I. Soit d'abord sk — sk^t
or donc r^r^.
Déplus rt = /v*t+v
it,
Cette équation donne, en remarquant que dfk<d*4; ete^ < d*^,
Or r^ssr^ — 2*fc, donc, en vertu de la dernière équation,
'h, =Vt + et puisque r^x = r^—Zt^ on en conclut,
donc V> = V, •
En combinant cette équation avec celles-ci,
Or on a, V> = r*V et r* , = r* , ~ *W
par conséquent, 0=^^-^) + V« + V, • Il sait de là, Pk+1 = ,lk %, *4+t = - .
Eu continuant de cette manière, on voit aisément qu'on aura en général:
En posant dans la dernière équation n == k — 1, on trouvera,
Or il est clair que est la même chose que 1; car on a en général,
R = r\, + sm.sm.l,
donc en faisant m = 0,
mais /? = r»-f #, donc *., = !, et par conséquent,
Vi = 1- 11. Soit en second lieu sk = rsk ,.
On a, rt = A»t • + V et rkl = ,Vl . *u + Vl »
d«n^ >** - ^ = Vi («v* - /'*..) + '* -
Or, ri — rk i— — 2f4 t , donc ,
Cette équation donne,
Donc des équations,
rt — rt i = — 2f*-i ' r*+i -~Tk=z — 2V on obtient en ajoutant,
On a de plus,
rH-i —
ri\.i + • sk+i — r*-i + • 'k-t »
on en conclut 1
sh-i — T ***-»'
En continuant de cette manière, on aura,
c'est-à-dire, su est indépendant de x.
Cette propriété des quantités *, sx, etc. fait voir qne l'équation est identique avec l'équation sk = a±, *t l et qne l'équation *M t = 1 est identique avec l'équation sk= 11 suit de là que, lorsqu'on cherche la forme de R qni convient à l'équation sik=a, on peut au lieu de cette équation poser ,v*= c±' - et lorsqu'on cherche la forme de R qui convient à l'équation *2t,= l> il suffit de faire sk=sk%, ce qui abrège beaucoup le calcul.
En vertu des équations (41) et (42) on peut donner â l'expression (40) une forme plus simple.
a) Lorsque m est pair = 2k, on a:
b) Lorsque m est impair = tk — 1, on a: rV* (,tr+dri+ • • • +(lrk-—t"ls— /Vf* — • • — f't-t^k-*— à'Vi A*-i>
Pour appliquer ce qui précède à un exemple, prenons l'intégrale
On a ici AR=4, donc les fonctions slf s„ sont du prémier degré, et
par suite l'équation *„ = const. ne donne qu'une seule équation de condition
entre les quantités «, /?, y, tf, t.
Faisant
a* -f ax> + + y.r + = (.r* ax + ô)« + c + ex,
on aura,
r=x«-f «x-f é, s=c+ex.
Pour abréger le calcul, nous ferons c=0; donc * = ex, et par conséquent,
c'est-à-dire
De plus
rt = r — & — x* + tue + * — 2* = x* + ax — b, ,1== 1 + 4^ = 1 + 46.'^- = ^x + ^ + l,
£ (^M = £ 4A 4«i ! 8 x îL ,
ne . e* .
'» = ri — ^t*« = li" + W ~ '
Soit maintenant en premier lieu
= constant.
Alors l'équation,
donne b = 0,
par conséquent, r = x* -f ox,
, puisque // = , * = ftr,
Cette intégrale se trouve aussi facilement en multipliant la différentielle en liant et en bas par x.
Soit en second lieu = constant.
Dans ce cas la formule (45.) donne, k étant = 1 ,
Or l'équation *a = cousL donne sx = cs, donc,
^x + i^- + l = cex.
L'équation de condition sera donc -}- 1 = 0, c'est-à-dire,
donc li = (x* -\- ax -\- b)* — Aabx.
