IV. Soit
-e . x «ùr, ou a> 0.
Ea différcntiant on aura
Or rf(e";-,tV) = . «■V,'*<t-,(a4- ax — 2x%
donc en intégrant depuis *=0, jusqu'à x=oo, substituant les valeurs des
intégrales en y, et —f- et divisant par — 2 on aura:
S-KÎ- *••»=••
Cette équation conserve la même forme lorsqu'on remplace « par — «, donc
y = y, =J V?-*Vr ' <ir est de même une intégrale particulière de cette équation, p étant = —
on a e~fp~C.e*, et par conséquent,
Si, pour trouver la quantité constante C, on fait a=0, on trouvera:
TS--yr^-*=^(T)'
donc en substituant:
et par suite
Si l'on met a}f — 1 à la place de a, on obtient la formule suivante:
^.r(~-) . 4 =J^dx.e^\co*ax).x^J^dx.e^(tn*ax).x*
-\-J*^dx . ffJ,(8in or) . x^-J^dx . «""'(sin ax) . x".
Note. Les quantités confiantes (exposants), qui se trouvent dans les intégrales de ce mémoire, doivent avoir de telles valeurs que les intégrales ne deviennent pas Ces valeurs sont faciles à trouver.
Sur les fonctions qui satisfont à F équation qx + <py = y(xfy+y fx)
<px + tw = v> (*fy + yfxl
est satisfaite lorsque
fy = \y et ç* = V* = iogx;
car cela donne
log x + log y = log xy ;
de même lorsque
. fy = Y(i — y*) et yx = yx = arc sin x,
ce qui donne
arc sin x -f- arc sini/ = arc sin (xV(\—y*) + yV(\.—x*)). Il serait possible qu'on pourrait encore satisfaire à la même équation d'autres manières. C'est ce que nous allons examiner. Soit pour abréger
*fy + yfx = r>
l'équation de condition devient
1) yx -}- <py = yr.
En différentiant cette éqoation par rapport à x et à y, on aura en Taisant usage de la notation de Lagrangc:
<p>x = y'r (-£-) et <p>y = v'r (-£-) .
De ces équations on tire en éliminant la fonction y'r,
Or l'expression de r donne
donc en substituant,
') fy • (fy + y M = »'* • (/* +
En donnant maintenant à la quantité variable y la valeur particulière zéro, ce qui est permis, parce que * et y sont des quantités indépendantes entre elles, et en faisant pour abréger,
ç>'0 = a, fO = «, fO — w, l'équation (3) prendra la forme,
ait — (f'x (fx + a'x) = 0, d'où l'on tire en écrivant y au lieu de x,
aa — <f'y {fy + u'y) = 0.
Cés deux équations donnent,
donc en intégrant,
De cette manière la fonction est déterminée par Il s'agit donc de trouver la fonction fx. En substituant dans l'équation (5) les expressions (t) des fonctions tp'x et y'y, et réduisant, on trouvera:
6) {fx + a'x) {fy + yfx) = tfy + a'y) (fx + xfy) d'où l'on tire en développant
7) fxfy -f- u'xfy+yfxfx -j- «'.ry/lr — — u'yfx—xfyfy — a'xyfy=0, ou bien
8) x(a'fy—fyfy — n'yfy)-y(a'fx—fxfx—a'xfx)=0, ou en divisant par a-y
») y («'/>— fyPy — *'yfy)- l- («'fx—fxfx—a'xpx)=o,
Les quantités x et y étant indépendantes entre elles, cette équation ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
y (tt'fy — fyfy — u'yfy) — ~~ («'/* — fxfx — a'xfx) = t'onst.
Soit donc
10) -L («'fx—fxf'x — a'xfx) = m,
et on aura:
* * ) f'*(f* + + («•* — « fx) = °-
Par cette équation la fonction fx est déterminée. Ou peut l'intégrer en faisant
fx = xz;
car alors on a f'x . dx = zdx -f- xdz, d'où l'on tire en substituant,
(zdx -J- xdz) (xz -f- a'x) -f (mx — u'xz)dx = 0, ce qui donne en divisant par x,
(zdx + xdz) (z -j- «') + — «'*) rfar = 0, ou (r(2-f-o') + m — a'z)dx-f- xdz(z-\-a') = 0,
ou bien (s* + wt) dx -f xdi (2 + a') = 0,
ou en divisant par x (z9 + m)>
dx rf» (» + «') *
donc en intégrant,
Soit m = — on aura
Wra-* "h ("-Vra - * ■* ts-.
donc en substituant et ajoutant une constante r,
log<?-logx=ilog(z* — »*)+^- log
.og^- = logj(z.»-)*(^f}
et de la
Mais on avait /x = xz; donc z = -£- , et par suite en substituant,
ou bien
r = (/x — »x) 10 (/x+nx)* a? , ou en élévant à la 2»"* puissance,
12) <?*" = (fx— **)»+!• (/x-f- nx)« «-
x = 0 donne r = a, à cause de /D = «. Voila l'équation de laquelle dépend la fonction fx. Elle n'est pas en général résoluble, parce que n et a» sont deux quantités indéterminées, qui peuvent
même être imaginaires. L'équation (12) contient la forme la pins générale de la fonction fx, et on peut démontrer qu'elle satisfait à l'équation de condition donnée dans toute sa généralité. En effet la fonction fx satisfait à l'équation (11), et on voit par la forme de l'équation (9) qu'elle satisfait aussi à cette équation. Or l'équation (6) est l'équation (9) sous une forme différente. Donc la fonction fx satisfait aussi à l'équation (6). De l'équation (6) on tire l'équation (3) en faisant 9'*== y^+^y, et ,,é<laation (3) Aonae en faisant xfy -f-
En intégrant cette équation différentielle partielle par les règles connues on trouvera:
r = F(y*-hç>y), et de là (px-\-tpyz=yr, ou <px -f- tpy = {xfy + yfx),
ce qui est l'équation de condition donnée.
Il reste encore à trouver la fonction f. Pour cet effet soit y — 0, on aura en remarquant que /D = o,
<fx — y (ax) — <p0,
ou en mettant — au lieu de xt
On trouve donc, en résumant, que les formes les plus générales des fonctions, satisfaisant à l'équation de condition,
<px+(py — y(xfy -f- yfx)
sont les suivantes:
/dx —
= <fO + <p^- = aa I -fçO,
où fx dépend de l'équation
ce1» = (fx — rtxyV {fx+nx)*r
Soit par exemple
et par suite 9x=aaf^= „ log
V*=9>0+9(f) = 2*+«« log«+o«log(«-f -*-),
ou V* = 2* + «a log(a»-j-*).
L'équation de condition devient donc ,0g(H-*)-r-*+aa log(a-fy)=2A+ fla log(«*-f-ar(a-|-£y)-f-y (a-J-J*)) ;
ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette équation se réduisent à
2* + aa log («»+«:r+03r+ ay).
La fonction <fX est trouvée ci-dessus en forme d'une intégrale. On peut trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes en la fonction fx connue. Savoir soit
fx+nx=v et fx—nx—t,
i équation (12) donne donc «*»
et de là t a°V^v«^i •
0r A = i(»+0 et
donc
d'où l'on tire en différentiant
U 2^T„ ) a ■ V )dv-
On trouve de même
2»(a'+ii) tt v \v dx dv /* + «•*— (m-a> 5
ou bien
ce qui donne en intégrant,
J fs + a x n + a.' °
an '
où c est une constante arbitraire. En mettant donc peur v sa valeur fx-\-nx, on aura
I5) fx = -^r '«g <«■* + </**)•
Dans les deux cas, «' = oo, et « = 0, la fonction /x prend une valeur particulière. Pour la trouver, il faut recourir à l'équation différentielle (11).
Soit d'abord » = 0, l'équation (11) donne, à cause de m — — n«:
fxifx + a'x) — a'fx = 0.
Soit /x = ?x,
rf-r + a) jrf^
aVfe
et en intégrant
log f'-j-logxssr — logZ-f- — , OU \og(Cxz) — ,
ou, puisque z = 1*
log (C/âr) = , ou = fx log (C/jt). Pour a: = 0, on a 0 = « log c'a, donc r'a = 1 et <? = ~y «lonc U) «'* = /* log (£),
Crttc équation détermine donc la fonction fx dans le cas où h = 0. L'équation (13) donne dans ce cas:
<ex = ^r log (tfr) = log c« + -Î2L log (4) ;
en vertu de (14) on a log = ^ ;
la) ^=^logra + .-aJ-.
De plus
M) ^ = v0+V(-f)=^logc« + 7^.
L'équation de couditiou devient donc:
«og « + ^ + v log <« + ■ = l0B 4 " + fÇftjë)
c'est-à-dire on aura
47) „f(iâL±2f£)=r*fy.
Pour examiner cette équation nous mettrons au lieu de x et de y valeur» de l'équation (14) savoir log (^) et ^ log (A); ce qui donne:
en faisant pour abréger
U sait de la:
2log« + !og-£- = log(/x/y).
Or en vertu de l'équation (14) on a *°S^r ==^y
20) 2loB« + ^==log(f*/W. • Mais puisque fr = -f^- (18), on a en vertu de (19) —
donc = log (/^), et par conséquent: 2 log« -h log(^£)=log (fx fy), ce qui a, comme on voit aisément, effectivement lieu.
Soit ensuite a' = oo.
En mettant dans ce cas l'équation (H) sous la forme:
il est clair qu'on doit avoir x/>x — />= 0, lorsque m est fini. U faut donc que
fs.ds =ds on fx = cx.
f* * Si rn= — pa'
on a xfx — P* — /x = 0.
Soit =
x(xdz + zdx) ~{p-\-xz)dx=z 0, xdz = pdx;
z = p Jog ex — et par suite A = J«e log «r.
