IV
Démonstration de ï impossibilité de la résolution générale de f équation du
cinquième degré.
En vertu des propositions trouvées plus baut on peut énoncer le théorème: "Il est impossible de résoudre en général les équations du cinquième "degré."
D'après §. 11 toutes les fonctions algébriques desquelles une expression algébrique des racines est composée peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.
Comme il est impossible en général d'exprimer la racine d'une équation
par une fonction rationnelle des coefliciens, on doit avoir
li- = v
où m est un nombre premier et Ji une fonction rationnelle des coefficicus de l'équation proposée, c est-à-dire une fonction symétrique des racines; v est une fonction rationnelle des racines. On en conclut
rm — n = o .
En vertu du §. U il est impossible d'abaisser le degré de cette équation, la fonction v doit donc, d'après le dernier théorème du paragraphe précédent, avoir m valeurs différentes. Le nombre m devant être diviseur du produit 1.2.3.4.5 ce nombre peut être égal à 2 ou à 3 ou à 5. Or suivant (§. 111) il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut donc
qu'on ait m — 5 ou m = 2. Soit m = 5, on aura en vertu du paragraphe
précédent,
fa = >o + *t* + rt^ + r^ + rj*
et par là
* = s0 + sfl + + + • Suivant (§. II) on en tire
où «*=1. Cette équation est impossible, attendu que le second membre ait 120 valeurs et que pourtant il doit être racine d'une équation du cinquième degré r*~s*R=0.
On doit donc avoir si = 2.
On aura donc d'après (§. 11)
VR=p + qs oiip et q sont des fonctions symétriques et
* = — xj...{x4 — *,).
On en tire en échangeant xx et x% entre eux
— \fR =p — qs
d'où l'on trouve p=0 et |/"fi = qs. On voit par là, que toute fooetion algébrique du premier degré, qui se trouve dans l'expression de la racine, doit nécessairement avoir la forme a-\-py** = a + /?J, où o et;? sont des fonctions symétriques. Or il est impossible d'exprimer les racines par une fonction de la forme a + pVR, il doit donc y avoir une équation de la forme
où a et p ne sont pas nul, m est un nombre premier, a et (t sont des fonctions symétriques et v une fonction 'rationnelle des racines. Cela donne
V(a + ps) = vl et — M = V où r, et v% sont des fonctions rationnelles. On aura en multipliant vx par vt,
Or o" — (Ps* est une fonction symétrique. Si maintenant J/ (a* — />***) n'est pas une fonction symétrique le nombre m, d'après ce qui précède, doit être égal à deux. Mais dans ce cas v sera =: K(a+I*K**)$ » *ora donc quatre valeurs différentes, ce qui est impossible.
H faut donc que V(*% — fi***) soit une fonction symétrique. Soit y cette fonction, on aura
v\ = y et ».= i.
Soit
vt + r, = V(a+(ïVs*) + - ï =p = Kiî + -L- = i2-+X.i2~
Désignons par pt, pt. les valeurs différentes de pqui résultent de la
substitution successive de afr, «*/?-, a*fr> '. . . a— à la place de R~ où
et faisons le produit
(P—Pi) (P —P*) • • • iP—Pm) = j>m— Ap"-1 + Atp^% . . . = 0, on voit sans peine que A, Ax etc. sont des fonctions rationnelles des coefficiens de l'équation proposée et par conséquent des fonctions symétriques des racines. Cette équation est évidemment irréductible. Il faut donc d'après le dernier théorème du paragraphe précédent que p, étant fonction des racines, ait m valeurs différentes. On en conclut que m = 5. Mais dans ce cas p sera de la forme (a.) du paragraphe précédent Donc on
VrB + -3- = rf> + rlx + r%x*+r,x* + T4x* = p,
et par la
X = *„ 4- stp 4- stp* 4- Stp% 4- S4p* c'est-à-dire en mettant R* 4- ~jT à la place de p ,
* = tQ + tfî 4- t%R' 4- f,fl* 4-
où /0, fa etc. sont des fonctions rationnelles de R et des coefficiens de l'équation proposée. On en tire en vertu de (§. II)
ttR» = ^(x, 4- a**, -f o»ar, 4- a*:r4 4- axt) = p», OÙ a44-o»4-o*4-a4-l=0.