De plus, fi étant r = -j- <ur -f- 6, rt =^r* + or — 6, on aura
la formule,
V((x* + «x + 6)» -fcéx) ° \**+as+b - ✓JB^*,0gVi*+«x-A- s/ R) '
Soit en troisième lieu = const Cette équation donne *=*a, c'est-à-dire,
S + iS«-*=a
On tire de là,
La formule (44) donne par conséquent, puisque k = 2, /» (5x+t«:f !✓(«»' +4*)).dx
./ J/((x»+ax + *)*-2*x(a± ✓«» + *)) , /x' + a^V^N . /x' + ttx-*+y/*N "V^+M+i- y/*/ ^ 5 \x«+«x-4 Si par exemple a = 0, 6 = 1, on aura cette intégrale:
./K((x» + l)'-4rj B^s* + i-v((** + i)*-4*y^r B Vx»-1 -✓((*»+ i)*-**y
Soit en quatrième lieu *4 = const Cela donne #a=scr , c'est-à-dire:
On en tire, en comparant les coefficiens et ensuite en éliminant c,
(, -i- 4«6)» = 166» — e (e + 4a6), e» -f 6a6 . * = 86» — 8«*6», e = — 3c6 ^ |/(86» + 0*6») = — 6((3a ± K(«* + 86)). . En vertu de cette expression la formule (t3) donne,
r (*x + \a-iS(a* + 8b))ds / x» + „x + & + \
J |/((xl+ox + 4)*-6(îa+ y/(a» + 8*))x) g Vx» + «x+ * - y/* /
+ >0H-x' + flx.A - / ^ vr* + ax + (a - y/ (a* + 86)) - ✓
Si l'on fait p. ex. a = 0, b = \, on obtiendra:
De cette manière on peut continuer et trouver un plus grand nombre d'intégrales. Ainsi p. ex. l'intégrale
(x+\).dx
peut s'exprimer par des logarithmes.
Nous avons ici cherché les intégrales de la forme f qui peuvent s'exprimer par une fonction logarithmique de la forme log + y ^r) ' ^n Pour" rait rendre le problème encore plus général et chercher en général toutes les intégrales de la forme ci-dessus qui pourraient s'exprimer d'une manière quelconque par des logarithmes; mais on ne trouverait pas d'iutégralcs nouvelles; car le théorème suivant très remarquable a lieu:
"Lorsqu'une intégrale de la forme où p et iï sont des fonc-
ions entières de x, est exprimable par des logarithmes, on peut toujours l'exprimer de la manière suivante:
"où A est constant, et p et q des fonctions entières de x" Je me réserve de démontrer c« théorème dans une autre
Recherche sur la série 1 + - x + -lï£I . + 2^)<»L?) .*■ + ... etc.
Si l'on fait subir au raisonnement dont on se sert en général où il s'agit des séries infinies, uu examen plus exact, on trouvera qu'il est en entier peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des théorèmes, concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est très limité. On applique h l'ordinaire les opérations de l'analyse aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. Si par exemple on doit multiplier deux séries infinies l'une par l'autre, on pose
(«e +«,+«* + "»+ C''o + + + etc.) = «0*>0-Kw0 *>,+«, «g
+ *\ + »1»0) + etc....+(«ô»(1+KI + v,?v*+ ... + etc.
Cette équation est très juste lorsque les séries »0 + m, -f- • • ■ et **0 +», + •• • sont finies. Mais si elles sont infinies il est d'abord nécessaire qu'elles convergent, car une série divergente n'a pas de somme, et ensuite la série du second membre doit de même converger. C'est seulement avec cette restriction que l'expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu'à présent on n' y a pas eu égard. C est ce qu'on se propose de faire dans ce traité. Il-y-a encore plusieurs opérations semblables à prouver, p. ex. le procédé ordinaire de la division d'une quantité par une série infinie, celui de l'élévation d'une série infinie à une puissance, celui de la détermination de son logarithme, de son sinus, de son cosinus, etc.
Un autre procédé qu'on trouve fréquemment dans l'analyse, et qui assez souvant conduit aux contradictions, c'est qu'on se sert des séries divergentes pour l'évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente ne
peut jamais être égale à une quantité déterminée; elle est seulement une expression jouissant de certaines propriétés, qui se rapportent aux opérations auxquelles la série est sujette.
Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de symboles pour exprimer l'une on l'autre proposition d'une manière abrégée; mais ou ne saurait jamais les mettre à la place des quantités déterminées. Par un tel procédé en peut démontrer tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien que le possible.
Une des séries les plus remarquables dans l' analyse algébrique est celle-ci:
Lorsque m est un nombre entier positif, on sait que la somme de cette série, qui dans ce cas est finie, peut s'exprimer par (1 -f-x)". Lorsque m n'est pas un nombre entier, la série ira <'i l'infini, et elle sera convergente ou divergente, selon les différentes valeurs qu'on attribue h m et à x. Dans ce cas on pose de même l'équation
<l + *)- = l + i.» + 2!^.*« + etc.
mais alors l'égalité exprime seulement que les deux expressions
(!+,)- et i + .£,+ J^ÏL") ,■ + ...
ont certaines propriétés communes desquelles, pour certaines valeurs de m et de jc, dépend l'égalité des valeurs numériques des expressions. On suppose que l'égalité numérique aura toujours lieu, lorsque la série est convergente; mais c'est ce qui jusqu'à présent n'est pas encore démontré. On n'a pas même examiné tous les cas où la série est convergente. Lors même qu'on sitppose l'existence de l'équation ci-dessus, il reste pourtant à chercher la voleur de (1-f-x)", car cette expression a en général une infinité de valeurs différentes, tandis que la série 1 -j- mx -f- etc. n'en a qu'une seule.