Pour trouver <px, ou substituera la valeur de la fonction fx dans l'équation (3), et l'on aura à cause de f*=P loge* + ;,:
p (py log cy + vp log « + „) (|Mf l0g cx + xplogcy+px) = 0: donc en divisant par p (log c**y + i) ' 5,T" '
d0DC XCf'x = k et d*fX=-ktlL,
* V — «log»». *
L'équation de condition donnée deviendra donc:
A log m* + k log my = y (Xpy log ^ j ^ iog f ^
°U * >Og W*^y — y {pxy log e*;ry),
ou en faisant pXy |og c«;ry = r et = »,
y = * log m*».
Par le même procédé, qui a donné ci-dessus les fonctions qui satisfont à 1 équation,
V* + W = V (xfy -f- yfx), on peut trouver les fonctions inconnues dans toute autre équation à deux quantités variables. En effet, on peut par des différentiations successives par rapport aux deux quantités variables trouver autant d'équations qui sont nécessaires, pour éliminer des fonctions quelconques, de sorte qu'on parviendra à une équation qui ne contient qu'use seule de ces fonctions, et qui sera en général une équation différentielle d'un certain ordre. On peut donc en général trouver chacune de ces fonctions par une seule équation. Il suit de là qu'une telle équation n'est que très rarement possible. Car, comme la forme d'une fonction quelconque contenue dans l'équation de condition donnée, en vertu de l'équation même, doit être indépendante des formes des autres fonctions, il est évident qu en général on ne peut considérer aucune de ces fonctions comme donnée. Auwl par exemple l'équation ci-dessus ne pourrait plus être satisfaite, si la fonction fx eût eu une forme différente de celle qu'on vient de trouver.
Note sur le mémoire No. 4 du second tome du Journal de M. Crelle, ayant pour titre "remarques sur les séries infinies et leur convergence"
On trouve pag. 34 dans ce mémoire le théorème une série est convergente ou divergente:
"Si l'on trouve que dans une série infinie le produit du m"* terme ou du "»"* des groupes de termes qui conservent le même signe, par n, est zéro pour "«=00, on peut regarder cette seule circonstance commo une marque, que la "série est convergente; et réciproquement, la série ne peut pas être conver- "gente si le prodoit n.aa n'est pas nul pour n=oo."
La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne semble pas l'être. Par exemple la série
est divergente quoique »«„ = — 1 — soit zéro pour n—00. En effet les loga-
rithmes hyperboliques dont il est question sont toujours moindre que leurs nombres moins 1, c'est-à-dire, on a toujours log(l+ar)<*. Si x>l cela est évident Si,*<l on a
\og(l + x) = x— . . .
donc aussi dans ce dernier cas log(l-f x)<x, puisque $x, ±—$x sont
tous positifs. En faisant *=-^, cela donne
log(l + < A- ou bien log 1~ < ^,
ou
log(l + »)<-£- + log» < (l + -^r) log n : >og log(l + »)<log log*-f-log(l + L) .
Mais puisque log(l +*)<*> on a log(l + -JL -) < JL, donc eu vertu de l'expression précédente,
log log (1 + n)< log log» + .
En Taisant successivement »=2, 3, 4,... on trouve
"loglogS<loglog2 + —L^
Ioglog4<loglog3 -f
loglog5<loglog4 + Ti^T,
loglog(i + n)<loglogn + donc, en prenant la somme,
i.gi.g(i +.) ^ + + ...+£ .
Mais loglog(l-j-n)=oo pour «=oo, donc la somme de la série proposée
2lb-+'3ïb-+ ÏTi?4 •• +71^ C8t U,finimei,t ^nde Ct COn8équent cette série est divergente. Le théorème énoncé dans l'endroit cité est donc en défaut dans ce
En général on peut démontrer qu'il est impossible de trouver une fonction çn telle, qu'une série quelconque a0-\- aa"f* a» • • • ~H ^n» dont nous supposons tous les termes positifs, soit convergente, si <ftt.aa est zéro pour n=oo et divergente dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut faire voir à l'aide du théorème suivant
Si la série o0-f- c,-f at . . . + aa . . . est divergente, la suivante
ao "o+ai a0+al+a% a0 + a, . . . + <*„,
le sera aussi. En effet, en remarquant que les quantités a^, «,, a,,-., sont positives, on a en vertu du théorème log(l -\-x)<x, démontré ci-dessus, •«g K"f «i + o» . . . + «„) — log (o„ + at -j- c, . . .
c'est-à-dire
log(lH ■— )<■
donc, en faisant successivement *==!, 2, 3, ...:
logK-f- fll +«,) - log K+ 0l)<
fagK+gi --f g»)~ logfa+g,.... +««-i)< „ g" .
et en prenant la somme,
•ogK+a,. ••+«»)— >og«fo< — + — *— • • • +
Mais si la série a0-+-al+a%...-\-al) est divergente, sa somme est infinie et le logarithme de cette somme l'est également; donc la somme de la série
ï± H -| est aussi infiniment grande, et cette série est
divergente, si la série ««+«, + «,.• --f-Oo-i ''est Cela posé, supposons que ç» soit une fonction de » telle, que la série a0+a1-\-a%...-\-at... soit convergente ou divergente selon que <pn.an est zéro ou non pour «=oo. Alors la série
çl + çî + ç3~ + 0 + V sera divergente et la série
convergente; car dans la première on a a„g?»=l et dans la seconde «,911=0 pour »=co. Or scion le tliéorème établi plus haut, la seconde série est nécessairement divergente, en même temps que la première; donc une fonction qn telle qu'on l'a supposée n'existe pas. En faisant ?n=n, les deux séries en question deviendront
qui par conséquent sont divergentes toutes deux.
Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement.
Il est vrai que les équations algébriques ne sont pas résolubles généralement; mais il y en a nne classe particulière de tous les degrés dont la résolution algébrique est possible. Telles sont p. ex. les équations de la forme a* — 1=0. La résolution de ces équations est fondée sur certaines relations qui existent entre les racines. J'ai essayé à généraliser cette remarque en supposant que deux racines d'une équation donnée soient tellement liées entre elles, qu'on puisse exprimer rationnellement l'une par l'autre, et j'ai trouvé, qu'une telle équation peut toujours être résolue à l'aide d'un certain nombre d'équations moins élevées. 11 y a même des cas où l'on peut résoudre algébriquement l'équation donnée elle même. Cela arrive p. ex. toutes les fois que, l'équation donnée étant irréductible, son degré est un nombre premier. La même chose a lieu encore si toutes les racines d'une équation peuvent être exprimées par
x, Ox, b*xy bxx, . . . ti*~lxt ou 0"x=x, Ox étant une fonction rationnelle de x, et b*x, b*x, . . . des fonctions de la même forme de Ox, prise deux fois, trois fois, etc
L'équation ^- =0, si n est un nombre premier, est dans ce cas; car
en désignant par a une racine primitive pour le module n, on peut, comme on sait, exprimer les » — 1 racines par:
x, x", x°\ x"\ x"-\ où x""* = x,
c'est-à-dire en faisant xn=0x, par:
x, 6x, b%x, 0*x, 6B-,x, où 0*-lx = x.
La même propriété convient à une certaine classe d'équations qu'offre la théorie des fonctions elliptiques.
En général je suis parvenu à démontrer le théorème suivant : "Si les racines d'une équation d'un degré quelconque sont liées entre-elles de sorte, que toutes ces racines peuvent être exprimées rationnellement au moyen
de l'nne d'elles, que nous désignerons par x; si de plus, en désignant par0x, 6xx deux autres quelconques des racines en question, on a
l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble algébriquement. De même si l'on suppose l'équation irréductible et son degré exprimé* par
où «,, <*,, a„ sont des nombres premiers différents, on pourra réduire la
résolution de cette équation ù celle de v, équations du degré a,, de v% équations du degré a3 de », équations du degré u, etc."
Après avoir présenté généralement cette théorie, je l'appliquerai aux circulaires et elliptiques. '
Nous allons d'abord considérer le cas où l'on suppose que deux racines d'une équation t irréductible*) soient liées tellement cntre-elles, que l'une puisse être exprimée rationnellement par l'autre.
Soit
une équation du degré /#, et x' et xt les deux racines qui sont liées cntre-elles par l'équation
2) x1 = 0xt,
où &r désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues. La quantité x' étant une des racines de l'équation, on aura <f(x')=0 et en vertu de (2).
Je dis maintenant que cette équation aura encore lieu, si au lieu de xt on met une autre racine quelconque de l'équation proposée. On aura effective- . ment le théorème suivant*").
*) Une équation çj- = 0, dont Iea roefficien» sont dea fondions rationnelles il un certain nombre de quantité» connue» a,b,c, . .. l'appelle irréductible, lorsqu'il eat impossible d'exprimer ses racines par une e'quation moins élevée, dont les coefllciens soient également dea fonctions rationnelles de a, b,c, . . .
**) Ce théorème se démontrera aisément comme il suit:
Quelle que soit la fonction rationnelle /r, on pent toujours faire /x= oùAfetiV
sont des fonctions entières de x, qui n'ont pas de facteur commun; mais une fonction eutière de s pent toujours être mise sous la forme P+ Q.ç*, oo P et Q sont des
Théorème L "Si une des racines d'une équation irréductible <px=0 satisfait à une autre équation fx=0, où fx désigne une fonction rationnelle de x et des quantités connues qu'on suppose contenues dans tpx\ cette dernière équation se trouvera encore satisfaite en mettant au lieu de x une racine quelconque de l'équation <px = 0; mais le premier membre de l'équation (3) est une fonction rationnelle de x, donc on aura
4) q>(fix)—0, si cpx=0,
c'est-à-dire, si x est une racine de l'équation q>x—Q, la quantité Qx le sera également.
Maintenant, en vertu de ce qui précède, 0xx est une racine de l'équation yx-=0, donc ÔOx, le sera aussi; également 680x%i etc. le seront encore en répétant l'opération désignée par 8 un nombre quelconque de fois.