De l'équation = on trouve p* = tfR. Or r/fl étant de la forme m4-«'K** on aura p* = u 4~ «' V**! ce qui donne
(p'» tt)* = u"s*.
Cette équation donne p' par une équation du dixième degré dont tous les coef-
ficiens sont des fonctions symétriques, mais d'après le dernier théorème du paragraphe précédent cela est impossible; car
p> étant = + + -|- «»r4 + «*.) aurait 120 valeurs différentes, ce qui est une contradiction. Nous concluons donc:
"Il est impossible de résoudre algébriquement l'équation générale du "cinquième degré."
Il suit immédiatement de ce théorème, qu'il est de même impossible de résoudre algébriquement les équations générales des degré supérieurs au cinquième.
Remarque sur le mémoire Nr. 4, du premier cahier du Journal de M. Crelle
Ma objet de ce mémoire est de trouver l'effet d'une force sur trois points donnet». Les résultats de l'auteur sont très justes, quand les trois points ne sont pas placés dans une même ligne droite ; mais dans ce cas ils ne le sont pas. Les trois équations, par lesquelles les trois inconnus Q, Q, Q1 se déterminent, sont les suivantes
i. I Q>b sin a = Q>c sin fi
I Qa sin u = — Q>c sin (« + fi).
Celles-ci ont lieu pour des valeurs quelconques de P, a, b, c, a et {t. Elles donnent en général comme l'auteur l'a trouvé,
Q — àc »ln (a + g) .
, ae nid g p
où
r = ab sin a -f- ac sin fi — be sin (« -}- fi). Or les équations (2) cessent d'être déterminées, lorsque l'une on l'autre des quantités Q, Q>, Q> prend la forme g, ce qui a lieu, comme on voit aisément pour la valeur.
Dans ce cas il faut recourir aux équations fondamentales (1.), qui donnent alors
Q-b sin 180° = Q>c sin 180°, Qa sin 180° = — Q>c sin 860°.
Or les deux dernière» équations sont identique* puisque
8in 180* = sin 360° — 0.
Donc dan» le cas où
u = (i= 180°, il n'existe qu'une seule équation, savoir
et par suite les valeurs de Q, &, & ne peuvent pas alors se tirer des équations établies par 1*
Résolution d'un problème mécanique.
Soit BDMA une courbe quelconque. La ligne BC soit horizon- *| |£
taie et CA verticale. Supposons qu'un point mis en mouvement m\ jt»
par l'action de la gravité se meuve sur cette courbe, un point quel- \. j conque D étant son point de départ. Soit t le temps qui s'«st A écoulé quand le mobile est parvenu à un point donné A, et soit a la hauteur EA. La quantité t sera donc une certaine fonction de a qui dépendra de la forme de la courbe. Réciproquement la forme de la courbe dépendra de cette fonction. Nous allons examiner comment à l'aide d'une intégrale définie on peut trouver l'équation de la courbe pour laquelle t est nne fonction continue donnée de a.
Soit AM=s, AP = x, et t le temps que le mobile emploie à parcourir l'arc DM.
D'après les règles de la mécanique on a - -V(a~x)t donc dt=-
dt ~r 1 » v V(a -sY
Il suit de là, lorsqu'on prend l'intégrale depuis x = a jusqu'à .r = 0;
y<» dt /»« dt
^désignant que les limites de 1* intégrale sont x=« et x == (t. Soit
la fonction donnée, et on aura
/»« dt
équation par laquelle * doit être trouvé en x. Au lieu de cette équation allons considérer cette autre plus générale
/* dt
de laquelle nous chercherons * en x.
