mo «/i4- wi

Or d'après une propriété connue de la fonction mu on a

(m 4- «)u = m0 iif, 4- w», 4~ w, 4- . . . 4- n0, (»»4~n).« désignant la valeur de tnu lorsqu'on y substitue m-\-n pour m. On aura donc par substitution:

<f(m) . tf (n) = (m 4- «)0 4~ (m + m), a: 4- (m 4- ** 4- . . . 4~ (m + 4~ etc.

Or d'après ce qui précède, le second membre de cette équation est une série convergente et précicément la même chose que y (m 4- donc 3) <r(m).<f(n) = <p(m+«).

Cette équation exprime une propriété fondamentale de la fonction <p(m). De cette propriété nous déduirons une expression de la fonction sous forme finie à l'aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.

Comme on a vu plus haut, la fonction ç(m) est de la forme p-\- qY — 1» p et q étant toujours réels et fonctions des quantités k, A*, a et q, et m = k 4- k1 \f — 1 , x = a (cos 9 4" Y — 1 • s'n Soit

p-\- q V — 1 — f (COS * 4~ V — 1 • S»11 *)>

et l'on trouvera

(p*4-q*)i=ri ~- = cos s. -^ = sin*,

r étant toujours positif et s une quantité réelle. Soit

r =f{k, k), s — y(k, A*), et l'on aura, 3') p+qV— l = ç(*4-*,K— l)=A*»*')(co8 yiW+V— lsinv(*,*')). On tire de la en mettant successivement /, ? et k 4- /, A" 4- V à la place de A- et k:

ç(*4-/4-(*4-/'))Al )= AA4-'» A-'+f)(cos . sin yik+l, k+t)).

Or en vertu de l'équation ç(«) = q(m-\-n), on a,

en faisant m = A 4- A'|/ — 1, n = l 4- ? K— 1- Donc en substituant, on obtient,

f{k+l, k+t) [cos u-(A+4 *»+/>) + V— 1 • sin y<*+/, *♦+')]= /TAr,*0 M * ) [cos ( *') + v (A /») + V- 1 • sin M*, *0 + V(A '')]• Cette équation donne, lorsqu'on sépare les termes réels des ternies imaginaires:

f{k+W+l>) . cos *•+*)=/{*,*») ./ft*).cos(tKA,A') + iK/,/')),

. sin ^H^-AH-')^*»*)-/^ • sin f>(M') + Ed carrant et ajoutant ces équations membre à membre on aura:

et de là

4) /tH^. *)./&*).

En vertu de cette équation les précédentes se transforment en celles-ci : cos 1, k-+P) = cos *') + t- (/, /•)) sin U' + /*) = sin f>(A, k>) + y(/f />))

d'où l'on tire,

5) + = 2»it + v(*, *) + , m étant un nombre entier positif ou négatif.

Maintenant il s'agit de trouver les fonctions flk, k) et y(*>*0 des équations (4) et (5).

D'abord je dis qu'elles sont des fonctions continues de k et entre des limites quelconques de ces variables. En effet d'après le théorème (V) p et q sont évidemment des fonctions continues.

Or on a,

f{k, A») = (p*+ q*)' ; COS *) = -^y; sin y(k, k>) = ^JL- ;

donc f(k, k) de même que cos y(k, h) et sin y(k, k*) est une fonction continue. On peut donc supposer que yfak1) est aussi une fonction continue. Nous allons d'abord examiner l'équation (a). Or y(k, k') étant une fonction continue, il faut que m pour toutes les valeurs de A, k4, l, V ait la même valeur. Faisant donc successivement / = 0, & = 0, on obtient,

«4 *< + >) = 2™ + «'(0, «o + *ft *).

En éliminant de ces équations et l'équation (5) les deux quantités k>) et /»), on trouvera,

Soit pour abréger

. M*, A- + *) = 0(A), b> Umx + y(0, A») + v(0, /') = «,

ioi successivement l = k, 2k, ... çk, on 20(*) = «-hfl(2A), 0(Jr)-f 0(2A) = a + 0(3A), 0(*) -f 0(3*) = a + 0(4*),

«(A) + 0(P-1)A= « + %*)• En ajoutant ces équations on trouve,

7<) çd{k) = (ç-l)a + 6(çk).

