C. Lorsque n — 0, b

Alors on a:

27) 1 + . a + . «• + Jïfi^i-JL .«>+... = (1 + «)?

Cette expression a lien pour toute valeur de m lorsque la valeur numérique de a est inférieure à l'unité, de plus pour toute valeur de m comprise entre — 1 et-J-oo, lorsque a—i, et pour toute valeur positive de m, lorsque

a = — *• Ponr toute autre valeur de a et de m le premier membre est une série divergente.

Faisant p. ex. a == 1, a = — l, on a,

l + ~+-£^ + etc.... = 2",

etc.... = 0.

La première équation a lieu pour toute valeur de m comprise entre 1

et -f- oo, et la seconde pour toute valeur positive de m.

D. Lorsque V(a* + b%) = 1 (a = cos y, 6 = sin y). Alors on a,

<=(2-f-2û)? e ^ • + «[cos(!«.arc.tangJ/^ + £log(2+2«)),

( + V— 1 • sin (»« . aratang J/^~ + ~ log(2+ 2o))] .

Si l'on Tait ici a = cos ç, on obtient:

i1^m:^v£zt(cosy+|^:isiiiy>^ (^^-iH^.i^^-D (cos2y + K.l sin2y)^ JB -n(l</ -(ijt) , =(2-f-2cosy).* * [cos(m(àV-?,7)+£log(2+2co8 9>)), + V— 1 . sin J- log(2+2cosç))] en remarquant ^.re.tMgJ/-^=TOt..g|/'.^ =arc.tang(tang< y), — <w» supposé que £y soit compris entre p;i ^- et pw-f--^..

E. Lorsque V(a* + 6») = 1, a = cos <p, b = sin y, « = 0. Dans ce cas l'expression précédente donne.

j i + (cos 9>+ Y- 1 . sin tf) + "l(m,1) (cos 2? + K- 1 . sin 2y ) + etc. ) depuis ' v = p* - JF. 50)' u * f *

( = (2+2 cos^T^osni (Jy p*) + ]A 1 . sinmQ y — p*)) (jusqu'à -J ou en séparant la partie réelle de l'imaginaire:

-, j r0089"1" 172 cos2y+etc*=^2+2co8^)? cosm^ç-p-T)! depuis £y=p*- *-

ni mtm-1) i I

sin (f + -j-^- sin 2 y + etc. = (2 + 2 cos <f ) ? sin wi (£y - p;r) (jusqu'à = p:r + - J .

F. Lorsque a = 0, b = tang ç>.

Dans ce cas on obtient lorsque ç> est compris entre -| — ^- et ^- :

jl+ w4"w/-1 .tengy.^-l-H^^^^^^-^^ngy.K-l^H-etc. {= cos tf>-~ e (co8 (m<p — n log cos «>) + Y— 1 . sin (mç — n log cos *•)).

On peut par des transformations convenables des expressions précédentes déduire encore plusieurs autres, entre lesquelles il se trouve de très remarquables. Nous allons en expliquer quelques unes. Pour plus de détail on peut l'ouvrage cité de M. Cauchy.

des séries

a . cos tp — £ a' COS 2tp -f \ a' COS 3<p — . . .,

« . sin 9 — ^ a* sin 2<p -j- ^ a* sin Sqp —

Lorsque a est supérieur à l'unité on voit aisément que ces séries sont divergentes. Si a est inférieur h l'unité nous avons vu plus baut qu'elles sont convergentes, et leurs sommes sont les quantités fi et â du § III, c'est-à-dire en mettant pour fi et ô leurs valeurs données par les équations (18).

£log (1 -j-2a cos ç> -{-«')= a cos 9 — £ a*cos2g>-f--y«,C08 3ç> — etc.

arc tang ( t -Ta "0^9 )==a S'n ^ — * a* 8'n^?,~f"'ït{, s'n &<p — etc. Pour avoir les sommes de ces séries lorsque a = -J- 1 ou — 1, il faut seulement faire « converger vers cette limite.