Soit pour abréger
06xt=Pxt; 06*x1=6axi; 88*xl=6*xl etc.
on aura la série
î>) jr, , (ix , , 6*x, , 6*xl , 6*xl , . . .
et toutes ces quantités seront des racines de l'équation <j>x—0, La série (5) aura une infinité de termes, mais l'équation <fx=0 n'ayant qu'un nombre fini de racines différentes, il faut que plusieurs quantités de la série (S) soient égales entrc-elles.
Supposons donc p. ex
0mxl = 0m+axl,
ou bien
6) (TiO-xJ — 0-^ = 0,
en observant que ûm+nxt= 8n0mxv
Le premier membre de l' équation (G) est une fonction rationnelle de 8mxi ; or cette quantité est une racine de l'équation ifx=0, donc en vertu du théorème énoncé plus haut, on pourra mettre xt au lieu de Cela donne
fonctioai entières, tellea, que le degré de P soit moindre qne celui de la fonction çi-. Donc, en faisant Mz=P+Q.<px, on aura/x = * + . Cela posé, soit x, la racine de çx=0, qui satisfait en même temps 4 /x=0; x, sera également une racine de l'équation 0. Or si P n'est pas séro pour une valeur quelconque de x, cette équation donnera x, comme racine d'une équation d'un degré moindre que celui
de çx=«; ce qui est contre l'hypothèse'; donc P=0 et par suite /x=çx d'où l'on voit que /x sera égal à aéro en même teins que çx q. e. d.
où l'on peut supposer que n ait la plus petite valeur qui existe, en sorte que toutes les quantités
8) xit 6x„ Px„ ..fl-»*, soient différentes entre-elles.
L'équation (7) donnera
(t6?xt = dkx1 , c' est-à-dire : &°+kxt = xt .
Cette formule fait voir qu'à partir du terme 8*~lxt, les termes de la suite (8) se reproduiront dans le même ordre. Les n quantités (8) seront donc les seules de la série (5) différentes entre-ellcs.
Cela posé, si /Oit, soit x% une autre racine de l'équation proposée, qui n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du théorème L, que toutes les quantités
9) xtt o*t, ^x,, ô""1*,,
.seront également des racines de l'équation proposée. Or je dis que cette suite ne .contiendra que » quantités différentes entre-elles et des quantités (8). En effet, ayant ff*xl — x1=0, on aura en vertu du théorème I: 8*xm=xt et par suite:
0^xt=6kxv
Donc les seules quantités de la série (9) qui pourront être différentes entreelles, seront les » premières
10) *„#&r„ Px%> • • • • A*-'
Or celles-ci seront nécessairement différentes entre-elles et des quantités (8). En effet, si l'on avait
0»*a — Vx%)
où m et v sont moindre que w, il en résulterait (fmxl = (fxl , ce qui est impossible, car toutes les quantités (8) sont différentes entre-elles. Si au contraire on avait:
il en résulterait donc
c'est-à-dire la racine x% serait contenue dans la série (8), ce qui est contre l'hypothèse.
Le nombre des racines contenues dans (8) et (10) est £», donc /* sera on égal à 2», ou plus grand que ce nombre.
Soit dans le dernier cas *, une racine différente des racines (8) et (10), on aura une nouvelle série de racines
et on démontrera précisément de la même manière, que les n premières de ces racines sont différentes entre-elles et des racines (8) et (10).
En continuant ce procédé jusqu'à ce que toutes les racines de l'équation tfx=.Q soient épuisées, on verra que les ft racines de cette équation seront divisées en plusieurs groupes, composés de » termes; donc (t sera divisible par n, et en nommant m le nombre des groupes, on aura: 11) /* = m.n.
Les racines elles mêmes seront:
é/'.fj, . . .
(fx
[xm , $xn , (fxm , . . . 0*~lxm .
Si m = 1, on aura n = /i, et les /* racines de l'équation ipx — 0 seront exprimées par
13) xlt Oxv <?x„ .... 0f-lxv
Dans ce cas comme on verra dans la suite, l'équation (f>x = 0 est résoluble algébriquement. Mais la même chose n'aura pas toujours lieu lorsque m est plus grand que l'unité. On pourra seulement réduire la résolution de l'équation <fx = 0 à celle d'une équation du »'*■• degré, dont les coefficiens dépendront d'une équation du miime degré; c'est ce que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant.
Considérons on quelconque des groupes (12), p. ex. le premier, et faisons
(x — x,) (x—dxt) (x — 0\r}) . . . (x — fl-'x.)
: Xn + A\.X>-* + J'l.x'^ . . . + A[«-tK X + A'" — 0,
les racines de cette équation seront
xlt ÛXy, 0**,,
et les coefficiens A\, A\, A(°> seront des fonctions rationnelles et symé-
triques de ces quantités. Noos verrons qu'on pent faire dépendre le développement de ces coefflciens de la résolution d'une seule équation du degré m.
Pour le montrer, considérons en général une fonction quelconque rationnelle et symétrique de x,, 0x1} 0^, ... 0"-,x1 , et soit **) y, = A*i> 0x„ 0»x„ . . . 0-'*,)
cette fonction.
En mettant au lieu de xx successivement xt> x,,...x„, la fonction y, prendra différentes valeurs, que nous désignerons par y,, y%> y,, . . . ym. Cela posé, si l'on forme une équation du degré m:
*6) y" + v .y"-1 + jwr- + • - • + /w + p« = o,
dont les racinês sont yt, yt, y„ . ..yB, je dis que les coefficiens de cette équation pourront être exprimés rationnellement par les quantités connues, qu'on suppose données par l'équation proposée.
Les quantités 0x,, 0*x, , . . . 0"~lx, étant des fonctions rationnelles de x,, la fonction yt le sera également Soit
17) < nous aurons aussi
(y.= V* = Fxt; . . . ym = Frra.
Mettant dans (15) successivement 0xlt 0*x,, 6**,, • • • 0'"1*, au lieu de x,, et remarquant que 0,x1 = x1; 0,+lx1=0xij 0"+*x1 = 0*xt, etc. il est clair que la fonction yt ne changera pas de valeur; on aura donc
yx=Fxl = F(0xt) = F(0*xt) = . . . = F(0-»x,) et également
y% = Fr, = F{0x%) = F(0»x,) =... = F^'xJ ,
y„= Fx«= F(0xj= F(0»x„) = . . . = W-*.). Élevant chaque membre de ces équations à la puissance, on eu tire:
y. = i • [C'.r + + . . . + w-x.r], y, = ~ • [c*wr + cw»ar +•■-.+ (w-^] ,
^ = 1 . [(ftp JT + (F0xj' + . . . + (F0-'xra)"], En ajoutant ces dernières équations on aura la valeur de
yî+y; + y. + --+y;
exprimée en fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation ç>x=0, savoir:
Le second membre de cette équation peut être exprimé rationnellement par les coeffïciens de <f>x et &r, c'est-à-dire par des quantités connues. Donc en faisant
on aura la valeur de r„ pour une valeur quelconque entière de ». Or connaissant r,, r2,...r„, on en pourra tirer rationnellement la valeur de toute fonction symétrique des quantités y,, yt, . . .ym. On pourra donc trouver de cette manière tous les coeffïciens de l'équation (16) et par conséquent déterminer toute fonction rationnelle et symétrique de xl , 0xl , 0*xl , . . . d*~lxl à l'aide d'une équation du m'*""5 degré. Donc on aura de cette manière les coeffïciens de l'équation (14), dont la résolution donnera ensuite la valeur de etc.
On voit par là qu'on peut ramener la résolution de l'équation (px = 0, qui est du degré fi = m.?i, à celle d'un certain nombre d'équations du degré i» et ». Il suffit même, comme nous allons voir, de résoudre une seule équation du degré m et m équations du degré ».
Soit yxt un quelconque des coeffïciens A\y A\,...Af^ et faisons
21) t,=y\ . v*» +y; • V*, +Vt .?*.+ ... + pm- V*„.
Puisque y\. rf>xl est une fonction symétrique des quantités xt, Oxtt...d*-lxl, on aura, en remarquant que = 6F+lxl=$xl etc.
y* y*, =(F*.)*. ^ = (Ffl^)" . y&r, = . . . (/Te-1*,)', yô--»*, ,
donc:
y* y*, = 1 . [(Fxx)>. yx, + {FOxtf. yOx, + . . . (/Te-'xJ". ^arj
On trouvera de semblables expressions pour y^Hxti y*t-vx„...y^.\{'xn, en mettant x%, x9i...xm à la place de x . En substituant ces valeurs, on voit que tr deviendra une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation (fx—Q. Eu effet on aura
22) tr = - Z(Fx)".x}x.
Donc ou peut exprimer t¥ rationnellement par des quantités connues.
Cela posé, en faisant » = 0, 1, 2, 3, ...m— 1, la formule (21) donnera:
y»v*,+ ytv*, + -..+ y«v*« = /l,
yrv*. v + • • • + yr1**. = '--» •
On tirera aisément do ces équations, linéaires par rapport à V'*4> • V'*»» 'es valeurs de ces quantités en fonctions rationnelles de yt, y,, y,,
En effet, en faisant
vz) (y— y«)(y— y>) - (y— y-)
24} — ^R»+,iRi + '**t + • • • + + '-i
y v » i?0 + *1y1 + *!^ + ... + /{.,Jr--1+Jr;>-'*
Les quantités /?„, Rf, . . . Rm^ sont des fonctions rationnelles de yt,
y»> .V4» • • -y»u mais on peut les exprimer par y, seul. En effet, en multipliant
(23) par y— y,, on aura:
(y— yj (y — y4) • • • (y— y») =y"-f- />ly™",-W>1yra-a+ • • • +p»-tf+Pm = y"-f («^-y^y-'-h (/?fl.-.-ylflM)y->4- • • ■
d'où l'on tirera, en comparant les puissances égales de y:
jtf»-*=y, + /v
y,"™-* -H ?'*=yî + j»,y,+?»i»
2">) < "m-*— y, =yî + />,y?+/»,y,+/',.