On en tire en Taisant k = 1 ,

ou bien en faisant 0(1) — « = c,

Voilà donc la valeur de la fonction d(k), lorsque k est un nombre entier. Mais la fonction 0(k) aura la même forme pour toute valeur de A, c« qu'on peut démontrer aisément comme il suit:

Si l'on pose dans l'équation (7') k — -£-, où /* est un nombre entier,

on en tire ? . 6 (J~-) = (p — i) a + 8{jx). Or en vertu de l'équation (8)

0{ft) = cfi -f- a.

Donc en substituant et divisant par p on trouve,

L'équation (8) a donc lieu pour toute valeur positive et rationnelle de p. Soit / = — A, l'équation (7) deviendra,

Il suit de là en posant A= 0,

0(0) — a> et par conséquent 0( — k) — ta — 6(k). Or k étant rationnel et positif on a 0(*) =cA + o, donc,

<K-k) = -ck + a.

L'équation,

a donc lieu pour tonte valeur rationnelle de k et par conséquent, puisque 6(k) est une fonction continue, pour toute valeur réelle de k.

Or 6(k) = v(k,k>+l'), eto= 2m* + V(0, k>) H y(0, faisant donc c = 0(A', /»), on obtient

On tire de là en faisant k = 0,

y(0, *4*) = 2m* + v(0, + v(0, /')• Cette équation étant de la même forme que l'équation (7), elle donnera de la même manière:

if-(0, fc) = (l' . k' — 2m*, où /S' est une quantité indépendante de k*.

Mettant f à la place de k'f on obtient \f>(Q, l) = — 2m* + /Jtf.

Substituant ces valeurs de y(0> £') et de y(0, /*) dans l'équation (10) on en tirera

On voit par là que 0 (*•,/') est une fonction de k'+l'. En la désignant par F(k'-\-l% on aura

*ft *4') = • * 4 + *) -

et par conséquent en faisant /' = 0 ,

*<) = F(/C) . A 4 pk> — 2m* .

En remarquant que

l'équation précédente donne,

+ /<) * -f.,^^ 4 f) — 2m* = 2m*4 /X*') . k+p'k* — 2m*4 2m*. ' C'est-à-dire:

FV? + ll) = F\fC).

Donc faisant k>=0, on obtient /^f) = f\0) — (i= FX??). Par suite la valeur de y(k, k') prend la forme,

H) v(*>*0 = l*-*4iî'*' — 2»»*,

/? et /?' éUnt deux constantes. Cette valeur de y(k, k) satisfera à I* équation (5) dans toute sa généralité comme il est aisé de voir. Maintenant nous allons examiner l'équation,

f(k, kf) étant toujours une quantité positive, on pent poser:

f[k,k^ = ^'\ où F\k, fr) Bignifie uoe fonction réelle continue de k et k1.

En substituant et prenant les logarithmes des deux membres, on trouvera,

fXk + /,*' + *) = F\k, k') + F\I, f). Comme cette équation coincide avec l'équation (5) en mettant F à la place de y, et 0 à la place de m, elle donnera en vertu de l'équation (11):

12) F(k, *•) = àk + a*,

où ô et d' de même que /? et /?' sont deux quantités indépendantes de k et de Ar'. La fonction f\k, k") prendra donc la forme,

Les fonctions Ar') et /{A, A ) étant trouvées de cette manière, on aura d'après l'équation (3'),

13) ç(A4-*r-l)=cA + ''k'(cos(/î*+^A0+K-l.«in(/î*4-/î'*')), où il reste éneore à trouver les quantités d, à', /?, (?t qui ne peuvent être que îles fonctions de a et de <p.

On a

Ç(A + k'V— l)=f + où p et y «ont donnés par les équations (2). Eu séparant les quantités réelles des imaginaires,' on aura:

UA e*k * cos ({ik+{i'k')=\+ll a . cos «,+ V*" cos 0, . + X^. cos 0,,+etc. Vk+rf'.k'sin(/?A+,î'/0 = AlC.sinOI+;i«*sin<?,-f-...+i^-8uiÔM-|-etc. Nous allons d'abord considérer le cas où m est réel, c'est-à-dire où f=0. Alors les expressions (14) prennent la forme,

J/k cos£A=l-f- iacos9+^Il «'cos top + ««cosSç- + etc.=rfl«)

I /.k sin /?* = i- « sin <f>-\- ±t££L «• sin 2ç> + *fMX*~*> at 8ill g,, + etc.=fl(«).