Doigtions par I\u) la fonction
on a comme on sait
/.>-,<i-*--*-Jfê3P»
où a et (i doivent être supérieurs à »éro.
Soit £ = 1 — », on trouvera
jr^Vy. r(»).r(l-n)
d'où l'on tire en Taisant z = ay
En multipliant par ^ ^t-, 64 prenant l'intégrale depuis a = 0 jusqu'à
a = x, on trouvera:
y»*__rfa pm ««-y, T(a) . T(l — ») p*a*-*.d« .(*-•)»- -J .(«—)-— r(«+i-«) 'J9jr^y^
En faisant a = xy, on aura
Or d'après une propriété connue de la fonction /; on a
on aura donc en substituant:
En multipliant par a . ç(«) . rfa, et intégrant par rapport à a, on trouve:
o(j-a)1-" t/ o («-»)" Soit /y =/•(*),
on tire de là en duTérentiant
Mu).a.x^da = />(*),
par conséquent:
ou, puisque
t f(r\— **** F da FfW*
A l'aide de cette équation il sera facile de tirer la valeur de * de l'équation
Qu'on multiplie cette équation par • f*^ , et qu'on prenne l'inté-
grale depuis c = 0 jusqu'à a = x, on aura
■faire /»» ya . ifa «faire /" rfa /"
donc en vertu de l'équation (1)
«fan* /"<?(«).<&»
* — -irJ0 <*-«>- •
Soit maintenant n = J, on obtiendra et
j 1 f?{*).da "♦^ o V(*-a)
Cette équation donne l'arc # par l'abscisse x, et par suite la courbe est entièrement déterminée.
Nous allons appliquer l'expression trouvée à quelques exemples. I. Soit
Ç(c) = a^V* + axa^ + . . . + am<f- = Sfrat) , et la valeur de s sera
Si l'on fait a = *y, on aura
ou puisque .T(j) — Yn
Si l'on suppose p. ex. que m=0, /»„=(), c'est-à-dire que la courbe cherchée soit isochrone, on trouve
-KG)-ÎS-ïffeK(f)-*r-.
or s=.^-Yx est l'équation connue de la cycloide. 11. Soit
(fa depuis <z = 0 jusqu'à o = a0, égal à y0a ?a depuis o = a0 jusqu'à « = «,, égal à ipta ç« depuis a — a, jusqu'à a = o,, égal à q>%a
(fa depuis a = jusqu'à a = <?„,, égal à y. a,
on aura
*"= fï$fê>> ^f"1* *=0- imv,'i x=°"
"-/Tf^ dep°i8 *=«•• io8,io'à
depuis x = , jusqu'à x = am,
où il faut remarquer que les fonctions ?0a, ç,a, (f%a (fma doivent être
telles que
car la fonction ça doit nécessairement être
Démonstration d une expression fie laquelle la formule binôme est un cas particulier.
Cette expression est la suivante:
<*+ «)" = + + + «(«2fl +
. . . + * a(a-(n—l)pY*Xx+(n — i)fi)+a(a-.nflrl> z, a et p sont des quantités quelconques, n est un nombre entier positif. Lorsque »r=0, l'expression donne
comme il faut. Or on peut, comme il suit, démontrer que si l'expression subsiste pour n = m, elle doit aussi subsister pour n = m+ 1, c'est-à-dire elle est vraie en général.
Soit (*+ «)-=*-+ H „(*+,?)-» + a (a -2fl (*+8fl—
. . . + Ç « (a-(m-l)/?)— (*+(«- En multipliant par (m-f- l)«ir et intégrant, on trouvera:
... + ^î«(«-«^-«(»+i^)+.C, C étant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur soit
et les deux dernières équations donneront:
(a— (m-f l)/5)-=(— l)-[(m+ w-a/î— »+ £ (m— l)-»o (a— 2fl/*-*
(«(m+ = 1)--+» [(m+l)-+l|5-+1— (w + ljm-a^-
-f- <m+Vm (m— (o — 2^)/S— « . . ] -f C .
