f(z, f{x, ^)) = une fonction symétrique de x, y et z

Une fonction symétrique reste la même lorsqu'on y écbange entre elles d'une manière quelconque les quantités variables dont elle dépend. On a donc les équations suivantes:

La première équation ne peut avoir lieu à moin (ju'on n'ait

c'est-à-dire f{Xj y) doit être une fonction symétrique de x et y. Par cette raison les équations (2.) se réduisent aux deux suivantes: 5 if{z,f{x,y))=f{x,f{y,z))

Soit pour abréger f{Xj, y) = rx f(y, z) = v; f{z, x) = s ; ou aura 4. f{z, r) = f{x, V) = f{y, s)

En différentiant successivement par rapport à x, y, z, on aura

Si l'on multiplie ces équations membre par membre et divise les produits par f{r).f{v).f{s), on obtiendra cette équation

V (dr\ (dv\ (ds\ (dr\ ( do\ ( ds\ '

\dx)-\d^)-\<h) — \l^)-Kd^)'\ds)

ou bien

/dv\ / ds\

(dr\ \d^) rdr\ \dx)

\dx) ' /dv\ \dy) ' (ds\

Si l'on fait z invariable, (-7^): (-7^) se réduira à une fonction de y seule. Soit (f{y) cette fonction, on aura donc en même temps (-7^) : (^) = 'f{^)'i car s est la même fonction de z et x que v Ae. z ei y. Donc

On en tirera, en intégrant, la valeur générale de r^

r = -^p iffx . dx -\- S(fy . dy) tp étant une fonction arbitraire. En écrivant pour abréger (fx pour fifxdx et ffy pour fyydy, on aura