Pour trouver d et /?, soit ifc= 1, et l'on aura:

e^.cos (i=zl-\- a. cos ç ; «''.sin § — a . sin a». On tire de là,

^=(l+2acosg) + a«)»,

cos/?= it sin/? = »"in? t,

(1 + 2 « coa 9 + a»)» (1 + a cos 9 + a*)*

tang fi:

a sin 9

1 + a cos ç

Cette dernière équation donne, en désignant par * la pins petite de toutes les valeurs de fi qui y satisfait, et qui est toujours renfermée entre les limites

r et -,

ft étant un nombre entier positif ou négatif.

Par là les équations (15) se changent en celles-ci:

f\a) = e'k cos A (s -f- fin) = e'.k cos ks . cos kfin — sin kg . sin A/ui , 0(«) = sin A (* -f fin)=zed.k sin A*, cos A/m -f- e'k cos A* . sin kftn. De ces équations on tire,

cos kftn = e""1 (f[a) . cos A* + 0(a) . sin A*),

sin Ajm = e"rfk (6(a) . cos A* — f[a) . sin A») . Or, d'après le théorème (IV), 0(a) et /(a) sont des fonctions continues de a; il faut donc que nos kfin et sin A/m conservent les mêmes valeurs pour tonte valeur de a. Ii suffit donc pour les trouver, d'attribuer une valeur quelconque à «. Soit et = 0, et l'on aura, en remarquant qu'alors «* = 1,/(«)=1, <X«) = 0, , = 0,

cos kftn = 1, sin kfin = 0. Substituant ces valeurs dans les expressions de fla) et 6(a) et se rappelant que c*r= (1 -f- Sa cos 9 + a1)» , on obtiendra:

k * f{a) =(l+2acoS9-f a*)*. cos A*, 0(a) = (1 + 2«cos 9 + «^«sin A*.

Donc enfin les expressions (la) deviendront:

1+ - J- a cos 9+ 4^-)«*cos 29 + y^B'cc» 39 + etc.=(l + 2acos9r a«)ï". cos A*, 1 1 ♦ * 1*2.3

i. a sin 9 + a* sin 29 + ^'V**,** a* sin S9 + etc.=(l + 2« cos 9 + o*)ï. sin A*.

* étant renfermé entre les limites — A et + -y- et satisfaisant à l'équation

tang s= «•'i"9- , 85 1+a.coiç

Les expressions (16) sont établies les premières par M. Cauchy dans l'ouvrage cité plus haut

La quantité a est ici supposée moindre que l'unité. On verra plus bas que a peut aussi être égal à l'unité, lorsqu'on donne à la quantité A une valeur convenable.

Dans ce qui précède nous avons trouvé les quantités J et fi. lions montrer comment on peut trouver les deux autres quantités nnes ô' et /T. Faisant pour cet effet dans les équations (U) k — 0 etA'=*, on obtiendra:

cos = 1 -f- Xta cos fl4 + )ta* Cos 6t + . . . etc. e*Dsin (fn) = Xta sin ô, sin 0a + . . . etc.

où lfl=â1Jt.ât...ôft, fl/1=//9>+y, + yï4-... + y/<, dp et ^ étant déterminés par les équations

De ces équations on déduit les suivantes:

A- co» (?«)-! = co8# | ft« cos fl + . . . » n 1 1 n * 1

«<f' n ""«*'») = XL . « 8ln <?, + K tt« sin 0, + . . . Or en supposant n positif on a, ^=1^=», donc -£-=di.8i...dft, et par suite

q<f " gin(3'^ ■ = « sin 0, + d,a» sin + d/,«» sin 0, + . . .