Le but de ce mémoire est d'essayer de remplir une lacune par la résolution complète du problème suivant:
"Trouver la somme de la série
1 + J=. . x + -(-;,>. . * + ^JM-»> . + etc.
"pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de m pour lesquelles la série est convergente."
Nous allons d" abord établir quelques théorèmes nécessaires sur les séries. L'exellent ouvrage de M. Caucliy "Cours d'analyse de l'école polytechnique", qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches mathématiques, nous servira de guide.
Définition. Une série quelconque
*'o + », + »t + • • • + *- etc.
sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de m, la somme *>• 4- vi "h • • • + vm s'approche indéfiniment d'une certaine limite. Cette limite s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série sera dite divergente, et clic n'a pas de somme. D'après cette définition, pour qu'une série soit convergente, il est néccessaire et il suffît que pour des valeurs toujours croissantes de m, la somme vm -f- vu+i -(-...-{- vn+n s* approche indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n.
Donc, dans une série convergente quelconque le terme général vm s'approchera indéfiniment de zéro*).
Théorème I. Si en désignant par Po, Ql, çt . . . une série de quantités
positives, le quotient -i=±i pour des valeurs toujours croissantes de a», s'approche
indéfiniment d'une limite a, qui est plus grande que 1, la série
<o Po + « , P, + *, P, + • • • + *m Vm + • • •
où em est une quantité qui pour des valeurs toujours croissantes de m ne s'approche pas indéfiniment de zéro, sera néccessatremcut divergente.
Théorème II. Si dans uue série de quantités positives p0 -|- P, -f- p, • • •
+ P« 'e quotient pour des valeurs toujours croissantes de m s' approche P-
iadéfiniment d'une limite, qui est plus petite que 1, la série
'o Po + P, + f4 P* + • • • "h 'm Pm>
où f0> *f, *a etc. sont des quantités, qui ne surpassent pas l'unité, sera nécessairement convergente.
En effet d'après la supposition on peut toujours prendre m assez grand pour que çn+1 < açm, . . . (>.+, < «?.+„,. H suit de là que
P.+ic<«*-Pm et par suite
*) Pour abréger, «n lignifiera dans ce mémoire par u une quantité qui peut être plut petite qne toute quantité donnée.
fm + (*»+! + ••• + Pm+» < P )-f-(0.
a plus forte raison „dre ^ as8ez petit pour
Qm + 'm+i
Or étant < a* . pn et « somme
zéro pour limite. La s, P\»
etc.
Théorème III. En désignant .avergentes quelconques, si pm = t0 -f tl -f /2 + • quantité déterminée d, on aura
>*='o'o-K 'a+«, ', + •■• -h , ou fo> *i» • ■ • sont des quantités positives décroi.s.s;ni ; . En effet on a
*o = Po> =Pt — P„, t*=Pt—pi etc.
donc r = ^0 + fi(pi-f,0) + fs(^^i)h... + fa(i,ii
ou bien
Or les différences *0— #1,4>... étant positives, la quantité r nera ^ demment moindre que it0.
Définition. Une fonction f{x) sera dite fonction continue de j; entre limites x=a et x=ô, si pour une valeur quelconque de x intermédiaire enti> ces limites, la quantité f\x— ,•?), pour des valeurs toujours décroissantes de p, s approche indéfiniment de la limite f{x).
Théorème IV. Si la série
f{u) = t>0 -f Vlu -f vtu*+ . . . + + . . . est convergente pour une certaine valeur à de «, elle sera aussi convergente pour toute valeur moindre de a, et, pour des valeurs toujours décroissantes de (f, la fonction f(a — p) s'approche indéfiniment de la limite /"(a), supposé que « soit égal ou inférieur à à.
