Soit (t=zi, d'après ce qui précède v sera de la forme (a

2. Soit p = 4, la somme vl -J- v% -f- vt -j- 1»4 sera une fonction de la forme (a). Or on a

*'*= (», + *a+«'»+«>4+1'ê) — (»i + "•+*>»+*'«) = à une foncrion symétrique moins {vt-\-v%+vt-\-vJ; donc vb est de la forme (a):

3. Soit ^ — 2, donc vx -\-v% sera une fonction de la forme (a). Soit donc t>, + v9 = r0 -f- r,ar1 -f rjc* + rtx* +rtxl* = <p(xi) •

En échangeant successivement xx avec xt, x4, xt on aura

vm + t>I=ç(x.)

où m est un des nombres 2, S, 4, 5. Pour m = 2, on aura = y (■**)>

ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de (p(xt) doit être cinq. Pour n = 3 on aura

"i + v% — 9 (* i)> v% + v* = V (*«)> »i+», = V dou ,on tire 2vt = y (*,) — <p (xj + ç (*,) .

Mais le second membre de cette équation a plus de 5 valeurs, savoir elle en

a 50. On prouvera de la même manière que m ne peut être égal à 4 ni à 5. Il suit de là que fi n'est pas égal à 2.

1. Soit /i = 3. Dans ce cas vl + v% + v9 et par conséquent v4 + và

= (v, 4* v% 4 v\ 4 v* + *'») — (», 4 ?J« 4 v») aura cin1 valeurs. Mais on vient de voir que cette supposition n'a pas lieu. Donc fi ne peut pas non plus être égal à 3.

De tout cela on conclut le Théorème:

Toute fonction rationnelle de. cinq quantités, qui a cinq valeurs différentes, aura nécessairement la forme

r0 4 rxx + r,ar* + rtx> + rAx* où r0, r(, ra etc. sont des fonctions symétriques, et x une des cinq quantités quelconque.

De l'équation

r0 4 riX 4" 4 4 r4** = V

on trouvera aisément, en faisant usage de l'équation proposée, pour la valeur de x la forme suivante

x = s0 -f- stv* -f- "V" 4 ■V* on *0, sjt st etc. de même que r0, r , r, etc. sont des fonctions symétriques.

Soit v une fonction rationnelle qui a m valeurs différentes vt , vti r, . . . vm. En posant

(v — vt) (v— i'J (i> — v,) . . . (» — w.)

on sait que q0, qt, qt... sont des fonctions symétriques, et les m racines de l'équation sont vjt v%, t\...vm. Or je dis, qu'il est impossible d'exprimer la valeur de v en racine d'une équation de la même forme mais d'un degré moins élevé. En effet soit

t0 + *,» + *.»»... + f^xiP-1 + = 0 nue telle équation où f0, r, etc. sont des fonctions symétriques, et soit vt une valenr de v qui satisfait à cette équation, on aura

4 V'^"' • • • = ip — vl)Pl • En échangeant entre eux les élémens de la fonction, on trouvera la série suivante d'équations:

& + tv.-xV^... = {o—rt)P„

— tp-xV^ ... = (v—v.) Pm.

On en conclut que v — vt, v — »4, v — v%...v — vm seront toutes ensemble

des facteurs de t? -f- t^v^-1 ... et que par conséquent doit nécessairement être égal à m. On en tire le théorème suivant:

Lorsqu'une fonction de plusieurs quantités a m valeurs différentes, on peut toujours trouver une équation du degré m, dont les coefliciens sont des fonctions symétriques, et qui ont ces valeurs pour racines; mais il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré moins élevé qui ait une ou plusieurs de ces valeurs pour racines.