Ces séries sont convergentes pour toute valeur de », zéro y compris, ce qu'on voit aisément par le théorème (II). En Taisant donc n converger vers la limite xéro, et remarquant que les séries d'après le théorème (V) sont des fonctions continues, on obtiendra:

d' = u cos 0\ + ()',«* cos û\ -f- à\à\u* cos 0\ -f- . . . , (f = a sin 0\ -f d\u* sin d\ + «' sin û\ + . . . ,

où * et ^ sont les limites des quantités ^l^A± et ""^ ;

est la limite de Qh et d'^ celle de fiu. Or d'après l'expression de âH on

a â'^ = donc cos y„ == — 1 ; sin = 0 (lorsque /* > 1), donc

cos {O'J — cos (,«?> + Yi + /, + ••• + J>) = + «in W) • (— sin (Ô'/,) = sin {ji<f + /, + y, + . . . + /,,) = — cos (w) . (— 1>", où il faut se rappeler qu'en vertu de l'équation

nV—l = *>,(cos Yt + V— 1 sin y,), on a cos >',=(), siny,=:l. Donc les valeurs de ,ï' et d' seront celles-ci:

P = a . CO89 — £a* . COS2qp -f" \a* . COSfy — . . . m 6' = — («.sin? — £a*.sin2qp-^|a*. *in&tp — • • •

De cette manière on a trouvé les quantités (f et à' par des séries infinies. On peut aussi les exprimer en forme unie. Car on tire de l'équation (15): /W-i = b cosv + *-i ft, cos2^ + i^*^ ces 39 + . . .

jXj£SL- = „ . sin T + ^ „» . sin2* + ••.** + •..

11 suit de là en faisant k converger vers zéro:

. J = « cos <p — £ a*, cos 2y + ^ a' cos S(p — etc. ' \§=t a sin <p — sin 2y -f sin 5<p — etc. donc {T = d, d' = — ti.

Donc les expressions (14) prennent la forme

j 1+ V< cos 0,+ i,«»cos 0t+ . . . + V*u cos 0U + • • • = e"^' cos + d*0 =7' » ' ( P.asin #,-f V* sin 0,+ ... + ;.„«/' sin + . . . = e**-*' sin (/?*+<}*')=?,

où d=|log(l + 2acosV + «9), ,* = arctang (TJ*J^); or la somme de la série proposée étant =p -f- qV ~ U on aura

= (cos (fk +W) + V— 1 sin (,** H- <>*'))>

où l'on a m=k-\-k'V — 1, x=u (cok q + V — 1 sin <f)=a-\-byr 1; donc « b% a cos 9 = o, « sin = b, <>= $ log (1 + 2« + «* + b*)= \ log((l + a)«+ A1),

/î=arctangf-— V Substituant et écrivant m pour k et » pour k\ l'exprès-

sion ci-dessus prend la forme:

l + ?±!f±{a+bV-l)+ 1)(m^^1-"1) («+^-1)'

, (m+ny/-1)(m-nn/-1-1)(>it-2^«v/-l) , , 6 ./ ,'jv» i , i "I î . 2.3 V ^ ' ^

) , (m + n yZ-lUm-l + WJA 1 W^) . . . (m ■ p. + 1 4 n V- 1 ) . , ^ j y. ■ et<;. 19)^ " "I ~ î . 2 . 3 . . . |i V

= ((l+^+a-)Te-"-^(^-)[««(«..«ct«w(iJs) + *»Iog((l ♦

j . Sin (»i . arc tang (^) + £ n log ((l+o)* + 6*))] •

Cette expression, comme nous avons vu, de même que l'expression (18) a lieu pour toute valeur de «=vV+**)> Inférieure à l'unité.

Ea faisant p. ex. 0=0, w=0, on a l'expression

de laquelle nous tirerons parti ci-après.

Dans ce qui précède on a trouvé la somme de la série proposée toutes les. fois que o = |/(o*+**) e*t inférieur à l'unité. 11 reste encore à examiner le cas où cette quantité est égale à 1.

Nous avons vu par le théorème (IV) que lorsque a s'approche indéfiniment de l'usité, la série

*'0 "4" vin + v9a* -f" • • • s'approchera en même temps de la limite «?0"f"?''i"f",'*"h • • • supposé que cette dernière série soit convergente. En faisant donc dans les expressions (18) « converger vers l'unité, on aura

21) |l + A1cos01+;acos04-f... + ^cos^H-...===^,^cos(M+^), l ^1sinfl14-;,sin01+... + ^8in«„4-...=crflk-/ksin(M-f où â, et (l, sont les limites des quantités à et /?, supposé que les séries, contenues dans ces équations, soient convergentes. Or il est clair que £log(2-f Scosç) est la limite de et que

est celle de fi; on a donc

22) ô, = £ log (2+2 cos <f ) , ,% = arc tang (tang £ ç) . Il reste donc seulement à examiner les cas où les séries sont convergentes. Pour cet effet il faut distinguer trois cas: lorsque k= — 1, ou compris entre — 1 et — oo; lorsque k est compris entre 0 et -f- oo, et lorsque k est compris entre 0 et — 1.

