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La valeur de v ne sera donc pas changée par la combinaison de ces deux per-

•GDGÎ) •GO G!)-

On voit par là que la fonction v n'est pas changée par deux permutations

successives de la forme -* a e* ^ «tant deux indices quelconques. Si

l'on désigne une telle permutation sous le nom de transposition, on peut conclure qu'une valeur quelconque de v ne sera pas changée par un nombre pair de transpositions, et que par conséquent toutes les valeurs de v qui résultent d'un nombre impair de transpositions sont égales. Toute permutation des élcmens d'une fonction peut s'opérer à l'aide d'un certain nombre de transpositions: donc la fonction v ne peut avoir plus que deux valeurs différentes. De là on tire le théorème suivant:

Le nombre des valeurs différentes que peut obtenir une fonction de n quantités ou ne peut être abaissé au dessous du plus grand nombre premier compris entre les facteurs de », ou seulement à 2 ou à 1. Il est donc impossible de trouver une fonction de 5 quantités qui ait 5 ou 4 valeurs différentes.

La démonstration de ce théorème est prise d'un mémoire de M. Cauchy inséré dans le 17M cahier du Journal de l'école polytechnique pag. 1 etc.

Soient v et V deux fonctions, dont chacune aura deux valeurs différentes, il suit de ce qui précède qu'en désignant par vlt v% et v,', ces doubles valeurs, les deux expressions

vi + v* et vivi + v»v*

mutations.

Donc v =

de même v —

d'où l'on tire v —

seront des fonctions symétriques. Soit

.. t.v' — t. on en tire v. = — ? ~

rt — "i

Soit maintenant le nombre des quantités xlt ïs,...t. égal à cinq, le produit ç = (xl-xi) (xrx3) (xrxA) (.r,-x4) (x^-Xi) (a.-,-x4) (xt-xt) (xa-xj (*,-*,) sera évidemment une fonction qui a deux valeurs différentes; la seconde valeur étant la même fonction avec le signe opposé. Donc en posant vx' = ç, on aura ty = — p. L'expression de i\ sera donc

v îi+ffî.) 0(1 bieD *?

où £fa est une fonction symétrique; p a deux valeurs qui ne diffèrent que par rapport au signe de sorte que ~»r soit également une fonction symétrique.

Donc en posant %ti = p et ^r = q il s'ensuit

que toute fonction de cinq quantités, qui a deux valeurs différentes, pourra être mise sous la forme, p -f q . ç, où p et q sont deux fonctions symétriques et ç = (x, — a-J (x, — *,)... (.r4 — x4).

Pour notre but nous avons encore besoin de la forme générale des fonctions de cinq quantités, qui ont cinq valeurs différentes. On peut la trouver comme il suit

Soit v une fonction rationnelle des quantités * , ara, xs, x4, xt qui a la propriété d'être invariable lèrsqu'on échange entre elles quatre des cinq quantités quelconques par exemple xt, xt, x4, xt. Sous cette condition v sera évidemment symétrique par rapport à x2, xit xA, x4. On peut donc exprimer v par une fonction rationnelle de*, et par des fonctions symétriques de xt, xt, x4, xt. Mais toute fonction symétrique de ces quantités peut s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficiens d'une équation du quatrième degré, dont les racines sont xt, xt, xA, xt. Donc en posant

(x — x^ (X' — xa) (x — jrj (x — xt) — x* — px9 -\- qx* — rx -\- s la fonction v peut s'exprimer rationnellement en xltp, q, r, s. Mais si l'on pose (*—#,) (x— xj (x—xt) (x—xj (x — x4) =x» — ax*-\- bx*—cx*+ dx — e,

(x — x,) (x4 — px*-\-qx* — rx+s) — x*— ax*-j-bx*— cx*+dx— e = *•+(?+/»*•) **-H*+*vri) ï-w, ,

d'où l'on tire

p = a — xt q = b — axl x,* r = c — bx -f- or,* — * * s = d — cxt -j- — ar^ -f- *t€, la fonction v peut donc s'exprimer rationnellement en x,, a, 6, c, et 0. Il sait de là, que la fonction v pent être mise sous la forme

où / et 9>(x() sont deux fonctions entières de x , a, 6, c, rf et e. En multipliant cette fonction en haut et en bas par <f(x») • Vfo) • VfeJ-V O*»)» on aura

r *■ 9(jrn) • 9(f ») » 9 {■**) • 9(f») 9(*i)-9(-ri)-9(*»)-9(*4)-9(-r*) ' Or, a>(x,) . q>(xt) . g>(xj . <f(xt) est, comme on voit, une fonction entière et symétrique de x%> xt, x4t xt. On peut donc exprimer ce produit en fonction entière de p, q, r, s et par suite en fonction entière de x, , a, b, c, rf, e Le numérateur de la fraction ci-dessus est donc une fonction entière des mêmes quantités; le dénominateur est une fonction symétrique de x„ xat xtt xt et par conséquent il peut s'exprimer en fonction rationnelle de a3 b, c, d, e. On peut donc poser

v = r0 + r,*, -f Vl» . . . + r.*- .

En multipliant l'équation

x* = ax14 — bx* + ex* — dxx -J- e successivement par x , x*. . . xlm~*, il est clair qu'on obtiendra un nombre de m — 4 équations, desquelles on tirera les valeurs de x*t x*...x~ en des fonctions de la forme

où «, (!, y, d, e sont des fonctions rationnelles de a, b, c, d, e.

On peut donc réduire » à la forme

v = r0 + -f" V,* + V,* + r*x* (a) où r0, r,, r, etc. sont des fonctions rationnelles de a, b, c, d, e, c'est-à-dire

des fonctions symétriques de x , xt, xi7 xA, xf.

Voilà la forme générale des fonctions qui ne sont pas altérées lorsqu'on

y échange entre elles les quantités x%, xtt x„ x%. On elles ont cinq valeurs tUffé rentes entre elleB ou elles sont symétriques.

Soit maintenant v une fonction rationnelle de xlt x%> xM, xAi xt, qui a les cinq valeurs suivantes vlt i>,, vtt vA, vt. Considérons la fonction x~v. En y échangeant entre elles de toutes les manières possibles les quatre quantités x%, *„ x4t xk la fonction x*v aura toujours une des valeurs suivantes

*fi>i> x~v%> xrv»* xxm»i> • Or je dis, que le nombre des valeurs différentes de x~v résultantes par ces changements sera moindre que cinq. En effet, si toutes les cinq valeurs avaient lieu, on tirerait de ces valeurs en échangeant xl successivement avec xt> xt, xt> xff 20 valeurs nouvelles, qui seraient nécessairement difiérentes entre elles et des précédentes. La fonction aurait donc en tout 2a valeurs différentes, ce qui est impossible, car2o n'est pas diviseur du produit 1.2.3.4.5. En désignant donc par p le nombre des valeurs que peut prendre v lorsqu'on y échange entre elles les quantités xt, xt, xt, xt de toutes les manières possibles, fi doit avoir l'une des quatre valeurs suivantes 1, 2, S, 4.