(/?0 = jfr1+^r*+Fwfra+ • • • +iw
Eu substituant ces valeurs, l'expression de vr, diviendra une fonction rationnelle de y, et de quantités connues, et on voit qu'il est toujours possible de trouver yx de cette sorte, sous condition que le dénominateur
tfo+tf.y.-t-^yî + • • • + ^yr'+yr1
ne soit pas zéro. Or on peut donner à la fonction y, une infinité de formes irai rendront impossible cette équation, p. ex. en faisant
26) y, = <«-x,) («-»*,) («-^,) ■ • • (a-0« *xt), où « est indéterminé, le dénominateur dont il s'agit ne peut pas s'évanouir. En effet ce dénominateur étant la même ebose que
it»
on aurait
s'il était nul, 'c'est-à-dire
(« — x,) (<t— f)xx) . . . («— 0-l*t) =(« — xk) (u—Oft) ... (a — fln-,^k), ce qui est impossible, car toutes les racines xx , Qxx , (jltxl , . . . 0a~l^l sont différentes de celle-ci: xkt 0xk, 0*xk, . . . 0*-lxk.
Les coefficiens A^, A\, . . . A1^ peuvent donc s'exprimer rationnellement par une même fonction y,, dont l'expression dépend d'une équation du degré m.
Les racines de l'équation (14) sont
xlt 0jt„ 0*xi....dn-*xl.
En remplaçant dans les coefficiens A', A' etc. y par y\, y),...ym, on obtiendra m — 1 autres équations, dont les raciues seront respectivement:
•r,, 0x„ ... &*~lxtt x j , fjx s , ... 0n J* j ,
Théorème II. L'équation proposée y.r=0 peut donc être décomposée en un nombre de m équations du degré », dont les coefïïcieus sont respectivement des fonctions rationnelles d'une même racine d'une seule équation du degré m.
Cette dernière équation n'est pas généralement résoluble algébriquement quand elle passe le quatrième degré, mais l'équation (lt) et les autres semblables le sont toujours en supposant connus les coefficiens A\, A\ etc., comme nous le verrons dans le paragraphe suivant
Dans le paragraphe précédent nous avons considéré le cas où m est plus grand que l'unité. Maintenant nous allons nous occuper du cas où m = l.
Dans ce cas on aura fi = n, et les racines de l'équation (px=0 seront
27) #rt, 6lax1,...^"-,J1;
or je dis que toute équation dont les racines peuvent être exprimées de cette sorte est résoluble algébriquement.
Soit « une raciue quelconque de l'équation uf — 1=0, et faisons
28) ux = (.r-f «0x + ft«0«jr+ «^.r-f- . . . + u." l0'",^\
tpx sera une fonction rationnelle de x. Or cette fonction peut s'exprimer rationnellement par les coelficiens de <fx et 0jt.
En mettant QPx au lieu de x, on aura
ydmx =
(6mx + «0ra+,* + «*0"+,.r-f . . . 0^+0^-"+' . 0«+'ar . . . i^'.^«ï)Cj
maintenant on a
Qf>x=x, 0»+1ar=0jr, . . . 0"+»-,x= 0"-»x,
donc:
yômx =
(a^-m*+«^»+,0j:+ . . . + «"-,0»-,* + 0"ar+a0»+,x+ . . . + a*-"-,0^-,*)u. Or «J" = l, donc:
yO«x=z[ur-n{x+aQx+a*6lx+ . . . -f af^^lx)y ,tfrf/«-">(.r+a&r -f . . . + ar-W^xY,
a^-»» étant =1,
on voit que
En faisant »i=0, 1, 2, 3,.../* — 1, et ajoutant ensuite, on trouvera:
29) yz = ■ !- ( v >x + v 0* -f- if0*-r + • • • + Y0""1*) .
y# sera donc une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation ipx=0, et par conséquent on pourra l'exprimer rationnellement en quantités connues.
Soit yx — on tire de l'équation (28):
30) l/v=x + «0* + a,0a*+ . . . -f a/>-*Oe-*x. Cela posé, désignons les racines de l'équation
31) 1, «,, «„ . . . a^, et les valeurs correspondantes de v par
32) ?>0, vtt vtt r„ . . . r,,-i,
l'équation (30) donnera, en mettant à la place de a successivement 1,
V^v0 = * + Ox+ Px + . . . + ôf-'x, \\fVl =x+ «,0* + a]6*x + . . . + «Ç-'flf-'ar, ij/t>, = *-f atOx+ a\Ù*x + . . . + c£-'0.«-< x,
En ajoutant ces équations on aura :
34) x = ±-[—A+ \Tvx + Vv% -f \fvt + . . . + ,
où — J exprime la quantité rationnelle y v0.
On connaît par là la racine x. Généralement on trouve la racine 0mx en multipliant la première des équations (33) par 1, la seconde par a-», la troisième par etc., et ajoutant; il viendra alors:
f- * + «?• V <\ + «?■ V <',+ ••• + <Çr K'V.J • En donnant à m les valeurs 0, 1, 2, ... fi — i, on aura la valeur de toutes les racines de
L'expression précédente des racines contient généralement un nombre %
fi—t de radicaux différents, de la forme yv. Elle aura donc un nombre ftf>-> de valeurs, tandis que la racine de l'équation qx=0 n'en a que //. Mais on peut donner à l'expression des racines une autre forme, qui n'est pas exposée
à cette difficulté. En effet, lorsque la valeur àey«l est fixée, celle des autres radicaux la sera également, comme nous allons le voir.
Quel que soit le nombre fi, premier ou non, on peut toujours trouver une racine a de l'équation «"—1=0, telle que les racines
«!> ai> «, . . . a^, puissent être représentées par
3fi) te, u\ . . .
Cela posé on aura
Vvv = x + u\ Ox -f a*0*x + . . . + a^-')k. 0-"->x,
y'vl = «-f«.îx4-B16,* + ... + «.«-•. o><~'xt
38) f V^k • (KX>"-k= (* + 0*+ «"* + ...+ af^'>k. ^-'^)
i X (x+a.^ + tt* .ô1^ + ... + o^-,.fliu-'a;>u-k.
Le second membre de cette équation est une fonetion rationnelle de xt qui ne changera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quelconque 0mx, comme on le verra aisément, en faisant cette substitution et ayant égard à l'équation ()fh'x—Ûyx. En désignant donc la fonction dont il s'agit par yx, on aura:
y »v(K* ,)"-k= yx=yOx= yb*x = . . . = yQt*->x,
et de là:
39) V vk.(V *»,>" k — -■ yOx+ yb*x + . . . + yO^x].
Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines, donc on peut l'exprimer en quantités connues. En la désignant par ok, on aura:
40) V'MV'f ,>"-"= «k et de là:
A l'aide de cette formule l'expression de la racine x deviendra: • 42) *=A(-^+j/^ + ^0^
Cette expression de x n'a que p valeurs différentes, qu'on obtiendra en mettant
au lieu de yvt les /< valeurs:
La méthode que nous avons suivie précédemment pour la résolution de l'équation </x=0 s'accorde au fond avec celle, dont Mr. Gauss a fait usage dans ses "DisquhUiones arithmeticae pag. 648 et seq." pour résoudre une certaine classe d'équations, auxquelles il était parvenu dans ses recherches sur l'équation x" — 1=0. Ces équations ont la même propriété que notre équation (f x=0; savoir que toutes ses racines peuvent être représentées sous la forme:
ar, Ox, b*x, . . .
Ox étant une fonetion rationnelle.
En vertu de ce qui précède nous pourrons énoncer le théorème suivant: Théorème III. Si les racines d'une équation algébrique peuvent cire représentées par:
x, 0*, 0»x, . . . Qf-*x, où Qfx = x et Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues, cette équation sera toujours résoluble algébriquement
On en tire le suivant, comme corollaire:
Théorème IV. Si deux racines d'une équation irréductible, dont le degré est un nombre premier, sont dans nn tel rapport, qu'on puisse exprimer l'une rationnellement par l'autre, cette équation sera résoluble algébriquement.
En effet cela suit immédiatement de l'équation (11)
où l'on doit avoir m=l, si fi est un nombre premier, et par conséquent les racines s'expriment par x, 0x, 0*x, • • . 0u~lx.
Dans le cas, où toutes les quantités connues de yx et 0* sont réelles, les racines de l'équation tpx — O jouiront d'une propriété remarquable, que nous allons démontrer.
Par ce qui précède on voit que «„, peut être exprimée rationnellement par les coefficiens de tpx et Ox, et par a. Si donc ces coefficiens sont réels, doit avoir la forme
a^—a + bV— 1,
où V — 1 n'entre qu'à cause de la quantité a, qoi en général est imaginaire, et qui généralement peut avoir la valeur
a = cos + j/ i.gin
En changeant donc dans « le signe de Y — 1 el désignant par «'„, la valeur correspondent de <iu,, on aura
Or suivant (40) il est. évident, que a'^ — , donc 6=0 et
Donc a toujours une valeur réelle. On démontrera de la même manière que
r^c+rfV-l et v^^c-dV-l, où r et d sont réels.
Donc:
De là ou Ure
et par suite Y(a.u — ra)=</; d'où l'on voit que >/"(«" — <?*) a toujours valeur réelle.
Cela posé, on peut faire
4T») c=(Kp>ucor<J, V(*u— i*)=(Y(?y*inÔt où p est une quantité positive.