Premier cas, lorsque k est égal à — 1 ou compris entre — 1 et — oo.

Faisant donc k— — 1 — «, on aura

d'où l'on voit que âf, est toujours supérieur à l'unité.

Or on a lt,=àl.dt.dt...du, donc pour des valeurs toujours croissantes de

fi, X,, ne convergera pas vers zéro, donc en vertn du théorème (1) les séries (21) sont divergentes.

Deuxième cas, lorsque k est positif.

Supposons que c soit une quantité positive inférieure à k, on aura 0* — k — l-j-<0*=Ou — * — 1)"-|-2<,(a* — k — l)-j-e*,

donc

Si l'on fait i — +

il en suit que Ar" — — Zc{j» — k — 1) est négatif, et par conséquent (fi— k— 1)*+ A'* <(/i — *— 1 + c)*, c'est-à-dire

âu< £ ' ^<l ~ •

Si dans l'équation (20) on fait a = ~> »«=—», on aura

Donc en faisant n=l-}-* — c, on voit aisément que

(1 + -L)-'^>i->li=£.

11 suit de la que,

dx < (r^),+k"c- * * > M- 1 - **+ -£ <= tfc donc ^^(t^tî)1^' oi,'4>a

En posant successivement /u = 0, 1, 2, 3 . . . //, et faisant le produit des résultats, on obtiendra:

«Vu • «Vf» • • • <W < (p + ^li) + , or XM+(f = 9X . 8% . \ . . . J/<+p, donc Aw < d, . d, . . . \, . (p + ' par conséquent lorsqu'on fait /u = 0, 1, 2 ... /j,

l'expression (20) on fait « = — —L-^, m ===—*+ r,

A J V k t » *' i (*-c) <»-«+!) . etc.

V1 p+^+iV— ^p + ft + l ^ i.2(P+li+l)» ^ eM"

que Ar> c:

Il suit de la, en divisant par (A— r) (p + fi -f- 1)*-:

i . Lf.J i \

(p + tl + 1 ) »■*-< (*— c) V (p + ^)k e (p+ (JL + 1)k-e/

Cela donne, en faisant /i = 0, 1, 2 . . . /*, et ajoutant:

i i i ^jv! i y i i

Il suit de là que

Vu + • • • ~t~ *w < rfi • • <^s • • • *t> ~(^~^pTT" ' ' pour toute valeur de p. Doue la série 1 + )0 -f- /, -f- is + . . . , dont tons les termes sont positifs, est convergente, et par conséquent d'après te théorème (II) les séries

1 A, cos 0V -f- At cos 6% -f- . . . + cos 0^ -f" . . . A, sin 0, -f- ;a sin 0, -}-.-• -f- ^ sin 0U + . . . seront de même convergeâtes.

Troisième cas, lorsque k est égal à zéro ou compris entre zéro et — 1. Dans ce cas les séries ci-dessus seront convergentes pour toute valeur de kt pourvu que <p ne soit égal h (2« -f- l)nr. Cela peut se démontrer comme suit:

Soit

m=k+ k'Y — 1 ,x — cos f -f - jA— 1 sin y, et 1 + ml x+ mt x*+ m, x* + .'. . + /»„ x" =/», En multipliant par 1 -f- x on obtient,

Or on sait que n», + 1 = (m 4- 1)„ (m, + »»,)= (m ■+• 1), . . . (wa + iw.,) = (m + l)ft, donc en substituant:

! + ("» + l)i*+<* + l).*'-f- • • • + (m + l)Kx*=-max*+*+p,{l + x). Maintenant si l'on fait n = oo, le premier membre de cette équation sera d'après le cas précédent une série convergente. En la désignant par *, on aura,

* =pt (i + x) - mB (cos («+ l)y + . sin (»+ l)y), où » est inGni. Or on peut démontrer comme dans le deuxième cas que n, = 0 pour n = oo. On a donc,

* = p (1 -f- x), où p — 1 + m, x -f- m, x* -f- etc. in int Cette équation donne, sinon x-f-1 = 0:

La série // çst donc alors convergente, et par conséquent les séries ci-dessus le sont de même.

