v0 j /(m»+ (» + i)0i) = (-l)-.±, (i^mw -J- (n+ ^)oi
4) Soit « = — J- ». En vertu des équations ci-dessus on aura
U(<«+i)« + (»+l)oO = A,
Les équations (23), (24), (25) font voir que la fonction tp(a) s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a=i»«-J-»ai; que fa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a = (m -f- £)»+*©», et que Fa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme <*=:mw-|-(«-|- £)ot. Or je dis que pour toute autre valeur de or, les fonctions ça, fu, Fa auront nécessairement une valeur différente de zéro.
en effet qu'on ait
a et /} étant des quantités réelles. En vertu de la première des formules (10),
cette équation peut H'écrire comme il suit:
yq./{p/).*,g0+9(P0 S*-** 0 l + e4c*ç*a.ç*(Pi")
Maintenant les quantités aa, /fr1»), F(/îi) sont réelles et ç>(j?t) est de la forme i.A, où ^ est réel; donc cette équation ne peut pas subsister à moins qu'on n'ait séparément:
(f(a) . ftfi) . F (pi) = 0 ; çfjîî) . fa .Fa — 0. Ces équations ne peuvent élre satisfaites, que de deux manières, savoir en faisant
<*>(«) = 0, çfjW) = 0,
ou
ftjtî) . Ftfi) = 0, fa . Fa = 0.
Les deux premières équations donnent a = ma ; (t = na. Les deux dernières, en remarquant que Fu et f\jli) ne peuvent jamais s'é-
/a = 0, F\(ii) = 0,
d'où
Mais pour ces valeurs de a et (i la valeur de a>(a+/ft) deviendra infinie; donc les seules valeur de « et fi sont a=»tw et /?=*©, et par conséquent toutes les racines de l'équation
peuvent être représentées par
27) x — m<a -f- »ot.
De la même manière on trouvera, que toutes les racines de l'équation
peuvent être représentées par
28) x = {m+\)<ù+msi, et celles de l'équation
29) x — ma -\- (n+£)oi.
Les formules (26) font voir qu'on satisfait aux trois équations ?(*) = £, /(;r) = i, *T(.t) = £,
en donnant à x nne des valeurs de la forme
30) x = (m 4- +(„+±)Qt
Or on peut démontrer que les équations en question n'ont pas d'autres
En effet, ayant
les équations en question entraîneront celles-ci :
»(*-t-ï') = 0' /■(*-? ') = °« F(ar-y)=0'
mais en vertu de ce qu'on vient de voir dans le numéro précédent, ces équations donnent respectivement:
x — — ~i = mot-\-nai; x ^- i = (>n -f- co -f- mai,
c'est-à-dire, on aura pour les trois équations:
*=(*+l)«+(* + *)oi,
Ayant trouvé comme ci-dessus toutes les racines des équations <p(x) = 0, f(x) — 0, F(x) = 0,
je vais maintenant chercher les racines des équations plus générales.
ç(x) = çc, f(x) = fa, F(x) = Fa, où a est une quantité quelconque réelle où imaginaire.
Considérons d'abord l'équation
ç><*) — <fa = 0.
dans la seconde des formules (12)
(px— ffa^z =0.
Cette équation ne peut subsister que dans l'un des cinq cas suivants \. si <p(ï^) — 0, d'où x = a-\- 2mw -f total,
2 si /•(£+f.) = 0J d'où x—~ « + (2i» + l)a) + 2«oi,