On en tire
c'est-à-dire
par conséquent q sera éfçal à la valeur uumérique de a. D'ailleurs on voit que a est toujours positif, si fi est uu nombre impair. Connaissant ç et ô, on aura
= (Y (>>"• (c<»s A ' + K— 1 • 8in °)
«•t par suite
i/n=KP.[c.s(s^-)+K-t.»i»(-r*)]-
En substituant cette valeur de Y v, dans l'expression de x (42), elle
47) x=\[-A + Vç.(co*
+ (f+ff V- 1) (cos -(-^ + V- 1 • *in ^±^5).) + (F+ c K- 1) . (cos «fi±?=?> + v - 1 • «Iû
+ etc. ] où ç, A, f, g, F, G etc., sont des fonctions rationnelles de cos—, sin —
et des coefficiens de yx et 0a\ On trouvera toutes les racines, eu donnant à 7» les valeurs 0, 1, 2, 3, . . . — 1.
L'expression précédente de x fait voir:
Théorème V. que pour résoudre l'équation <px=0, il suffît:
1) de diviser la circonférence entière du cercle en /i parties égales,
2) de diviser un angle d, qu'on peut construire ensuite, en ti parties égales, 5) d'extraire la racine carrée d'une seule quantité ç.
Ce théorème n'est que l'extension d'un théorème semblable, «nie Mr. G oms s donne sans démonstration dans l'ouvrage cité plus baut pag. 6ol.
Il y à encore à remarquer que les racines de l'équation </x=0 sont ou toutes réelles ou toutes imaginaires. En effet si une racine x est réelle, les autres le sont également, comme les expressions
Ox, 0*x, . . . (Jf-lx, qui ne contiennent que des quantités réelles, le font voir. Si au contraire x est imaginaire, les autres racines le sont aussi, car si p. ex. ûmx était réelle, 0P-»(0nx)= efx — xt le serait également, contre l' hypothèse. Dans le premier cas a sera positif et dans le second négatif.
Si ft est un nombre impair, toutes les racines seront réelles. La méthode que nous avons donné dans ce paragraphe, pour résoudre l'équation <f,x=0, est appliquable dans tous les cas, le nombre fi étant premier ou non; mais si p est un nombre composé, il existe encore une autre méthode qui offre quelques simplifications et que nous allons expoxer en peu de mots. Soit ft=m.n, les racines
x, Ox, Û*x, . . . &f-lx pourront être groupées de la manière suivante:
x, 0"x, 0*mx, . . . 6<ft-,,BT, 6x, 0»+lx, ftMV+1x, . . . tV(»-»-+,.r, 0%x, Q*+*x, Pm+tx, . . . tf-v+'x,
0«-*x, 6*»->x, ùia~lx, . . . Ùmn~lx.
En faisant pour abréger:
48) 0"x = 0tx,
49) *•=*,, 6x=x„ b*x=xt, . . . Om'lx=xm, on peut écrire les racines comme il suit:
30) 2) r" e,-T«' eï**> • • • <?""1*r«'
Donc en vertu de ce qu'on a va dans le §. 2 on peat décomposer l'équation a>*=0, qui est do degré m.n, en m équations dn degré n, dont les coefficiens dépendront d'une équation du degré m. Les racines de ces m équations seront respectivement les racines 1', £',... m*.
SI n est un antre nombre composé /»,.»,, on peut décomposer de la même manière chacune des équations du degré », en ml équations du degré »lt dont les coefficiens dépendront d'une équation du degré Si nl est encore un nombre composé, on peut continuer la décomposition de la même manière.
Théorème VI. En général, si l'on suppose ai) fi = ml.m .«t, . . .
la résolution de l'équation proposée <px=0 sera ramenée à celle de n équations des degrés:
771 j , 77? ^ , BIJ,...JJ!>.
Il suffit même de connaître une seule racine de ces équations, car si on connaît une racine de l'équation proposée, on aura toutes les autres racines, exprimées en fonctions rationnelles de celle-ci.
La méthode précédente est au fond la même que celle, que Mr. Gauss donne pour la réduction de l' équation à deux termes xf — 1=0.
Pour faire voir plus clairement la décomposition précédente de l'équation çx=0 en d'autres de degrés moins élevés, supposons p. ex. fi =30=5. 3. 2.
Dans ce cas les racines seront:
xt 0 j. , Ô*jt, . . . 6**j:.
D'abord nous formerons une équation du 6ikne degré, dont les racines seront:
x, û*x, liwx, 6"x, (r»x, (,nx.
Soit R=0 cette équation, on peut déterminer ses coefficiens, rationnellement, par une même quantité y, qui sera la racine d'une équation du cinquième degré: P=0.
Le degré de l'équation //=0 étant lui même un nombre composé, nous formerons une équation du 5lime degré: Rl = 0, dont les racines seront:
x, 0inx, bwxt
et dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de y, et d'une même quantité qui est racine d'une équation du second degré ^=0, dans laquelle les coefficiens sont exprimés rationnellement par y.
Voici le tableau des opérations:
Oo peut aussi commencer par une équation dû 2iilM degré eu x, ou bien par une équation du tiiimc degré.
Reprenons l'équation générale yx=0.
En supposant fi—m.n, on peut faire
52) *?+fy.*-l + fo.*"+ ... =0, où y est déterminé par une équation du miiav degré:
dont tous les coefficiens sont exprimés rationnellement en quantités connues. Cela posé, soient:
lft = mt.mi.ms...7nai et /i = mt . m,,
plusieurs manières de décomposer le nombre /i en deux facteurs, on pourra décomposer l'équation proposée yx=0 en deux autres des w manières suivantes :
ÎF1(j,y,)=0, dont les racines seront x, ô^'x, 6*\r, . . . o("r^m>x et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une quantité yl racine d'une équation fiyl = 0, du degré w^.
(Fa(x,y4)=0, dont les racines seront x, </m«x, 6*"«x, . . . ^■«-• •"•x (2) <et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité y,, (racine1 d'une équation fty9 = 0, du degré mr
lFu(x, y„)=0, dout les racines seront x, O"**, btm<*x, . . . £r*n«-,"Vr (<t>) Jet les coefficiens des fonctions rationnelles d une même quantité ym
(racine d une équation f^,,=0, du degré mm. Supposons maintenant que mt, m^,...!»,,, pris deux à deux, soient premiers entre eux, je dis qu'on pourra exprimer la valeur de x rationnellement par les quantités y,, y,, y,, . . . ya. En effet, si m,, m,, . . . mw sont premiers entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine, qui satisfera à la fois à toutes les équations
53) Fl(x,<yl)=0, Fs(x,ya)=0, . . . Fjx, = 0 ; savoir la racine x. Donc, suivant un théorème connu, on peut exprimer x
rationnellement par les coeffïcieos de ces équations et conséquemment par les quantités yt, yf, . . . y„.
Voila donc ramenée la résolution de l'équation proposée h celle de to
équations: fiyl—0\ /"sy4=0; fuyu = 0, qui sont respectivement des
degrés: m,, m,, »»„, et dont les coefliciens sont des fonctions rationnelles
des coefôciens de <px et Ox.
Si Ton veut que les équations
soient les moius élevées possibles, il faut choisir . . . î«w tels, que ces
nombres soient des puissances de nombres premiers. P. ex si l'équation proposée <p*=0 est du degré:
où ë%,...t„ sont des nombres premiers différents, on aura
L'équation proposée étant résoluble algébriquement, les équations (56) le seront aussi; car les racines de ces équations sont des fonctions rationnelles de x. On peut aisément les résoudre de la manière suivante.
La quantité y est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (52), c'est-à-dire de:
5») x, 0mx, 0*™x, . . . 0<»~l>"x.
Soit
60) y = Fx=f[x, 0nx, b*mx, . . . 0(n-l>».r),
les racines de l'équation (53) seront
fil) Fx; F(0x)i F(ij*x): . . . F(Hm lx);
or je dis que l'on peut exprimer ces racines de la manière suivante:
où ?y est une fonction rationnelle de y et de quantités connues.
On aura
65) F\0x)=f[0x, 0(0".r), 0(</'2m:r),...0(fl<B-,>nx)], donc F(0x) sera, autant que Fx, une fonction rationnelle et symétrique des racines x, Ùmx, . . . 6(»-»>"x, donc on peut, par le procédé, trouvé (24) exprimer y(Qx) rationnellement par yx. Soit donc
%pOx = ).}px = Xy,
on aura, en remplaçant (en vertu du 1. théorème) x par ûx, 6*.r, . . . 0m~lx:
yô'x = kyù*x =3.*tf, yOm-lx = lyO*-* =A"-1y,
c. q. f. ci- Maintenant les racines de l'équation (33) pouvant être représentées par
on peut résoudre algébriquement cette équation de la même manière que l'équation tpx = 0. (Voyez le théorème III).
Si m est une puissance d'un nombre premier = on peut encore déterminer y à l'aide de v équations du degré t. (Voyez le théorème VI).
Si dans le théorème III, l'on suppose, qne ft soit une puissance de 2, on aura, comme corollaire, le théorème suivant.
Théorème VII. Si les racines d'une équation du degré £" peuvent être représentées par
x, Ox, 6»x, . . . b*°~lxt où 6*" x=x, cette équatiou pourra être résolue à l'aide de l'extraction de ta racines quarrées.
Ce théorème, appliqué à l'équation =0, où est un
nombre premier, donne le théorème de Mr. Causs pour le cercle.
De» équation» dont toute» le» racine» peuvent être exprimée» rationnellement
par l'une d'entre elle».
Nous avons vu précédemment (théorème III) qu'une équation de degré quelconque, dont les racines peuvent être exprimées par
x, dx, Ô*x, . . . ÔP-lx est toujours résoluble algébriquement
Dans ce cas toutes les racines sont exprimées rationnellement par Tune d'entre elles; mais une équation, dont les racines ont cette propriété, n'est pas toujours résoluble algébriquement; néanmoins, hors le cas considéré précédemment, il y a encore un autre, dans lequel cela a lieu. On aura le théorème suivant :
Théorème VIII. Soit %x=Q une équation algébrique quelconque, dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par l'une d'entre elles, que nous désignerons par x. Soient Ox et 0tx denx autres racines
quelconques, l' équation proposée sera résoluble algébriquement, si Ton a
&,6,1x=01flx.
La démonstration de ce théorème pent être réduite sur le champ à la théorie exposée $. 2, comme nous allons le voir.
Si l'on connaît la racine x, on en aura en même temps tontes les antres; il suffit donc de chercher la valeur de x.
Si l'équation
64) Xx = 0 n'est pas irréductible, soit
l'équation la moins élevée, à laquelle puisse satisfaire la racine x, les coeffïciens de cette équation ne contenant que des quantités connues. Dans ce cas les racines de l'équation (fx-0 se trouveront parmi celles de l'équation %x-Q (voyez le premier théorème), et par conséquent elles pourront s'exprimer rationnellement par l'une d'entre elles.
Cela posé soit 6x une racine différente de x, en vertu de ce qu'on a vu dans le premier paragraphe, les racines de l'équation a>x=0 pourront être exprimées comme il suit:
x, 6x, tf*x, . . . ô'-'x,
xlt fcr„ Ô*x„ . . . trlxlt
et en formant l'équation
66) xn+A'.x'-l+A'x*-*+ J-x"-»-}- . . . -f A("-^x-\-A(ù)=0, dont les racines sont x, Ûx, 0*x, . . . 0'-lx, les coefficiens A', A;... A(m) pourront être exprimées rationnellement par une même quantité y, qui sera racine d'une équation irréductible*):
67) r+p>ir-1+p*!r-%+ . • • +jw +*.=<>•
dont les coefficiens sont des quantités connues (voyez §. 2).
») On démontra» aisément, que cette équation ne pourra être réductible. Soit R=0 l'équation irréductible en y, et v son degré. En éliminant y, on aura une équation en jr du degré »v; donc »v=|x. Mali on a
donc
ce qui est impossible, car y est moindre que m.
La détermination de * peut s'effectuer à l aide des deux équations (66) et (67). La première de ces équations est résoluble algébriquement, en supposant les coefficiens connus, c'est-à-dire la quantité y (voyez le théorème III). Quant à l'équation en y, nous allons démontrer que ses racines ont la même propriété que celles de l'équation proposée g>*=0, savoir d'être exprimables rationnellement par l'une d'entre elles.
La quantité y est (voy. lo) une certaine fonction rationnelle et symétrique des racines x, 0*, 0**, . . . 0*-1*. En faisant:
! les autres racines de l'équation (67) seront: 68) < y, = A*. > 0*i > Ô'x, , . . . 0"-'*,) ,
V y«-i = A*»-!» 0*m-l» tf*-**-,, • • • • tf^m-i)- Maintenant, dans le cas en question *,, . . . *m, seront des fonctions rationnelles de la racine x. Faisons en conséquence
*, 0i*> — ■ 0j*, • ■ • ^nj— i ^m—
les racines de l'équation (67) auront la forme:
yx = f(Oxx, 0Î>,*, 0*0,*, . . . 0'-'0,.r). Suivant l'hypothèse les fonctions 0 et 0, ont la propriété que:
équation qui, en vertu du théorème I, aura lieu en substituant à (a place de x une autre racine quelconque de l'équation tpx=0. On en tire successivement
L'expression de y, deviendra par la:
y, = A0,*, 010x, 0,0**, .... 0,0»-1*), et on voit que y,, comme y, est une fonction rationnelle et symétrique des racines
Donc en vertu du théorème II on peut exprimer y, rationnellement par y et des quantités connues. Le même raisonnement s'appliquera à toute autre racine de l'équation (67). Soient maintenant )y, /,y deux racines quelconques, je dis qu'on aura
En effet ayant p. ex.
ly = f{0,x, f)Oxx, . . . 0l>-'01x),
Ei
y = /•(*, Ox,.. 0-l*h on aura, en mettant 0,r an lieu de x:
)yt = f(6t0& 00,0,*, . . .
où
y, = A0r*. <>'V> • • • Vn-l0,*) =
donc
iA.y = AO,^, 00,0,*, . . . 0"-,0,0rr)
et également
My=/"(0.0i*> 00A*. • • • 0"-l0,0,*)>
donc, puisque 0,0^ = 0,0.x,
Uly = ll).y.
Les racines de l'équation (07) auront donc précisément la même propriété que celles de l'équation yx = 0.
Cela posé, on peut appliquer à l'équation (67) le même procédé, qu'à l'équation tpx = Q; c'est-à-dire, la détermination de y peut s'effectuer à l'aide de deux équations, dont l'une sera résoluble algébriquement et l'autre aura la propriété de l'équation <px = 0.
Donc le même procédé peut encore être appliqué à cette dernière équation. En continuant, il est clair que la détermination de x pourra s'effectuer à l'aide d'un certain nombre d'équations, qui seront toutes résolubles algébriquement Donc enfin l'équation <fx = Q sera résoluble à l'aide d'opérations algébriques, en supposant conuues les quantités qui avec x composent les fonctions:
tfXy Qx, 0,t, 0^r, . . , 0n ix.
11 est clair que le degré de chacune des équations auxquelles se réduit la détermination de x, sera un facteur de fi qui marque le degré de Y équation <fx= 0; et:
Théorème IX. Si l'on désigne les degrés de ces équations respectivement par
m, . . . nu,
on aura:
En rapprochant ce qui précède de ce qui a été exposé dans le §. 3, on aura le théorème suivant:
Théorème X. Supposant le degré /t de l'équation tpx=0 décomposé comme il suit:
où f„ fB sont des nombres premiers, la détermination de x pourra
s'effectuer à l'aide de la résolution de Vl équations du degré fu de y, équations du degré etc., et toutes ces équations seront résolubles algébriquement Dans le cas où fi — 3T, on* peut trouver la valeur de x h l'aide de l'extraction de v racines carrées.
Application aux fonctions circulaire».
En désignant par a la quantité — , on sait qu'on peut trouver une équa-
tion algébrique du degré u, dont les racines seront les ft quantités:
cosa, cos2a, cosSo, . . . cosua, et dont les coefficiens seront des nombres rationnels. Cette équation sera
70) x? — i/i . x"-' + Ty . .xf~*...=0.
Nous allons voir que cette équation a la même forme que l'équation %x=0 considérée dans le paragraphe précédent
Soit cos<i = .T, on aura d'après une formule connue, quel que soit a:
71) C0S»ia=:fl(cO8fl),
où 6 désigne une fonction entière. Donc cm ma, qui exprime une racine quelconque de l'équation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x. Soit 6xx une autre racine, je dis qu'on aura
60 ^ = BJx.
En effet, soit dlx=coam% la formule (71) donnera, en mettant m'a au lieu de a:
cos (mm'a) = «(cosjw'c) = 00 \x.
Da la même manière on aura
cos(m'»ia) = ^(cosmo) = 0,0*,
donc:
00tx = 0t0x.
Donc suivant ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent,
x ou cos a = c«)8 —
pourra être déterminé algébriquement. Cela est connu.
Supposons maintenant que ft soit un nombre premier =2»-f-l, les racines de l'équation (70) seront:
cos ■ , cos *r' , .... cos -4^V , cos In J»+l ' 2n + l ' 2»+l
La dernière racine cosSt est égale à l'unité donc l'équation (70) est divisible par x — 1. Les autres racines seront toujours égales entre-elles par couples,
car on a cos - — \ = cos ^" + 1 ~ , donc on peut trouver une équation dont les racines seront,
.72) COB-fi-, cos , . . . cos /
Cette équation sera:
+ tV. <— ^("-») x^+^. <w-j><;-4^-*-etc.^0. Cela posé, soit
COS , = X == COSO,
on aura d'après ce qui précède:
cos -lîwlc.-=9x = cos ma.
L'équation (73) sera donc satisfaite par les racines
74) x, Or, Ô'jt, 6'x, . . .
On a, quelle que soit la valeur de a:
O(cos a) = cos ma.
De la on tire successivement:
O*(cos a) = 0 (cos ma) = cos m'a, O'(cos«)= 0(cos»i»a) = cos m'a,
6"(eos a) = Q(coswi."-,a) = cosm"a.
Les racines (74) deviendront donc
73) cos a, cos ma, cos m'a, cos m'a, . . . cosm^'a, . . . Cela posé, si m est une racine primitive pour le module 2«-j-l (voyez Gauss Disquis. aritkm. pag. 53), je dis que toutes les racines
76) coso, cosmo, cosm'o, . . . cosm*~'a
seront différentes entre elles. En effet si l'on avait
coswt."«= cos^a, où fi et ¥ sont moindres que n, on eo tirerait:
m fa = ± m" a + 2**, où * est entier. Cela donne en remettant pour a sa valeur »
m« = ±m" + *(2»+l), donc ,»» :p w = m» («*•"* :f 1) = A (2n+ 1)
et par conséquent
serait divisible par 2»+l, ce qui est impossible, car 20i — r) est moindre que 2w, et nous avons supposé que m est une racine primitive. On aura encore :
cos ffi"a = costf, car m*" — l=(mm — 1)(m"-f-l) est divisible par 2»-|-l; donc:
m- = ±l + Ar(2»-f-l),
et par suite :
COSfW"fl==: cos(^«-f-^.2ff) = cose.
De là on voit que les n racines de l'équation (73.) pourront s'exprimer par (76.); c'est-à-dire par:
x, %x> 9*r, O'*, . . . O—'a:, où 0"x = x. Donc, en vertu du théorème (III), cette équation sera résoluble algébriquement.
En faisant n = ml.mt.. .m., on peut diviser la circonférence entière du cercle en 2n -f- 1 parties égales, à l'aide de w équations des degrés mvmvmv . . . m». Si les nombres m,, m,, . . . ma sont premiers entre eux, les coefficiens de ces équations seront des mombres rationnels.