Soit v0 + r ,« + ... + .c-1 = ?(«),
fm«m + »lll+l«-+1+ctc.... = V'(«), on aura tf„) = ( *)~ . ^ -f ( «)-*\ + etc.
donc, d'après le théorème (III), y(a) < (y)". /*> /» désignant la plus grande
des quantités vmôm, vmâm+ v^d**1, vmd~ -f vm+ld'+l + vm+Jm+t etc. On pourra donc pour toute valeur de «, égale ou inférieure à d, prendre m assez grand pour qu'on ait
Or /fa)=çfa)-f vC«), donc /fa)— /fa — £)=?(«) — çfa — /?) ■+- t».
De plus q(u) étant une fonction entière de «, on peut prendre assez petit pour que
?(«) — — = »; donc de même /fa) — /fa — (5) = <o,
ce qu'il fallut démontrer.
Théorème V. Soit
une série convergente, dans laquelle »0, *\, sont des fonctions continues
d'une même quantité variable x entre les limites x = a et x = b, la série
où a < sera convergente et fonction continue de x entre les mêmes limites.
Il est déjà démontré que la série f(x) est convergente. Que la fonction /fa) est continue pourra se démontrer comme il suit. Soit
+ =Vfa),
on aura Or
donc en désignant par ô(x) la plus grande des quantités v„âm, vmom + vm¥tdm+l, "m«*"+».+,^"+' + *W»<)'+1 etc- on aura en TRrtu du théorème (III):
Il suit de là qu'on peut prendre m assez grand pour qu'on ait y(x) — u, et que par conséquent aussi
où m est moindre que toute quantité assignable.
On a de même
f(*-{l) = f{x-P)+ «, donc f(x) — f(x — /S) = y(x) — — ,*) + » .
Or par la forme de tf(x) il est clair qu'on peut prendre /? assez petit pour qu'on ait
<p(*) — <f(x— /?) = «, d' où r on tire f{x) — f(x — p) = co.
Donc la fonction /fc) est continue").
Théorème VI. Lorsqu'on désigne par ç0, Pl, Pa etc. p'0, p\, ç't etc. les valeurs namériqnes des membres respectifs des deux séries convergentes
et t,'0-f ^ + =,,»,
si les séries
Po "f Pi +(>*+ • •
sont de même convergentes, la série,
ro ri + r* + • • • > dont le terme général est, rm = *0 v'„ -f p, »»„,, + + + »'0,
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme,
Démonstration.
En faisant,
on voit aisément que
•) Dana fourrage cité de M. Cauchj on trouve (page 131) le théorème auivant: "Lora- "que lea différons termes de la série, «„ + k, + «a + . . . etc. sont des fonctions d'une "même variable x, continues par rapport à cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme a de la série eat "aussi, dana le voisinage de celte valeur particulière, fonction continue de x." Mais il me aemblc que ce théorème admet des exceptions. Par exemple la aérie,
sin 9 — £ ain ïç + { ain 89 — ... etc. est discontinue pour toute valeur (2m+l)ic de x, on m est un nombre entier. Il y », comme en sait, plusieurs séries de cette espèce.
Soit
Qo 4* Pi +Ça 4" • ■• = «»
^ e'o+<>\+ <*», + ... = *, il est clair que sans égard au signe on aura,
f <«•(?,* 4-P.-1 +---4-VW.)
Or les séries p0 + Pl -f p2 -f- . . . , et ç'0 -f- ç', + (»', + .. . étant convergentes, les quantités t et pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approcheront indéfiniment de la limite zéro. Donc faisant dans l'équation (a) m infini, on aura,
»'o + »\ + rt -f r, + etc. == (v0 -f vy 4. r3 -{- etc.) (tf'0 -f- »'4 + »'s + etc.) Soient t0, <,,*4, etc., f^, #*4 etc. deux séries de quantités positives et négatives, dont les termes généraux s'approchent indéfiniment de zéro, il suit du théorème (11) que les séries,
to + txa + tnn* + etc., ct ''« + '> + ''/ + etc-» ou « signifie une quantité inférieure à l' unité, doivent être convergentes. Il en sera de même en attribuant à chaque terme sa valeur numérique, donc en vertu du théorème précédent:
('• + 4- <t«* + •••) C'o + 'V< + Kn* + •••> = 'o ''o + + 'o '\)« + ('„ ''0 4- <\ + <o ''„) «* + etc. ••• + ('. ''0+ <*, 4 W, + • • - 4- 'a <*-)«" 4- etc. Maintenant si l'on suppose que les trois séries,
*'.+ <', 4- + etc.
'0 <'« 4 4- f. <',) 4- t'a -f f , el 4- #•,) 4- etc.
soient convergentes, on trouvera en vertu du théorème (IV), en faisant dans l'équation (ù) « converger vers l'unité:
('«, + ', 4- ', + .••) C,+ <'4''1 + -) = «. <'« + '*o 4 'o <\) + (* , <'o 4- <» 4 <',) 4- etc.