Multipliant la première de ces équations par (m -j- 1)/J et ajoutant le produit à la seconde, on trouve:
C = (« — (m-f- 1),*)-*» + (m+ 1)/? (« - (*+ 1)1*)-» ou bien C = «(« —
Il suit de là que l'équation proposée subsiste de même pour » = m+ 1. Or elle a lieu pour n = 0; donc elle aura lieu pour n = 0, 1, 2, S etc. c'està-dire pour toute valeur entière et positive de n.
Si l'on fait ,? = 0, on obtient la formule binôme.
Si l'on fait a = — xt on trouve
ou en divisant par x
ce qui est d'ailleurs connu; car le second membre de cette équation n'est autre chose que
en faisant la différence constante égale à fi.
Sur Vintégration de la formde différentielle i^-, R et g étant de»
fonctions entières.
f&i l'on différentie par rapport à * l'expression
où p, q et R sont des fonctions entières d'une quantité variable x, on obtiendra
■ dp + d^s/R) dp - rf(y/Jt)
. jp-qy/R) (dp + d(iiSR))-(p+iVR) (dp. d(,SR)) ou dz =
c'est-à-dire
* ï^ii
Or = +
donc par substitution
pi • dB + Hpdq-idp).R
tU—
par conséquent en faisant
, M ds
on aura 3) rfz = *7*5
où, comme on voit aisément, M et 2V sont des fonctions entières de x.
Or z étant = loe f^^~)» on aura en intégrant.
^p-qv R'
11 suit de là que dans la différentielle on peut trouver une infinité
de formes différentes pour la fonction rationnelle Q qui rendent cette différentielle intégrable par des logarithmes, et même par une expression de la forme
log(^±iy*). La fonction ç contient, comme on voit par les équations (2)
outre R encore deux fonctions indéterminées p et q et c'est par ces fonctions qu'elle sera déterminée.
On peut renverser la question et demander, s'il est possible de supposer
les fonctions p et q telles, que q ou ^ prenne une forme déterminée donnée.
La solution de ce problème conduit à une foule de résultats intéressants, que l'on doit considérer comme autant de propriétés des fonctions de la forme
J T)anS Ce m*m0,re >e n,e borncrai au cas w"7^ esl une fonction en-
tière de x, en essayant de résoudre ce problème général:
"Trouver toutes les différentielles de la forme où ç et R sont des
"fonctions entières de x, dont les intégrales puissent s'exprimer par une
VrJ-
En différentiant l'équation
on obtient
fiN = Zpdp — ZqdqR — q*dR, donc en multipliant par p
pdN=z 2p*dp — Zpqdq .R — pq*. dR, c'est-à-dire, lorsqu'on remet à la place de p1 sa valeur -JV-f* q*R, pdN= ZNdp + 2q*dp . R — Hpqdq .R-pq*. dRf
ou
pdN= tNdp — q (itpdq — qdp)R + pqdR),
donc, puisque
£ (pdq —qdp)R -j- pqdR = Mdx (2), pdN= 2Ndp — qMdx
ou bien qM=2N.£-p.™
"fonction de la forme log (^"'^Y
par (> on
donc
' N — \ ds F A'rfx/ 1
Maintenant — doit être une fonction entière de x; donc en désignant cette fonc-
ds p ' \dr '
dlV
Il suit de là que » . - — doit être une fonction entière de x. En faisant * ' Nds
on aura
dN m . m , m,
Nds s+a ' s+'ax - " ' s+a.
donc
doit de même être une fonction entière, ce qui ne peut pas avoir lieu à moins que le produit (x -\- a) . . . (x -j- o„) ne soit facteur de p. 11 faut donc que
où />, est une fonction entière.