La première expression donne de cette manière:

51} \h*0%&~\~2 co»(f>) — cosqp — ^cos 2qp -f- j cos 3q> — etc. \± log (2 — 2cosç>) — — cosç — £cos2ç — ^ cos 3? — etc. supposé que les secondes membres de ces équations soient des séries convergentes, ce qui d'après le théorème (II) a lieu pour toute valeur de <p excepté pour <p= (2/4 + l)n dans la première expression, et pour y = 2/iji dans la seconde, tt étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.

La seconde formule donne, en supposant <p compris entre n et — n et se rappelant qu'on a alors

arc. tang (t )=«rc tang (tang | <p) = ±<p :

35) | <p = sin (f> — $ sin îtp -\- \ sin 3ç> — . . . (depuis y = + «jusqu'à <p = -r- »). Lorsque g> = ji ou — — « la série se réduit à zéro, comme on voit aisément Il suit de la, que la fonction :

sin (p — 1 sin 2<p + ^ sin S<p — etc. a la propriété remarquable pour les valeurs ç> — n et y = — n d* être discontinue. En effet lorsque 9 = ± tt, la fonction se réduit à zéro, si au contraire 9» = i — a), a étant positif et moindre que n, la valeur de la fonction est

L'expression (35) contient comme cas particulier celle-ci:

36) arc tang « = « — £ «' + £ «• — . • . etc. •

expression qu'on trouve en faisant <p = ~.

Développement de cos mtp et de sin nup suivant les puissances de tang y. On peut déduire ces développements de l'expression (32). En effet en faisant » = 0, et séparant les parties réelles des imaginaires, on obtient après avoir multiplié par (cosç>)":

(cosmy = (cosyr(l--!^l(tangy)'+ .(tMgvy-. .),

(sin mV = (cosçr(»,(tangÇ)- ^^(tang^V^1^ *)(wf ^^(tangy)'-...)»

depuis ç>= -J- jusqu'à v = — * , et ces équations ont lieu pour toute valeur

de m lorsque tang <p est moindre que 1. Si tang y = ± 1, elles ont lieu pour tout m compris entre — 1 et -j- 00. Elles sont alors:

( su. (m . -4-;=^; • (™ " iT »Tâ-+ ïTTTaTTTô * * ')>

Développement de (cos *)• et (sin*)» en séries ordonnées suivant les cosinus et les sinus des arcs multiples.

Depuis quelque temps plusieurs analystes se sont occupé du développe-

de (cos*)" et (sinx)* Mais jusqu'à présent, si je ne me trompe, tous ces efforts n'ont pas entièrement réussis. On est bien parvenu à des expressions justes sous certaines restrictions, mais ces expressions n'ont pas été rigoureusement fondées. On peut les déduire assez simplement des expressions démontrées ci-dessus. En effet si l'on ajoute les deux équations (31) après avoir multiplié la première par coso et la seconde par sin« on obtient:

co8«+-'J-cos(a-<]p) + ■îî^~^co8(«-2<y)-r-...=(2-r-2cosç)? cos(«-^ +ntp*)

^depuis ^ tp = çit — jusqu'à £<p = çn -f-

Or 2-f-2cosç> étant = 4 (cos \<p)%, on oura en faisant <jp = 2x:

m m(m-\) (depuis *r2(W-£ j

COSO+— cos(o-2x)+-^-5-^cos(a-4jr)+...=(2cos3-)? cos(a-TOjr+2i«(>»){

1 1,1 (jusqu'àx=2(«+^

m(mH jdep.as2ç«+|t cos 0+ — co8 (a-2*)+ | t' cos(a-4*)+ . ..=(-2cosx)? cos (a-mx+m (2p+l)*)<

(j.à *=2(Wt + yj

Si l'on fait ici i. a = mx- 2. 0 = »»*+ 3. « = my, x=y |-;