VR
Or nous avons vu plus haut,
donc en multipliant par *„,,
c'est-à-dire,
Or r- = 2*— i i — r— j '
donc en substituant cette quantité,
*- • , = *— i • s + rm-» — r»> d'où l'on trouve par transposition,
r*m + sm . #^x = r* j -f . ,• Il suit de cette équation que + a la même valeur pour tous
les m et par conséquent que
r*+*„*-ï = »,i" + **iî or nous avons vu plus haut que, rt*-^ ssl — R, et par suite, 54) R — r%m + *.*«-,•
Substituant cette expression pour R dans l'équation (33') on aura après
les réductions convenables:
, Zdr. dt. r. r- .
d2'= vR ~~»7 VR ' VR '
mais puisque r, = 2*.^, /u, — 7"— i» le terme ^— 845
en — 2ii. . 4- -— • • On obtiendra donc,
J v 1 rf«- r- ( r*-' .
et par l'intégration,
Cette expression est, comme on voit, une Formule de réduction pour les
intégrales de la forme f*±. J^. Car elle donne l'intégrale f^~- ~
par une autre intégrale de la même forme et par une intégrale de la forme
y^rjj* ou ' R8t une fonction entière.
Mettant dans cette formule à la place de m successivement m — 1 m — 2,... 3, 2, 1, on obtiendra m — 1 équations semblables, dont la somme produira la formule suivante (en remarquant que r0=2sfi — rl—tiN en vertu de l'équation rt-\-txW= 2s/i).
/th. t. , i . , , , i'd. ttIf
+/«(*•, + rfrt + rfr, + . . . + drm— Hds — — f^dst — - J^ . On peut encore réduire l'intégrale fA'-. Différentiant l'expression
on aura après quelque réductions,
Or on a
Bt=t*N+s;
substituant donc cette valeur de Iit dans l'équation ci-dessus, on trouvera donc en intégrant
t— • se transformera par là en celle-ci,
/^"■^=-<*+ât + r«+ — + î-) +/^ i',rfJVLh • •• +*■-— /"'*—/«, • • — fm-ld*m. ,),
c'est-à-dire, en mettant à la place des quantités z, s, , leurs valeurs,
- "* 0££#) - * - "* Ggî) — - - ) ■
Cette formule est entièrement la même que la formule (28); elle donne: 57) ^.rfr = -^=.
4- 2(iVar, + £/,rfiV + </r, + . . . + drm — Mds — ttldsl — ... — Mais l'expression ci-dessus dispense du calcul des fonction «„ et pm.
Si maintenant sm est indépendant de x, l'intégrale J^j^- s'évanouit et on obtient la formule suivante:
= * mm) + N + * <*&).+-+ ■* (^;-)
Lorsque dans l'expression (36) 2V= 1, on aura f, = r et par suite: Y* v^R ^ + rfr» + rfr« + • • + </r- — M*, — ... — /i».,^,)
et lorsqu' on fait sm = a:
En vertu de ce qui précède, celte formule a la même généralité que (38), et donne par conséquent toutes les intégrales de la forme f^L , où / est une fonction entière, qui peuvent être exprimées par une fonction de la forme
Nous avons vu ci-dessus que
^* »H, etc.
doue, lorsque iV= 1,
En général les quantités ji, ji,, //„ /i, . . . sont différentes entre elles. Mai» lorsqu'une des quantités *,*,,*,...*„ est indépendante de x, la fraction continue devient périodique. Cela on peut démontrer comme il suit.
On a ri+ , + sm. Sn+t =R = t* + s,
donc, lorsque sm = a,
rl+t —r* = s — asm+i = (rB+i + r) (r.+1 — r) . Or o>B+1 = <Jr, d* < âr, ôsm+i < dr. Cette équation ne peut donc subsister à moins qu'on n'ait en même temps,
r*fi = r» — V •
Or puisque ^ = *(~-) ,
on a de même /i»^ = a . ^(-y-) 5 mai8 £ (~) = »
donc (im+l=ap.