Or N=p> — q*R,
(x + «)-... (x + a.)- = + «)• (x + «J- . . . (* + «.)«- ^ • /{n'a pas de facteur de la forme (x-j-a)* et comme on peut que p et q n'ont pas de facteur commun, il est clair que m = w». ■ — - . . . = tnn = 1 et # = (* + «)(*-}- «,)...(* + a.) .
où /?, est une fonction entière.
On a donc N= (x -f a) {x -f «,) . . . (x -j- «*) et R = 2V. iî, , c'est-à-dire JV doit être facteur de /?. On a de même p = Npx. En substituant ces valeurs de R et de p dans les équations (2.) on trouvera les. deux équations suivantes
6) te«"ï+«frî-»£)*.»'J
La première de ces équations détermine la forme des fonctions pv q> iV, et Rv
et celles-ci étant déterminées, la seconde équation donnera ensuite la fonction ç. On peut aussi trouver cette dernière fonction par l'équation (5).
Maintenant tout dépend de l'équation
7) p'.N-q'.R^l Cette équation peut bien être résolue par la méthode ordinaire des coefltciens indéterminés, mais l'application de cette méthode serait ici extrêmement prolixe et ne conduirait guère à un résultat général. Je vais donc prendre une autre route semblable à celle qu'on emploie pour la résolution des équations indéterminées du second degré à deux inconnus. La seule différence est, qu'au lieu de nombres entiers, on aura à traiter des fonctions entières. Comme dans la suite nous aurons souvent besoin de parler du degré d'une fonction, je me servirai de la lettre à pour désigner ce degré, en sorte que âP signifiera le degré de la fonction P. p. ex.
d(x- + «jt— 1 +...) = m,
D'ailleurs il est clair que les équations suivantes auront lieu:
â(PQ) = ôP+dQ,
â = mâP-, déplus d(P+P*) = âP
si ôPl est moindre que ôP.
De même je désignerai, ponr abréger, la partie entière d'une fonction rationnelle u par Eu,
ensorte que u = Eu -foù du1 est négatif.
11 est clair que
£(*+*») =iE(s) + E(m*) donc E(s-\-sl) — E(s) lorsque ôsl est négatif.
Relativement à ce signe, on aura le théorème suivant:
"Lorsque les trois fonctions rationnelles u, v et z ont la propriété que
"on aura E(n) = ±E(v) si âz<âv.
En effet on a par la définition,
où du' et àtf sont négatifs; doue en substituant ces valeurs dans l'équation u* = * + z,
(Eu)* -f iu' Eu + «" = (Ev)* -f 2W £p + «• + 2.
Il suit de là
(£«)* — = z + v» — ii« -\- ZtfEv — 2u'Eu = t, ou bien (Eu -f (£« — En) — t .
On voit aisément que ât < &v\ au contraire
+ (Eu—Ev) est au moins égal à dv, si (£« -f- — £f) n'est égal à zéro. 11 faut donc nécessairement que (Eu+Ev) (Eu—Ev) soit = 0, ce qui donne Eu = Ev c q. £ d.
Il est clair que l'équation (7) ne saurait subsister à moins qu'on n'ait i(Np*) — t(Riq*)t c'est-à-dire,
àN+ 2âPl = dRt + 2<fy d'où d(JV»t) = 2(Ô9 — dp, -f-
Le plus grand exposant de la fonction R doit donc être un nombre pair. Soit ôN=n — mf ôR1 = n + m.
Cela posé, au lieu de l'équation,
p*. N — g* . Rt = 1 , je vais proposer
la suivante
8) p'N—fR^v, où v est une fonction entière dont le degré est moindre que ^N+hRi ^
Cette équation, comme on voit, est plus générale; elle peut être résolue par le même procédé.