Si x-\-l = 0,on a 1 -f- cos<p4~K — 1 .sin? = 0, donc sin <p = 0, cos ç>=0, c'est-à-dire ç = (2«-f- 1)jt, n étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les séries en question sont convergentes pour toute valeur de k comprise entre

0 et — 1, sinon <p = (2n-\- 1) n.

Lorsque tp = (2w -f- 1 ) -j, les séries sont nécessairement divergentes, car si alors elles étaient convergentes, elles auraient pour somme les limites des fonctions,

(cos (W, -f k'à) -f Y—l . sin (Ad, + Ar'd)), en y faisant « converger vers l'unité, et faisant p = (2«-j-l)jr.

Or d = £ log (1 4- 2« cos y -f- «*), dj = arc. tang ^ ~) » donc Pour

^ = (2«-j- l)nr, d=log(l — a), d, = 0. La fonction en question prendra donc la forme (1 — «)v [cos l0g (1 — «)) 4- j/— 1 . sin (h' log (1 —«))]•

Or /.- étant égal à zéro ou négatif, il est clair que cette fonction en y faisant a converger vers l'unité, n'aura pas de limite finie et déterminée. Donc les séries sont divergentes.

De ce qui précède il suit donc, que les séries (21) ont lieu pour toute valeur de y, lorsque k est positif, et pour toute valeur de y pour laquelle sin ç> n'est pas zéro, lorsque k est compris entre — 1 et 0, quelle que soit d'ailleurs la valeur de k'. Dans tout autre cas les séries sont divergentes. Dans le cas que nous examinons la série générale (19), lorsqu'on y fait 6* -J— a*= 1, ou 6 = |/(1 — «2), prend la forme:

1 + (g4-1/(g»-i))4-('"^ » v^) <»-* Y v'-1» («4-KK- iff

4. (»' + »^-l)('»-l+ii/-1)(m •«♦«✓- 1) («4- („» 1))» 4- etc.

=(2-f-2fl)7 e' " *re*tan8 *T?3 [cos (m . arc. tangJ^J^ 4~ £ N log (24-2a))

4- V— 1 ««n («1 • arc. tang}/^^ + \n log(24~2a))]- Voici un résumé des résultats précédents: I. Lorsque la série,

1 4- (a+by i)+ (m^y/-l)(m-ltnjAl)(o + 6T/ ^«4.^.

est convergente, elle a pour nomme,

((1 +«)»+6»)Te '""'"^^[cos^.arctang \ log ((1 +«)'+**))

+ K— l.sin (/«.arc. tang + £ log((l + o)*+o1))].

II. La série est convergente pour toute valeur de n et », lorsque la quantité + **) esl inférieure à l'unité. Si J/(aa -f- **) e8t e?a' » l'unité la série est

convergente pour toute valeur de m comprise entre — 1 et <», sinon en même

temps a = — 1. Si a = — 1, m doit être positif. Dans tout autre cas la

série proposée est divergente.

Comme cas particuliers on doit considérer les suivants:

A. Lorsque « = 0.

On a alors;

{t + ~ {«+*V- 1) + W(1W^)- («+ bV- 1)« + . . .

|== ((1 +«)*+£«) * [cos (m . arc. tang . (J--)) 1 . sin (m . arctang (,-^))]-

Cette expression donne, en faisant a = « . cos y-, 6 = « . sin y et en séparant lés ternies réels des imaginaires:

| 1+ JJL „ . cos y + ™ <"* 2H «». cos 2? + etc. = ( 1 + 2« cos y + a«)f cos (m . arc. tang p^"^) '

| ".«8in-^ -^2-,)-«*.8iii2v+ctc.=(l + 2<tcos9?+«*)T sin (/«.arctang ,^^-}

B. Lorsque b '= 0.

Dans ce cas l'expression générale prend la forme suivante:

26) ! M î- + ~TT2 ° +eW'

l=(l + [cos (« log (1 + «)) -f- K— 1 • (» . log (1 + «))]•