2 1 Aa„ Aa,
Aa a
donc
et par là
Pag. 369. Si i/ et 7'^ avaient un facteur commun, i/ et r l'auraient de
même: mais la valeur de .r qui ferait évanouir ce facteur, rendrait (1 — x'^)
(1 — c'-.v'^) infini, ce qui est impossible. ?\ et j\ ne peuvent s'évanouir en
même temps, par ce que 1 — i/' et 1 — c'-)/- ne le peuvent pas.
Lorsque « = ^, soit r=—-, où 0 et g' sont des fonctions entières de ^ î ?
a: sans diviseur commun, on aura
Or ces deux fractions étant irréductibles, on aura séparément {q^—p^){q^ — c'Y-) = 9'(1 — a;-)(l — c^o:^) et q* = q'\
donc q'^q^ et ?' =: -^ •
Le numérateur de la fraction rationnelle -^ étant divisible par r, il est divi-
dx
sible par 9, donc
qdp — pdq
est une fonction entière.
Pag. 570. Dans le cas de n = m, si k = 0, ou aura p = ux'" -\- itiX"^-^ + «aa;"-^ + • • • , 7^ = »î«^""^^ + (»»— l)«i-ï^""* + • • •
dx ,
d'où l'on voit que le degré de ^ '?~~^ P , si A- = 0, est égal à 2m — 2.
dx
Pag. 571. Les formules du paragraphe 2 sont les mêmes que les formules (10), (11) et (12) de la page 2o8 en y faisant e = e^ = l et a=^t. La formule (10) donne alors a = +1 = f, g = -{-x, Ci = + c; et la formule
(11) donne a = + l = t, y = -]- — , c.^ + c. Mais il faut remarquer que — ex —
dans les formules (10) et (11) on peut aussi avoir (voyez les notes pag. 446) Cj = ^— et Cj = — ^, ce qui donne, en faisant e = e^= 1:
a=z + c = f,c^ = + , g = ^cx, y = + — -
Les quatre dernières formules du paragraphe 2 sont comprises dans la formule (12) pa^. 258, où la supposition de e = e^ = l donne
Pag. 582. Les équations qui déterminent les valeurs des quantités a', h\ a, b donnent
6' = fl.,^ (!) = «.'. v(l).
Les deux premières équations donnent — =f/^(l)= — .rp y — ),
et les deux dernières — ■=z(f{\)=c' .(f> \ — ).
Donc ou a' = 0 et h = 0, ou /;' = 0 et o = 0.
On a y = ^\ donc ^ = 4v • En vertu de (154) on a ^ 9(1)' dx 9(1)
(f{x) = x.\i{.v), où ii{x) est une fonction rationnelle de ^'^ et ip{0) = donc pour x = 0,
ds <p(l) ^ ' 2 3 M-
Paff. 384. En éliminant e^ des équations
0 = 3 — 4(1 + ("-)é^ + Qc'^e* — ^-''e»,
on obtiendra
d'où
c'est-à-dire
(1^2.|2^^2 j^,2 | Q^,c,^/^(\J^cc')Vcc') = 0, <^2 2cc' + c'^ + 8<-<-' — 4l/cc' — 4f c'i/f-c' = 0,
(c- — f )•- — 4K'"^'(1 — ^Vec' + ^^') = 0, {c' — cf = AVcc'.{l — Vcc'f.
Paff. 586. Lorsqu'on divise les deux équations
{q'-p'){r-e'y') = (1-^')(1 - ^V)r% q' —p^ = (1 ^^)(l cV)(9P')%
membre par membre, on obtient
donc q^ — c^'^p^ doit être un carré parfait.
Pag. 388. L'expression de q donne en faisant ^ = 0:
