V! = (— l)".(r, + VU

et de la même manière,

z>m.zm^ = (—l)-.(rm—Vfi);

on en tire en divisant:

z. ■bit r. + <y R

c'est-à-dire en multipliant par

En faisant successivement m — 1, 2. 3, ... m, on aura,

»! r, + y/Jg *> *'i r, - /iï »'«■ »j r,+ ✓Jg ^

d'où l'on tire, ».

Or

' rl - y/R ' r, - ^ R ' r, - y/~R ' r- - <J R '

z0 = «oVW+floVRt = ttVN+ VR„

et a- VN+ ?>. VRt

ou VN- p. '

donc

En différentiant l'expression c = log f g' ^^/^'^l1 ^ on aura après les

V a. y'iV- p. y'i»! /

réductions nécessaires:

dz = *(g- rfft- - P- da. )NRt - au p. (Jg,rfiy- JW*,) (<A.JV-p».*1)v'A'*1)

Or

donc en faisant

27) (-1)- e„ = 2(«.,jgi fim*±)Nnt-mmfim(*jé%^),

z = H- ds

/P- ^ — lno- /*- ^ +P"v//*> \

ou bien

Dans cette expression est tout au plus du degré (m — 1) et çm est nécessairement du degré (n — 1 4. &„,), dont on peut se convaincre de la manière suivante.

En difterentiant l'équation

29) «l.N-pl.Iil=(- l)-i.Sm,

on trouvera la suivante:

ou en multipliant par amff,

a*mN(2mUm + «mrfJV) — 2um^mNRl — (lla.NdR^i— .amNdsm. Mettant ici â la place de «*,iV sa valeur tirée de l'équation (29), on aura,

= (— l)-**mNdim , c" est-à-dire , p4^(^m-^mdam)NRi -«^{R JN—NdRj) t = (— 1)— (sm (2Nd«m + amdN) « JVrf,.). En vertu de l'équation (27) le premier membre de cette équation est égal à ftm( — l)"-1 çmdr; donc on aura,

\ ds ^ ds J d*

Puisque dsm<n, le second membre de cette équation sera nécessairement du degré (â,m + W+ âam — 1).

Or de l'équation (29) il sait que

2â«m + tN=2tpm+âRt,

donc o(/m = oj„ -| - — ! i ,

or âN+ÔR^In, donc 3çm = ôsm + n—l,

c'est-à-dire, çm est nécessairement du degré (âsm + n — 1).

11 soit de là que la fonction — est du degré (« — 1).

Faisant dans la formule (28) N= 1, on aura tx — ry et par conséquent

où, suivant T équation (30),

M- = 2*-.-£ "-"ZF'

L'équation (28) donne, en faisant sm = o,

^. = «.(îJV.^+«.f),

et lorsque iV== 1 ,

**> = *WÏ) + •••+•■«(££)■

ou e-=p~' -rfT'

1 in

D'après ce qui précède, cette formate a la même généralité que la formule (32) et donne tontes les intégrales de la forme J où ç et R sont des fonctions entières, qui sont exprimables par une fonction logarithmique de la

Dans l'équation (28) la fonction ^ est donnée par l'équation (30). Mais

on peut exprimer cette fonction d'une manière plus commode à l' aide des quantités f , , r, , r„ etc. p, /<, ,//,... etc.

En effet soit

on aura en différentiant

r dR1Rdrm 1