Soit t la partie entière de la fonction fractionnaire et soit t' le reste;
cela posé on aura:
et il est clair que / doit être du 2»»"" degré lorsque UN- n-m et âRt=.n + m. En substituant cette expression de Rt dans l'équation (8), on en tirera
Soit maintenant
on peut toujours déterminer f,' de manière que le degré de f/ soit moindre que m.
Pour cet effet faisons
'.' = y. + yi* + ^-,^,-,
cela posé, l'équation (11) donnera:
u3mxtm «,,**""' + (ttm^m~* -j- amxm -f- ««-r**-1 + «i* "H ao —
+ y-,^-1 + y*~* • • • nx + Yo-
De cette équation on déduira en comparant les coefliciens entre eux:
«,-4 = 2,,f. . ^4 + 2, V, .. + tfU etc.
y-, = — 2J^l . fi, — 2;? . A — . . . ^=«^,— 2,^.^ — 2^,.^ — ...
Les m -|- 1 premières de ces équations donnent, comme il est aisé de voir dans tous les cas, les valeurs des m -f- 1 quantités pm, (i^^ . . . et les m dernières équations donnent les valeurs de y0, y,, y, . . . y»,
L'équation supposée (11) est donc toujours possible.
Substituant dans l'équation (10) au lien de t sa valeur de l'équation (H), on aura:
12) Û».'-»*.Oi»'-,»(iV.v + ^ = »;
de là on tire = + / . + Ji JL .
En remarquant que
on aura par ce qui précède, * , . ,
«(^)=±Al=±iIf
donc Pi=±tl'9 + &™*it<*9i
et comme on peut prendre tx avec le signe qu'on voudra,
En substituant cette expression au lieu de dans l'équation (12), elle se changera en,
*3) {/)* + %ïtl9)N— q*.s = v,
où, pour abréger, on a fait iV7,» -f- f = *. De cette équation il est facile de tirer (L =
ou, puisque f,a2V+ s = Rt (car rt, = tN+t', s=Ni>t + et <=*,*+/<,), Soit maintenant
où <dr
Or on voit aisément que
el par suite g(|.)g('+j.^);
donc en faisant E (—y1—-) —
q=ilt(l+fllt OÙ ê/tt En substituant cette expression de q dans l'équation (15) on
ou en faisant pour abréger on obtient
la) — *V — */V = *»■
Puisque E (r + [tK) = *>> on a
r + /1iV= 2*/i + f, où dé < âs, par suite la dernière des équations (14) donnera
De plus en multipliant l'expression de st par s, on obtiendra, stt = Nt + 4/if, N$ — 4*V= i» + / ,» iV» — (2*/i — r , i\T)» Or 2j/i— ^^=rl,doncM1=AT#4-/I,iV— r*, et »•,*+#*, de même j + /,* JV= ,»„
donc 16) r,*+ », = NRt = R
D' après ce qui précède on a R = r* -J- r1
donc r* — r,* = **, — r', ou (r -f- r,) (r — r,) = M, — V.
Or dr« étant <dr, il suit de cette équation que
«ï(w1) = «»(r+rt)(r-rl) c' est-a-dire, puisque r — r, =f, où ôt < Sr,
Or dj > d*
donc d*! < dr.
On a de plus,
où 9f<dN et *,'<*„ donc dI<diVr-f-d/l.
Mais R = 2V(*-f-r,1iV), par conséquent,
et puisque ôli = 2âr = 2«Jr, ,
on aura âtt -j- dN = drl .
On en conclut âs < ârv
L'équation j^'iV — q*Rt=zv est donc par ce procédé changée en celle-ci,
— ir,^— où <Jr( = £<)7? = n, £,5, < tî(ï et <fc < w, <J*X < n. On obtient cette équation, comme on vient de voir, en faisant
/, étant déterminé par l'équation,
< = '.' + V, où dt> <dtlett = E (*£), et ft étant déterminé par l'équation,
,, = JS
où r« + r' = J?tiV, * = iW,' + , — i».
De plus
18) hi = AT + 4ut1 N~ itp*, [rf+ss^R^^R.