En supposant n = 2", on aura le théorème connu sur les polygones réguliers, qui peuvent être construits géométriquement.
En vertu du théorème V. on voit que pour diviser la circonférence entière du cercle en 2n -f- 1 parties égales, il suffit
1) de diviser la circonférence entière du cercle en 2 n parties égales,
2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 2» parties égales,
3) et d'extraire la racine carrée d'une seule quantité p.
M. Gauss a énoncé ce théorème dans ses Disqnis.^ et il ajoute que la quantité dont il faut extraire la racine, sera égale à 2n-f- 1. C'est ce qu'on peut démontrer aisément comme il suit.
On a vu (40, 38, 46) que ç est la valeur numérique de la quantité
oùt» = co8^+Vr — l.sin^-. En substituant pour x, te, ... leurs valeurs
cos «t, cos ma, cos m'a, ... on aura :
-J- ç =(cos o -f- a cos ma -f- «• cos m*a -\- . . . -f- p*-,.cosm"-1a) x (cos a -f-a—'cos ma-}- a— *cos m'a-f- ...+«. cos m"-1*»). En développant et mettant £ (> sous la forme
on trouvera facilement.
tft = cos a.cosm>"a + coswie.cos»t/'+1a 4" . . . -f- cos mn~l~fa . cos m^a + cosm^a.cosa -|- cos wi"-/'+1a.cosm<i+ • • • ~h cos»"-1* .cosm^o. Maintenant on a
cos/n'a.cosW+^rt = ^cos(m."+"o -f m*1 a) + £ cos (W+'a — m" a),
donc:
tp=\ (cos(»^+l)a-r-cos(fM^+l)»Mt+coR(»t"+l)»i*a+ . . . + cos(m"+l Jm-'o) -f-i(cos(»^— l)«r+cos(iW— l)m«+co8(i»u— l)m«a+...H-cos(m^— ljm-^a).
Si l'on fait (m^-J- 1) a = o', (m? — l)fl=ra*, on aura
^=^(008 a' + e(cosa') -f- ô*(cosa') -f . . . -f- O—^cosa*)) 4~ y (cos a* 4" ft(cos a") -f- 0*(cos o') -}- . . . -f- 0""*(cos «•)). Cela posé, il y a deux cas, savoir: /i est différent de zéro ou non. Dans le premier cas il est clair que cos a' et cos a* sont des racines de l'équation (73), donc cos a* = O''*, cos a' = Vx. En substituant, il viendra, en remarquant que fi"x = x:
iM = t(H*x + 0rf+'* + . . . + 6-»* + x + (fcr + . . . + •*-'*) -r- ^'x + + . . . + 6— x + * + ôx + . . . + 0-**),
/„ = x + Ojt + O'x + . . . -j- 6— lx, c'est-à-dire tM est égal à la somme des racines; par suite en vertu de l'équation (73):
Dans le cas où /< =0, la valeur de deviendra:
/0 = | (cos 2a -f cos2ma -f- ... 4- cos Sm-'a) -for cos 2 a est une racine dé l'équation (73), donc en faisant
cos 2a = H4x,
cos la -\- cos 2ma -f- • • • + cos tnT-la = **x + ^+lx + ... + ^x + x -f- fcr -f- . . . -f ô'-1x = par conséquent:
En vertu de ces valeurs de f0 et la valeur de ±q deviendra.
±<> = i* + è> et puisque ç est essentiellement positif,
Cette valeur de ç donne
donc la racine carrée qu'il y a à extraire est celle du nombre 2» + 1, cornue le dit M. Gtauss*).
Christiania, 29. Mars 1828.
(Note de Mr. Crelle.)
Recherches sur les fonctions elliptiques.
Depuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponentielles et circulaires ont été les seules fonctions transcendantes, qui ont attiré l'attention des géomètres. Ce n'est que dans les derniers temps, qu'on a commencé à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions, nommées elliptiques, tant pour leur belles propriétés analytiques, que pour leur application dans les diverses branches des mathématiques. La première idée de ces fonctions à été donnée par l'immortel Euler, en démontrant, que l'équation séparée
est intégrable algébriquement Après Euler, Lagrange y a ajouté quelque chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l'intégrale
' h , ou R est une fonction rationnelle de x. Mais le pre-
•/✓[(l-f^Xl-f**»)] mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonctions, est M. Legendre, qui, d'abord dans un mémoire sur les fonctions elliptiques, et ensuite dans ses excellente exercices de mathématiques, a développé nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et a montré leur application. Depuis la publication de cet ouvrage, rien n'a été ajouté à la théorie de M. Legendre. Je crois qu'on ne verra pas ici sans plaisir des recherches ultérieures
En général on comprend sous la dénomination de fonctions elliptiques, toute fonction, comprise dans l'intégrale
y* Rdx t/(a+pjr+Y.r» + 8.r» + u*) '
où R est une fonction rationnelle et a, /?, y, à, e sont des et réelles. 31. Legendre a démontré, qu° PM des substitutions convenables on peut toujours ramener cette intégrale à la forme
f PdS J i/(fl + *y«+V) '
où P est une fonction rationnelle de y*. Par les rédactions convenables, cette intégrale peut être ensuite ramenée à la forme
C+Dg* ' '
et celle-ci a:
où c est réel, et moindre que l'unité.
De là sait, que toute fonction elliptique peut être réduite à l'une des trois formes:
S yf(\— c*«in«S) ' f*1^^ ° S,n ^ » J'(l+niin*t)V(l — ca«li»»S) ' auxquelles il/. Legendre donne les noms de fonctions elliptiques de la première, seconde et troisième espèce. Ce sont ces trois fonctions, que M. Legendre a considérées, surtout la première, qui a les propriétés les plus remarquables et les plus simples.
Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, c'est-adire la fonction 96, déterminée par les équations
" ~S /(l— c*ain* 8) Ct sinQ = (f(a)z=x.
La dernière équation donne
d* . V{\ — sin V» = d. <pa = dx,
donc
" =Xv[(l-x»)(l-ci^)]- AT. Legendre suppose <:* positif, mais j'ai remarqué, que les formules deviennent plus simples, en supposant c1 négatif, = — e*. De même j'écris pour plus de symétrie 1 — c*x* au lieu de 1 — x2. En sorte que la fonction <pa=x sera donnée par l'équation
ou bien
if 'a = —c*ff*a) (1 -f- «?V«))
Pour abréger, j'introduis deux autres fonctions de a, savoir:
Plusieurs propriétés de ces fonctions se déduisent immédiatement des propriétés connues de la fonction elliptique de la première espèce, mais d'autres sont plus cachées. Par ex. on démontre, que les équations <ptt = 0, fu = 0, Fa = 0 ont un nombre infini de racines, qu'on peut trouver toutes. Une des propriétés les plus remarquables est, qu'on peut exprimer rationnellement <f(ma), f\ma), F\mu) (m étant un nombre entier) en (fa, fa, Fa. Aussi rien n'est plus facile, que de trouver y (ma), f\mu) F(ma), lorsqu'on connaît <fu, fa, Fa; mais le problème inverse, savoir de déterminer (pu, fa, Fa en (f(ma), f{mu), F\ma) est plus difficile, parcequ'il dépend d'une équation d'un degré plus élevé (savoir du degré m*).
La solution de cette équation est l'objet principal de ce mémoire. D'abord on fera voir, comment on peut trouver toutes les racines, au moyen des fonctions a, f, F. On traitera ensuite de la solution algébrique de l'équation en
question, et on parviendra à ce résultat remarquable, que 9 (-^); f(£)'> ^(^)
peuvent être exprimés en <jp«, fa, Fa, au moyen d'une fonction, qui, par rapport à a, ne contient d'autres irrationnalités que des radicaux. Cela produit une classe très générale d'équations, qui sont résolubles algébriquement II est à remarquer, que les expressions des racines contiennent des quantités constantes, qui, en général, ne sont pas exprimables par des quantités algébriques. Ces quantités constantes dépendent d'une équation du degré m* — 1. On fera voir comment, au moyen de fonctions algébriques, on peut en ramener la solution à celle d'une équation du degré m -J- 1. On donnera plusieurs expressions des fonctions <p(2»-|-l)a; f{2n-\-l)u; F\in-\-\)u en fonctions de tpa, fa, Fa. On en déduira ensuite les valeurs de tpa, fa, Fu en fonctions de a. On démontrera, que ces fonctions peuvent être décomposées en un nombre infini de fac- 1 teurs, et même en une infinité de fractions partielles.
Propriété» fondamentale» de» fonction» ça; /a; Fk.
En supposant, que <fa = x (1), on aura en vertu de ce qui précède: 2* " ^[(l-c«x«)(l + e«x»)] '
Par là on voit, que a, considéré comme fonction de x, est positif depuis *=0, jusqu'à x = — . En faisant donc
✓ [(1— c*r«)(l+««x«)] il est évident, que <pct et positif et va en augmentant depuis « = 0 jusqu'à
a = ~ , et qu'on aura
Parceque a change de signe, lorsqu'on écrit — * à la place de x; il en est de même de la fonction ya par rapport à a, et par conséquent on aura l'équation
3) tp(— tt) = — <f{a).
En mettant dans (1) xi au lieu de * (où i, pour abréger, représente la quantité imaginaire \f — 1) et désignant la valeur de a par /M, il viendra
/? est réel et positif depuis x = 0 jusqu'à y> donc en faisant .
a- sera positif, depuis /?= zéro jusqu'à /î=y, c'est-à-dire, la fonction — <p (pi)
sera positive entre les mêmes limites. En faisant jî=a et y = 2<?3, on a
f ds
U~J* ✓[(!-• y)(l+«VH ' donc on voit, qu'en supposant c au lieu de e et e au lieu de r,
se changera en ç«.
