a-*)* — ,,na* •M,(t
IL Soit y = f * *** En diférentiant on obtient
*/0 (\+xf.{s+ay
x^dx
(1+x?. (,+af-t' '
Lorsqu'on différentie la fonction +x)x lt- (x + a)-^ r on obtient,
* =77-^r^r • ((i-«)(i+*)(*+«)+(i-/î)^(*+«)-^+1)*(I+*)) (i+xy (x+a)y+i
j 'Ur
~~ (1+*/ (x+flV+' ' V>
donc puisque,
y=(r+l)(l„)a((«+y)(i fl)(y+«o)(*+«)+(l-«~/s-y)(x^
rfr = (,-f-l)«(l— «).— '""^ - — ((a+y)(l-fl)-(/î+y)«). ~-
(i (x+oy
On tire de là en intégrant
Eu mettant respectivement 1— /?, 1 — a, y+a-j-/? — i à la place de«j(?,y, il en résulte la même équation, donc
y = r *"*ds et y = f s/L~'dT
sont deux intégrales particulières de cette équation.
Or p étant = ^tl 1±X et par suite «/pd\= ,
on a en vertu de l'équation (0)
- da — a«^(i.ay+r '
En Taisant «= 1, on trouve C=0, et par conséquent
y* dT 1Ji de y— °'
c'est-à-dire y, = C'y,, C étant uno constante. Pour la trouver on fera a= !, et on aura
*' o (i+xy^y *«/ » (î+x^
Or /*" ro-«) .rfr+P+T-D et
^oo+xy+y r(a+w
/•"-^-^-.«r»)^!), donc
c twm
par suite l'équation y, = Cys donne
x-"rfx r(l-q).r(a+^+T-l) P" x^-' ds.
« (i+xy (x+ay r(Ê).rer) J 0 (i+jr)'^ «
Si dans l'équation (6.) on met (i — a) à la place de a et (î et « à la place de u et elle ne change pas de forme. .. ,
Il suif de là que
est de même une intégrale particulière de la même équation. On .» donc
99 da 91 ' da «"+7(1 En mettant xa à la place de x dans l'expression de y„ on obtient:
J o n+sy. (i+flx/ * 7 J « (i+xj7+'(i+„y»
On trouve de même, en mettant (1— a)x à la place de x: y, = (1 - 11)-^+. /*" £^ ;
da J o (l + x)7+« (l + (l-fl>x)«
En substituant ces valeurs, multipliant par aa+y(l — oV+7 et écrivant C
au lieu de — -, on trouve:
I J o (\+sy(\+axf J o (l+*F+'(l+(t-a)j)«
P"1 }'J , '(i^(if(i-«w« 'J* (î+x^+'a+^y '
Pour trouver C soit a = 0, et on aura:
^ « (i+xy+" (i+x)^' r(Y+i)
Si l'on fait p. ex. ,? = 1 — «, on aura en remarquant que
r(i - a) . r(«) = ^ , i'(r + i)=yr(y): « = a r" x-?dx r~ sVds
«/ o (l+x)>'+'(l + ajr)ljr «/ o (l + x)7 (l+(l-<
Lorsque u = y = ^ on a :
Z»00 ds /'~ ils
= V „ v(*{\+s)T\Tïsy) J o /(xfi+xj^i+a-fljx)
4 (i „\ p~ djL . r™. ds
J » VWl+')(l + (l-i»)x) J n ✓Wl+x)»(l+flx))
Toutes ces intégrales peuvent s'exprimer par des fonctions elliptiques. En effet, soit x = (tang <?)', et on aura après quelques transformations légères
-l = a f* * fr
* t/ o v"(l-(l-o)sin*o) Jo
/(l-(l-o)Sin*ç) «/o ✓(!«• «n'ç)
c'est-à-dire, lorsqu'on fait a = c*, 6»= 1 — c*, où, d'après la notation de M. Legendre,
La formule ci-dessus se trouve dans les exercices du calcul intégral par M. Legendre, Tom 1, pag 61.
Dans la formule générale (7) les intégralos peuvent s'exprimer par d'autres
dont les limites sont 0 et 1. Soit pour cet effet * = et on aura-
/ r(i-q).rp~p).r(q+p+T-») a rxMhïtî^L'L f^sQ
Nous avons vu plus haut que
/l i* r(a).rffl î
On peut, comme il suit, trouver une expression plus générale de laquelle celle-ci est un cas particulier. En différentiant l'intégrale
par rapport à a on obtient
Il suit de là que
«fa ^Vi+«-r a (i + •)(, + «)«+/» "
En multipliant cette équation par »»(l-f n)", le premier membre devient
une différentielle complète, savoir égale à d(ycP((\ -f- a)*), on aura donc e intégrant:
y^(i+«)«=c— xy /"^ • «'••'fl +«)'-' .
Pour trouver C, qui peut être une fonction de x, nous ferons « = cx On aura donc:
yaPil -f a)« = f%dx . x":' (1 — xf' , et par conséquent, C=rdx.x°-'(llxf + x°(l-xf rda afi~'(llar ' Si Ton fait a =t J^-, et par suite y = ^t^. , on trouvera
= *"* (1- xr^—f^dx . x*-' (1 — *f ' do; . x""' (1 - x/"' ) .
En substituant cette valeur, on obtient
<l—te -™^> ^ P- conséquent
r<a+p) x ^ V» (,+«)«+> ^ v Vo
Si p. ex. a + £ = 1, on aura
g (1 + o)" /»» . j-"-' (1 -x)-° , f /♦* «fa . g '' (1 -m)"-'
•in (an:) 0«i y <, x + a (l-*)"-' «/• * + o
Si de plus « = ^, on obtient
ce qui est juste, car
J ., <*+«)✓<*-*«)= • arc't,msï/"(—
et arc tang (*) arc. tang ) = — .
III. Soit y =JX e *?x"-' (1 — a/"' rfr, où « > 0, > 0. En différentiant par rapport à a on obtient:
p.= fxe^x^{\-xp dx.
da* «/ o
Lorsqu'on diûërentic la fouction r^e^x" (1 — xy par rapport à x ob
dr=ae^xxa-' dx—(a+p+a).e?xx\l-xf-'dx+aeu,*xa+'(l-x)',-'dx, donc en intégrant depuis * = 0, jusqu'à x= 1, et substituant pour les intégrales leurs valeur en y, J^L et -4^- :
On satisfait aussi à cette équation en faisant
y=yx= yv^*"-1 (1 — xpdx a étant positif. Or on a p = -î±L-| i,donc e/= — ^-r . Donc l'équation (0) donne:
yi ' da y ■ iét — + ■
Si dans l'expression de y, on met x-j-l à la place de x, on trouve Vl = «"'/V"/' (1 + *)V <£r,
ou bien en mettant ici — à la place de x:
yx = e- a • I e x (a-\-x)- dxy
Substituant ces valeurs de y., de même que celles de y, ~-, multl-
da da
pliant par ««+0, et faisant e= 0, on trouvera:
C=f~ex dx . x^f]dx . **" (1 -xf\
c' est-à-dire
On aura donc
r(a) . r{(i) = /„' e" dx . (1 - xf*f~ex dx . x"'' (« -f- x)"
— a J'\~?dx . x* (1 — *f:J™°* d* ' («+ *f~- Lorsque /? = 1 — a, on a
•la an «/ o * \l-*/i/o \ ■ * /
- (rr)"/:^ + v)"