Il «'agit maintenant de l'équation (15).
Résolution de l'équation:
où fa < drt, ôsl < ârt, âv <.dr1, <
l'équation,
19) s^-2r^(tl = *,,
par *J/9l«, on
Pi* », P, », «,!V
donc (JL nV = (iLY+±+ •
On tire de là en remarquant que â(± |__|) < <î
*(|;-::)=±*Gt).
où l'on doit prendre le signe -f-, car l'autre signe ferait E (^ = 0, donc
donc en faisant £(Il) = /v
fi = *0f/*l + P* où d/î^d^
Substituant cette valeur de /? dans l'équation proposée, on aura, ou bien
20) . p* - 2r,.^ . =- *, où r, — 2//,*, — r, , = * + 4r ,/i , — 4*t/i t*.
L'équation £ (^i) = Mi donne, On obtient par là,
donc il est facile de voir que
ôrt =z dr, , ôs% < ârv
L'équation (19) a par conséquent la même forme que l'équation (20); on peut donc appliquer & celle-ci la même opération, c' est-a-dire en faisant
r* = E(£)> *•* = **"* + '•> ^=Wi + &. on aura . /?,» — 9rJ%t, — . (if = -f v,
où r, = — r, = r, — 2*„
*• = *. + — 4vV = + 4 Vl> et d/î, < d,*,. En continuant ce procédé, on obtiendra, après n — 2 transformations, cette équation :
21) *, . /*Vi — 2r„ . . /?. — . = (— 1)^' . »,
où d/î.< d/f,i .
Les quantités ra, /?„ sont déterminées par les équations suivantes:
Pn-l = • fin + »
*- = -f- 4r„, . — 4#, . • A ces'éqnations on peut ajouter celles-ci:
rm = f<Hgm -+- ,„
Or les nombres d,*,, ip%,...d(la, etc. formant une série décroissante, on doit nécessairement après un certain nombre de transformations trouver nn pH égal à zéro. Soit donc
T équation (21) donnera en posant » = »/: 22) *„./>*.=(— Voilà l'équation générale de condition pour la résolubilité de l'équation (19)< sm dépend des fonctions s, j,, rt; et/9.., doit être pris de manière à satisfaire à la condition,
L'équation (22) fait voir que pour tons les *, et r, on peut trouver une infinité de valeurs de », qui satisfont à l'équation (19).
En substituant dans l'équation proposée an lieu de f sa valeur ( — l)""-1 . *. . on obtiendra,
— *riMt - * . = (- l)-1 . sm . /SV, , équation toujours résoluble.'
On voit aisément que ,f et (il ont le facteur commun /?t. Donc si l'on suppose que /? et /?, n'ont pas de facteur commun, /?t sera indépendant de x. On peut donc faire = 1 , d'où résulte cette équation,
», . f - 2/-,^, - s . (Vt« = (- 1)—*». Les fonctious (i, ,if ,/?,,.. . sont déterminées par l'équation,
en posant successivement «= 1, 2, 3, ... m — 1 et en remarquant que (}m=0. C est-à-dire:
/?, = 2//4.|*4 + /?4, /?, = 2/it./î, + /94, /?1 = 2,,,.
Ces équations donnent: •
On en tire par des substitutions successives:
On aura donc les valeurs de /? et de /?t en transformant cette fraction continue en fraction ordinaire.
En substituant dans l'équation,
pour v sa valeur (— 1)—' . sm, on aura,
^.Jl^—l)-1.*.,, où y =2/*./* + ,*,,
donc + A = / 4 L
par conséquent,
L'équation p*N — q* =i>,
donc en supposant m infini:
"f — V *JV"'
liorn-
in. + s— . 1
^a + 2p., + etc.