On a de plus
donc ayant = «, = r, = ff/i,
on en conclut = «(1 -f- 4/ir — fy**);
or *j = i 4pr — 4/i"*,
donc •W, = «Jf, On a de même ra+4 = 2//B+1*.+1 — rm+l = £jij — r,
et r, =2/us—r,
donc rB+1 = r, , d'où l'on tire
)[im+u = a±1.
donc ji,,^ = J^-
Eo continuant ce procédé on voit sans peine qu'on aura en général: 40)
Le signe -f- doit être pris lorsque n est pair et le signe — dans le cas contraire.
Mettant dans l'équation
a à la place de sm, on aura,
(rm — r) {rm + r) = s— as^ .
U suit de là
rm = r, *„,== Or = (^), donc = £(r);
c'est-à-dire #..= -±-.r.
On a de plus rra -f r»., = te^p^i ,
c est-à-dire , puisque rm = r, = — ,
Or r-f-rl = 2*/i, donc
»Vt — r! = v 0<n-i — On a r£-i-f *m-i *.-> = 'ï + «i.
c'est-à-dire, puisque =
('•■»-. + rj (r.., — r,) = ±- — *„>,). Or nous avons vu que
GQ substituant,
Cette équaUon donne, en remarquant que â(ru¥l+ri)>â(asl —
et par conséquent r„, = rx .
Par un procédé semblable on trouvera
et en général:
A) Soit m un nombre pair = 2k.
Dans ce cas on voit aisément, en vertu des équations (41) et (42), que les quantités r, rt, rv r, . . . *, st> *, . . . /<, ftt, fi%... forment les séries sui-
0 1 t ... Zk-i 2/r-l 2* 2A+1 2A+2 . . . 4A-1 4* 4*+l 4A+2 4A+3 4A+4
ri r
r rx r, etc.
s st s%
pi ^ //, etc.
B) Soit m un nombre impair = 2A—1.
Dans ce cas les équations
*«. - = «il ■ *-i et = «il •
donnent pour 7/ = k,
sk i = a*1 . si,.} , donc « = 1.
Les quantités r, rx, etc. etc. ^, ^ etc. forment les séries suivantes: 0 1 2 . . . A— 2 1 * *+l . . . 2k— 2 2A— 1 2* 2*+l 2*+2 etc.
>V« »** i n.i »V« . . . ri r *JM ** « **.* ... * 1 /**.« /Ui /U s /<*» . . . /x r
etc.
etc.
etc.
On voit par là que, lorsqu'une des quantités *, * , *t . . . est indépendante de x, la fraction continue résultant de est toujours périodique et de la
forme suivante, lorsque sm — a:
VR = r+* i
Lorsque m est Impair, on a de plus a = 1 , et par suite :
^ + 2^ + etc.
Le réciproque a également lieu; c'est-à-dire, lorsque la fraction continue résultant de VR a 1» forme ci-dessus, sera indépendant de x. En effet soit
on tire de l'équation rm = *„ . fim -f- em ,
rn = ^— • *» + * ■•
Or r- = r,.l — 2^,, où d»M<dr, il est clair que rm = r+ru, oùôym<âr. On tire de là
r(l --£-) = <.-*., et par conséquent sm = a, ce qu' il fallut démontrer.
En combinant cela avec ce qui précède, on trouve la proposition suivante: "Lorsqu'il est possible de trouver pour (> une fonction entière telle, que
"la fraction continue résultant de Y R sera périodique, et aura la forme suivante :
r 2|x,+etc.
"et réciproquement, lorsque la fraction continue résultant de ytt a cette forme,
"il est toujours possible de trouver pour ç one fonction entière qui satisfait à
"La fonction y est donnée par l'expression suivante:
Dans cette proposition est contenue la solution complète du problème proposé an commencement de ce mémoire.
Nous venons de voir que, lorsque * ^ est indépendant de x, on aura toujours *k ==lSh%, et lorsque s est indépendant de x, on aura *t = 00 c C8t
constant Le réciproque a également lieu, ce qu'on peut démontrer comme il
ouu. s
