c©8*)?cos2»ifw:=co8»t*+^cos(^^ x=2fm — | j

2. (2cos;r)? sin2»l(WI=8iu»IJr+-^-8in(»f-2)Jr+^,|,?^ sin (m-4)ar+... /jusqu'à x=2(ct -f- ~

3. (2sinx)? cosm (2p+i)«=cos mo-^. co8(m-2)x+ -("l1* cos (w-4).r+..j depuis a: =2?» j

4. (2 sinx)? sîu m(2^+i).T = sin mx- ™ sin (w-2)x+^^) sin (i»-4)*+..(jusqu'àa>=(2ç+1h)

5. (-20080;)? cosï»(2p+l)*=cos»«:+ * cos(w»-2>r+ ^^ycos(w-4)x+.. (depuis a*=(2<>+£):ij

6. (-2COS*)'!' sin>w(2<>+l);r=sin mx + ■ sin(m-2)*+ ^1 sin (»,-4)x+..j jusqu'à *-(2?+|)^)

7. (-2 sin j-)- cos»i(2(»+|).7=co8 7M*- 2?- cos(»»-2)a:+ ^^cos(»i-4)x-. .(depuis x=(2p+l)»|

8. (-^sin*)* 8inw(2()+»).T = sinmjr- » sin(»i-2)jr+ mf"'^) sin (m-4)x-..|jusqu'àa=(2p+2)n(

Ces formules ont lieu pour toute valeur de jr, lorsque m et positif. Lorsque m est compris entre — 1 et 0 il faut excepter des valeurs de x :

1) dans les formules (1), (2), (S), (6), les valeurs x=2çn |-, etarrfcpji+y,

2) dans les formules (5), (4), (7), (8), les valeurs or=2<wr, et x = (tç-\-i)n. Dans tonte autre cas les séries en question sont convergentes. Comme cas particuliers on peut considérer les deux suivants:

(cosx)- = cos mx + ~ cos(w-2>r-f- ^£ cos (m-4)* + . . . 0 = sin mx + ^ sin (m-2)*-f £-j5±i sin (m— 4)x -f . . . (depuis x = — jusqu'à * = -J.) .

vni.

Sur quelques intégrales définies.

Lorsque une intégrale définie contient une quantité constante indéterminée, on peut souvent par la différentiation eo déduire une équation différentielle par laquelle l'intégrale définie peut se déterminer en fonction de la quantité constante. Cette équation différentielle est en général linéaire; donc si elle est en même temps du premier degré, elle peut, comme on sait, s'intégrer. Quoique cela n'ait pas lieu en général lorsque l'équation est du second degré ou d'un degré plus élevé, on peut pourtant par ces équations quelquefois trouver plusieurs relations intéressantes entre les Intégrales définies. Montrer cela c'est ce qui sera l'objet de ce mémoire.

Soit + +?<y = 0 une équation différentielle linéaire du

second degré entre y et «, p et q étant deux fonctions de a. Supposons qu'on connaisse deux intégrales particulières de cette équation, savoir y = y, et y = yt, et l'on aura:

De ces équations on tire en éliminant q,

do» ■ do* — — - da ■ l'V'- da y> ' du )•

Donc eu intégrant

e étant la hase des logarithmes Népériens.

Supposons que les deux fonctions yx et ys soient exprimées en intégrales définies de sorte que y, = fedx, y, = fudx, r et « étant des fonctions de x et de o; cette relation entre y, et yt donne en substituant,

Cette équation exprime, comme on voit, une relation entre les quatre intégrales

fudx>fvA*>J{^£)à*, j'{^dx. Il s'agit maintenant de trouver des

intégrales qui puissent satisfaire à une équation différentielle du second degré. Il-y-a plusieurs intégrales qui jouissent de cette propriété, et que nous allons considérer successivement