On trouve donc les valeurs de pl et de q par la transformation de la fonction 1/ 4r cn fraction continue. *)
Soit maintenant v — a, et Ton aura,
Donc si l'équation,
pfN-q'.R^a, est résoluble, il faut qu'au moins une des quantités, *
s, st,st,...sm etc.
soit indépendante de x.
De l'autre part, lorsqu'une de ces quantités est indépendante de x, il est toujours possible de trouver deux fonctions entières px et q qui satisfont à cette équation. En effet lorsque = a, on aura les valeurs de px et de q en changeant la fraction continue,
•) L'équation cl-des*us n'exprime pai une égalité absolue. Ktle Indique seulement d'une manière abrogée comment on peut trouver lei quantité* f,, p., p.,, pt . . ■ Si toutefois la fraction continue a une râleur, celle-ci sera toujours égale a
en fraction ordinaire. Les fonctions j, etc. sont en général, comme il
est aisé de voir, du degré (n— 1), lorsque jVft, est du degré Sn. L'équation de condition,
sm = a,
donnera donc n — 1 équations entre les coefficiens des fonctions N et il n'y a donc que n + 1 de ces coefficiens qu'on peut prendre arbitrairement, le» autres sont déterminés par les équations -de condition.
De ce qui précède il suit qu'on trouve toutes les valeurs de 7Ï, et de AT qui rendent la différentielle ~J^ intégrante par une expression de la forme
en faisant successivement les quantités s,sltst...sm indépendantes de x. Puisque p=pxN, on a de même,
P^— — loir (Pi Y
ou bien
où
en supposant *«, égal à une constante.
Les quantités Rt, N, Pl et q étant déterminées comme on vient de voir, on trouve *> par l'équation (5). Cette équation donne, en mettant pfN au lieu de p et p au lieu de ™
Il sait de là que
dç = ôpi + âN— l — ôq = Ap — ôq—t. Or on a vu que dp — 9q = nt dooc
ôç — n — 1.
Dooc si la fonction R ou RXN est du degré 2n, la fonction ç sera nécessairement du degré n — 1.
Nous avons vu plus haut que
R = RlN,
mais on peut toujours supposer que la fonction N est constante. En effet on a,
et par conséquent,
c'est-à-dire, en faisant pl*iV4- y' Jï, et 2p,ç = y',
Il est clair que p' et q' n'ont pas de facteur commun; on peut donc tonjours poser
Au lieu de l'équation p*N — q*Rt = 1, on a donc, celle-ci,
dont on obtient la solution en faisant iV = 1 et mettant R au lieu de Rt. Ayant N= 1, on voit aisément que
< = /î; tl = r; fl=r« + *;
/i = £ ; r =*./W-}-f; r,=r— 9Lt\ «,= 1 + fc.fi,
r,= r1-£él;#1 = * + 4«1^;
H~t = E (^-) ; = A<-, *-i -h rm = r, — 2# ; j. = -f- 4^l^iw, = a. Ayant déterminé les quantités 72, r, /*, ftx . par ces équations on
aura:
ce qui résulte de l'équation (5) en y posant iV= 1.
On peut donner à l'expression log (jj'^tffiÉ1) ™« tonne plus simple, savoir la forme,
loe f^v^+^M —
ce qu'on peut démontrer comme il suit:
on a par la théorie des fractions
fim = /?— , + . (A)
De ces équations on tire par l'élimination de fi^:
donc a„ . — |ÇM . a„^j = ( — 1)— », ce qui est connu. Les deux équations (a) et (b) donnent encore:
"m = «m-, + 4«— i . a. . + . «Vi»
Il suit de la
Or on a
*m = s^+ 4(— 1)-' . . . /Sw-,^) — 4/*^
Or, d'après ce qui précède, on a
donc
Soit
zm = amVN+{l-Vlil, et z'. = ««KiV— /J.T/fl,, on aura en multipliant,
or on vient de voir que
«- Pm- , ~ «— i .£, = (— 1)— V et que iV— 0. (— 1)" r«;
on tire de là