Et parceque /« = Vi\ — «V«)>
Fa=K(l + «V«)t on voit, que par le changemant de r en c et e en r, /{ai) et F\ai) rentreront
respectivement en Fa et fa. Enfin les équations (3) et (7) font voir, que par
la même transformation, m et a rentreront respectivement en o et w.
Suivant (7) on aura x = — pour /?=y, donc en vertu de l'équation xi= il viendra
En vertu de ce qui précède, on aura les valeurs de <pa pour toute valeur réelle de a, comprise entre — ~ et + ^- , et pour toute valeur imaginaire de la forme fii de cette quantité, si p est une quantité contenue entre les limites ° et -4- ~ . Il s'agit maintenant de trouver la valeur de cette fonction
pour une valeur quelconque, réelle ou imaginaire, de la variable. Pour y parvenir, nous allons d'abord établir les propriétés fondamentales des fonctions ç>, f et F.
Parce qu'on a
f*a = l — C*qp*tr, /••«=! +«V«,
fa .f'a= — t*(pa . tp'a, Fa . F'a = e*y a .
Or d'après (2) on a
^o = /((l-cV«) (i + e\*a)) = fa.fa, donc, en substituant cette valeur de <pa dans les deux équations précédentes, on trouvera, que les fonctions ya, fa, Fa sont liées entre elles par les équations
| (p'a =fa.Fat 9) 1 f'a — — c\a .Fu,
[F'a = e*tpa.fa.
Cela posé, je dis, qu'en désignant par a et (f deux indéterminées, on aura ( *(a4-iï= *»-/P.Jfr+9g-/«-*«
Ces formules peuvent être déduites sur le champ des propriétés connues des fonctions elliptiques ; mais on peut aussi les vérifier aisément de la manière
En désignant par r le second membre de la première des équations (10), on aura, en différentiant par rapport à a :
(dr\ (ya./ft ■ F$+tf . Fn ./'g+9ft ./g ■ F' a) rfg ) l+e*cVa.9*Ê
(ç« ■ + çft -/a • -Fa) . 2eV» ç« . 9» p . 9'g
Ed substituant pour tp'u, f'«, F'u leurs valeurs données par les équations (9), il viendra
(àr\ fx.F*.fï.Fï Ze*c*y*a.?*ti.fa.f$.F*.F$ Vrfg/ l+«ric*9io.9ï^ (l+«ac99»g.9a§)*
, 9tt.9p.(l4-«»g!t9gg9ip) (— c»F«g+eV»g)— ag'c»9«93.9«p./«g.Jl'«tt "T" (l+c«c*9*g9*^)»
d'où, en substituant pour f*tt et JF4« leurs valeurs: 1 — , l-f-c*ç>*a, et
en réduisant, ou tire
/ 4r\__ (1— e»c*9«tt.9'3) [(>« — c«)9tt.93+/g./ft. .ffz./ft] — 2g«c«9g.9ft(9«g+9«p) \da.J (l+tf*c*9*g.9*P)«
Maintenant a et /? entrent symétriquement dans l'expression de r; donc on aura la valeur de (-^-)> en permutant « et fi dans la valeur de (j^)- Or par
cela l'expression de (-^-) no change pas de valeur, donc on aura (-^-) ~ (j^)'
Cette équation aux différentielles partielles lait voir que r est fonction de «+/?; donc on aura
r = y(« + fl.
La forme de la fonction y se trouvera, en donnant a (i une valeur particulière. En supposant par ex. fi — O, et remarquant que y(0) = 0, /*(())= 1, F(0) = 1, les deux valeurs de r deviendront
= ç(a) et r=r V'(")j
donc
et de là
La première des formules (10) a donc lieu effectivement.
De la même manière on vérifiera les deux autres formules.
Des formules (10) on peut déduire une foule d'autres. Je ter quelques-unes des plus remarquables. Pour abréger je fais H) 1 +eacV«-?V = tf
En changeant d'abord le signe de /î, on obtiendra
En formant le produit de <p(u-\-{i) et ç(ct — 0, on trouvera
ou, en substituant les valeurs de /"*,?, FV> F*a en y/î et yu: T(ff -)- y( — 9*«-983-«***9^-94P+«*<;V.»-94»
(9»»— 9»ii)(l + «*e»9ag-9*?) .
— — Jii '
or R == 1 -J- éle%(f*a.(iri% donc
On trouvera de même ,
En faisant dans les formules (10) (i =± , (i = ± ~U et «Pie /"(+ ~) = 0, F (± | i) = 0, on aura
ou bien:
De là on tire sur le champ:
( Kïf+") ='(!■•-«)>
En faisant a = iL et ^ i, on trouve de là
*(ï+f')=Mf+ï<)=j.'Kf+ï-)=i-
Ensuite les équations (17), en y mettant dans les trois premières a + — au lien de «, et dans les trois dernières a + °- i au lieu de «, donnent les
19) j*(" + 0,) = — flPOÎ + = — /"«; + = Fa;
; W(«+°0 = — <?«; fl«+o/) = /"«; /^«4-ot) = — Fa; et en mettant a -f- œ et « + oi au lieu de a :
!Ç(2«-{-a) = ça; a(2ot + a) = ça; ç(û)+o»-f-a) = ça; rt2«-f «)=/«; /{2m+«) = fa; F(2«-f-a) = Fa; /\2ot + a) = Fa.
Ces équations font voir que les fondions tpa, /«, Fa sont des fonctions périodiques. On en déduira sans peine les suivantes, où m et n sont deux nombres entiers positifs ou négatifs:
(ç((lfl-f-«)ûi+(»l/i)0f+a)=ça ; ç((,«+w)M+(M„+l)^K)=9a . 21) l f\2m<*+na\+a)=fu; /(^«l+lJco+Hoi+a)^ — /«;
( ffaw+2»°*-H<)=+*«; /XWiw+(2"+1)°i+a)= — ^
Ces formules peuvent aussi s'écrire comme il suit:
iff {mu> -f ?ioi ± a) == ± (l)«f -.ça, 22) 1 f\mo + jmi±a) = (—1 )" . fa,
[F(mm -f noi-fc «) = (— l)».F<r.
On peut remarquer comme cas particuliers:
(V(«»±«)=±( l)«.ç«; ç(»ot±«)=±(— l)-.ç«; 22') < /(«»»±«>=(— !)-•/■«; A»0/±«)=/"«;
(^ma,±a) = jPa; F(«ai + «) = (— l)-.Fa.
Les formules qu'on vient d'établir, font voir qu'on aura les valeurs des fonctions tpa, fu, Fa pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, lorsqu'on les connaît pour les valeurs réelles de cette quantité, comprises entre -y et — ~ et pour les valeurs imaginaires de la forme /?t, où p est compris entre et — — .
En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions tp(a -f /?0» fitt + #)> T« + /*«)> où a et /î sont des quantités réelles quelconques. En mettant dans les formules (10) pi à la place de p, il est clair, qu'on aura les trois (onctions dont il s'agit, exprimées par les fonctions <pa, fa, Fa, <p(pi), /T0»)> fXPty H ne reste donc, qu'à déterminer ces dernières. Or, quelles que soient les valeurs de a et p, on peut toujours tronver deux nombres entiers m et n, tels que a = m . a> ± a', p = «o ± P', où a' est une quantité comprise
entre 0 et et /F entre 0 ct-f- v* Donc on aura, en vertu des équa-
lions (22'), en substituant les valeurs précédentes de a et fi:
V(«) = <f(mo ± «') = ± (—1)"
f\u)=1\ma ±a') = (— l)-./a', F{u) =f\mio ± a') = Fa', <ptfi) =9(nai ±/î'i)=±(-l)' .^0,
F\(iî) =F(nci±pi)={— 1)-. FXpi).
Donc les fonctions tpa, fa, Fa, <p(pi), f{fii), Ftfi) seront exprimées comme on vient de le dire, et par suite aussi les fonctions ç>(«-f(fft), fla+fii), F(a+pi).
Nous avons vu précédemment, que (fa est réel depuis a — — jusqu'à
« = + y , et que -2^- est réel depuis a = — ~ jusqu'à a = -f- ~. Donc en vertu des équations (22) il est clair :
1) que ç>(a) et sont réels pour toute valeur réelle de o; ç/a est compris entre — 1 et 1, et *M entre — ±et + 1;
2) que ?(«) s'évanouit pour a = ma, et 2^5. pour a = no, m étant un
nombre entier positif ou négatif; niais ç(a) n'est pas nul pour aucune autre valeur réelle cl e a.
En remarquant, que fa — 1^(1 — c*tp'«)> Fa = V^l-f-e'ç'o), il suit de ce que nous venons de dire:
1) que les fonctions f\a), F\n), fl«t), F\ai) sont réelles pour toute valeur île a ;
2) que f\a) est compris entre les limites — 1 et -|- 1 et F(a) entre les litmites -f- 1 et + + ~)t ensorte que Fa est positif pour toute valeur réelle de a;
S) que flui) est positif et compris entre les limites-)- 1 et
et F{ai) entre les limites — 1 et 1 pour toute valeur réelle de a;
4) que f\«) s'évanouit pour « = (iw-f-£)w et F{iu) pour a=(»»-f- J)o; niais pour nulle autre valeur de a.
lôl
On remarquera ce qui suit, comme corrollaires qu'on tire des formules (22):
1) Soit «=0. Dans ce cas, en remarquant que <jp(0) = 0, f{0)=i, f\0)= 1, on aura
' t (f(moi -j- «a») = 0
23) | /{ma. + nui) = (— 1)" [F\m(a -f- tirai) — y — 1)"
2) Soit u = -~ En vertu des équations:
*(îr)=f>'Gr)=<>. *(t)=4>
on aura
24) l /((m + i)w+iicrf)=:0,
■(^(«•+i)«+»wi)=(-ir- * •
3) Soit a = 1. En vertu des équations
on aura
