LA

x = *0 -f ®" + V" • • • + " • En vertu de ce qui précède les quantités v, s0, s% etc. peuvent s'exprimer

rationnellement en x,, xt...xm, en désignant par xlf x%...xm les racines de l' équation proposée.

Considérons une de ces quantités quelconque v, s0, s% etc. par exemple v. Soient v,, v%...vn, les valeurs différentes de », qu'on trouve lorsqu'on échange entre elle les racines x,, x%...xm de tontes les manières possibles, on peut donc former une équation du degré n', dont les coefficiens, sont des fonctions rationnelles de «,«,... a»., et dont les racines sont les quantités p,, . . . ?>„ qui sont des fontions rationnelles des quantités xx, x% . . . xm.

Donc si Ton pose

JL i —

toutes les quantités «v, *0, t% seront des fonctions rationnelles de

p,, v% vnl, et par conséquent de x,, x,.... xm. En traitant les quantités

"> '©> U etc' de 'a même manière on en conclut:

Si une équation est résoluble algébriquement, on peut toujours donner à la racine une telle forme, que toutes les fonctions algébriques, dont elle est composée peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Sur le nombre de» valeur» différente», qu'une fonction de phaieurt quantité» peut acquérir, lortqu' on y échange entre elle» le» quantité» qu'elle renferme.

Soit » une fonction rationnelle de plusieurs quantités indépendantes x, xt ...x». Le nombre des valeurs différentes, dont cette fonction est susceptible par la permutation des quantités, dont clic dépende, ne peut pas surpasser le produit 1 . 2 . 3 . . . n. Soit /* ce produit.

Soit maintenant

la valeur, qu'une fonction quelconque » reçoit lorsqu' on y substitue x«, x», x„ x4 etc au Heu de xa, xfi, xy, xj etc il est clair qu'en désignant par AX>A%...A^ les diverses permutations au nombre de /n que l'on peut former avec les indices 1, 2, 3, ... n, les valeurs différentes de v pourront être exprimées par

»cy< -tt) •■•■•#)

Supposons que le nombre des valeurs différentes de v soit moindre que ft, il faut que plusieurs valeurs de v soient égales entre elles en sorte qu'on ait par exemple

•tt)— tt)- Gû-

Si l'on fait subir à ces quantités la permutation désignée par on aura

cette nouvelle série de valeurs égales

»CU=»CU -—Ci.)

valeurs qui sont différentes des premières mais en même nombre. Eu changeant de nouveau ces quantités par la permutation désignée par on

aura un nouveau système de quantités égales mais différentes des précédentes. En continuant ce procédé jusqu'à ce qu'on ait achevé toutes les permutations possibles, les valeurs de v au nombre de p seront partagées en plusieurs groupes, dont chacun contiendra un nombre de m valeurs équivalentes. Il suit de là que si l'on représente le nombre des valeurs différentes de w par ç, nombre égal à celui des groupes, on aura

çm = 1 . 2 . 3 . . . w

Le nombre des valeurs différentes, qu'une fonction de n quantités peut acquérir par toutes les permutations possibles de ces quantités est nécessairement un diviseur du produit 1 . 2 . 3 . . , n. Cela est connu.

Soit maintenant une permutation quelconque. Supposons qu'en ap-

plicant celle-ci plusieurs fois de suite à la fonction v on obtient la suite des valeurs

il est clair que v sera nécessairement répété plusieurs fois. Lorsque v revient après un nombre p de changements, nous dirons que v est une permutation récurrente de l'ordre p. On a donc cette série périodique

ou bien, si l'on représente par v (^Y la valeur de v qui résulte après avoir répété r fois de suite la permutation désignée par ^* 1 j on a la série

•et)*. <±y- •&)• • »(ir- •&)••

Il suit de là

•cir*— et?

Or, soit p le plus grand nombre premier contenu dans n, et le nombre 'des valeurs différentes de v soit moindre que pt il faut que d'un nombre p de valeurs quelconques de v deux soient nécessairement égales éntre elles. Il faut donc que deux des p valeurs

soient égales entre elles. Soit par exemple

Ecrivant r au lieu de r»-|-/» — r et remarquant que w (^^J=ivt on en tire

où r évidemment n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est donc pas changée par la substitution (Qj ni par conséquent non plus par la répétition de la même substitution. On a donc

« étant un nombre entier. Maintenant si p est un nombre premier, évidemment toujours trouver un nombre entier fi de la sorte que

et puisque v = v y?

on aura 9 = 9(±)'

La valeur de v ne sera donc pas changée par la permutation récurrente ^» ) du degré p.

Or, il est clair que

/afra...M\ et /fr5i . . . n%\ Uy5«...W Ut» •

sont des permutations récurrentes du degré p, lorsque p est le nombre des indices a, /?, y • • • >h La valeur de v ne sera donc changée non plus par la combinaison de ces deux permutations. Ces deux permutations sont évidemment équivalentes à cette unique

Gi»

et celle-ci aux deux suivantes appliquées successivement