Examinons maintenant la série proposée,
En la désignant par y (m), et faisant pour abréger, 1 = m0, — = «,, -^11- = « , et en général ■■H)-0t»O — » on aura:
1. ç>(«) = w0-|-»i1jr + msa^+ . . . 4- WuX" + «te- Il s'agit d'abord de trouver les valeurs de m et de x pour lesquelles la
série est convergente.
Les quantités m et x pouvant en général aussi être imaginaires, soit
x = a + bV — 1» w = *-f * V— 1,
où 0, (, *, sont des quantités réelles. Substituant ces valeurs dans l'équation (1), elle prendra la forme
+ qV— 1»
où p et y sont des séries dont les termes ont des valeurs réelles. On peut trouver ces séries de la manière suivante:
Soit (fl*+6«)» = a, *=cosç, A = 8iB9t>
et l'on aura
x = a (cos <p -f- y — 1 . sin qp), où a et 9 sont des quantités réelles, et en outre a est positive. Si l'on fait de plus
J^±l. = Mco8 Yft + K, . 8in ^ = *+*V-l-^l f on trouvera
Si dans F expression
i^±i = *u(cos ^ + V- 1 . siu r,),
on fait successivement /» égal à 1, 2, S, . . . /*, on obtiendra a* équations qui étant multipliées terme à terme donneront
mf— î.a.a v
<*,.<»,.*, . . . <^ (cosO-.-f ra-f- . . . + . sia(n + /« + . . . 4.^))
On tire de là, en multipliant par
af = ^(cobç-J-J/- — 1 . sinç)^ = «^(cos/ip -\-V— 1 • sin/uy),
/»,<r" =aft.â%.ôt.ât...df, (cos 0/ <p+/,+y,+ . . .+ >>) + 1 . sin (/i^+r t+ /,+•••+ J>)) ; ou bien en faisant pour abréger
W*, . . . ^ = ^, ^ -f- y, -f- y, -f- . . . = V mfl.xft = Xft. «/'(cos Op + Y—l . sin 0^). L'expression (1) se change par là en celle-ci,
<p(m)=z 1 + (cosfl, 4- V—i • sin 0,) + Xta*(coa 0S + 1^—1 . sin 0,) + . . . + (cob Op+Y—l . sin 0,,) + . . .
on en celle-ci,
= 1 -j- Xta . cos0t 4- ;.8o* . cos 0a + . . . 4- i^ft1" . cos 0,,-J- . . etc.
-f V— 1 • 8"» 0j 4- • «in fls + . . . 4- ^a? . sin 0^4- . . etc.) On a donc
j jv = l + Aaa . cos0,-f . cos0t4- ... 4. A^tt" . cosO^ -}-...
( y= A,a . sin 0, 4- As«, . sin 0„ -f . . . 4- X^ . sin 0^ -f- . . .
Or je dis que ces séries seront divergentes ou convergentes selon que a est supérieur ou inférieur à l'unité.
De l'expression pour Xf, on tire Xf,+t=du+t. X^, donc
Xw a**** = udfi+i.Xfàafl,
et
donc pour des valeurs toujours croissantes de (i, âf, s'approchera de la limite I, et par suite de la limite a.
Donc en vertu des théorèmes (I) et (II) du paragraphe précédent les séries p et q seront divergentes ou convergentes suivant que a est supérieur ou inférieur à l'unité. Il est donc de même de la série proposée <f(m).
Le cas où « = 1, sera traité plus bas.
Comme la série <p(m) est convergente pour toute valeur de a inférieure à l'unité, sa somme sera une certaine fonction de m et de*. On peut, comme il suit, établir une propriété de cette fonction à l'aide de laquelle on peut la trouver: On a
(f(m)=tn0-\-mtx+mtxt 4- ... 4. m^x" 4- etc.
<P(») = »o+ 4- . . . 4. + etc.
où Hf, désigne la valeur de pour m=n. On en conclut suivant le théorème VI:
v (m) . ,/(«) = y0 -h (V, -f <tt'0) + (V, + txvx 4- tjt>0) 4- etc.
H- (W+'.<y.+ ... 4- Vo)+ etc.
où tft=muxf, t'u—n^", supposé que la série du second membre soit convergente. En substituant les valeurs de t„ et /'„ on aura: <f(m) . (f(n) — m0 n0 + (m0 «, 4- m, »0)ar 4- (»i0 n, 4- »», «, 4- m, »„) ar, 4- . . .
