II

Formule» qui donnent les valeur» de ç(»<x), f(na), F(n<x) exprimée» en fonction* rationnelle» de ça, fa, Fa.

Reprenons les formules (12). En faisant dans la i% 3e et i>« « = np, il viendra:

34) { f(n + 1)? = - A» - 1)/? + , [*> + 1),* = - F(n - l),ï + Ifm^L ,

où R == 1 + c'él.<p*in^).q>*^

Ces formules donnent la valeur de <p(«-}-l)^ en y(» — l)/?et<p(/^?); celle de /*(n+ IX* en /"(>»— et ftnfl, et celle de F(»-f- l)/î en F(n— et F(np). Donc en faisant successivement »=i, 2, S.. , on les valeurs des fonctions:

Oi(2/S). ç>(3i?), g>(4,?)...

/•(2fl, fW). -f(n{l),

F(2fl, F(3(î), F(4/ï)...F(»/î), exprimées en fonctions rationnelles des trois quantités

En faisant p. ex. »=1, on aura,

Les fonctions ?(»/?), A"A)» F(n^) étant des fonctions rationnelles de <p(i, fji, Fjit on peut toujours les réduire à la forme — , où P et Q sont des fonctions entières de ç>/9, fit, Fp. De même il est clair, que le dénominateur, Q aura la même valeur pour les trois fonctions que l'on considère. Soit, donc

35') 9(n(i) = frfi=£, F\n,i)= on aura également

9(» + Djf = -5*- , A» + !)<*= 5*- , + W = Ç*i ,

En substituant ces valeurs, la première des formules (31) deviendra:

Oïl bien

/\+. -P.-..(g«.+c«egy»g.P<.)+2P..g..g>.,./p.^ «•+> «.-,.(«2.+«»«ï9^.Fï.) En égalant les numérateurs et les dénominateurs de ces deux fractions,

manière :

3G) /V, = - /^GP.+AW +

37) = ^(C+W^ La seconde et la troisième des équations (34) donneront de la

38) /V, = - P>*-AP* + eW»V.#»\) + S//*-/*- 0-0.

39) ^l=-/^l.(0î.+ rVçV. /»„ ^«/p./Vft.ft^. En faisant dans ces quatre formules n — t, 2, 3 . . ., et remarq

Qo=U Qi = U Po = 0, P>= 9>A,

on trouvera successivement les fonctions entières £)„, />„, /*%, pour

toutes les valeurs de ».

Soient pour abréger:

40) <p{* = x, tt = y, Fjl = z et

41) IL = 0% + eWT», les formules précédentes donneront:

f P^ = - P~t • Rn + 2^ .Pm.Qn- 0„ |/*f 1 = - + P'n Qn Q^V

v P*»+l^— m-yRm ~\~ 2i . P*n-Qn'Qn-\- m

En posant » = 1, 2, on aura:

«•cW» = 1 -f- cW, + tW,

A =—PJlt+29zPt.Qt.Qù=2xyz, |/\ = - P'0Rt + iyP\ . 0,-00 = - 1 — eW + 2/, 7\= — JV?,+ 2;/\. 0t 0„ = — 1 — eW + 2i«. / fl, = Q\ + c«f *** . P\= (1 + eV*4)* + e . 4*^*, <?, = QtBt = Iiv

P, = - P^+fyP&Qi = -xRt + Wz*x.Qt |^'»= - R* + % . J\. QtQl=-t,.Rt+2yP'& ^,= *(20t/% -/?,).

En continuant de cette sorte, et en remarquant que y' = 1 — c*x*, z* = l -f- e'.ra, on verra aisément, que les quantités :

sont des fonctions entières des trois quantités x% y*, r* et par conséquent aussi de l'une de ces quantités quelconque pour une valeur entière quelconque de n.

Cela fait voir que les expressions de y («<?), f\nfa ^W) seront de la forme suivante:

i<piln(!) = <p(;.f<}.F(l.T, <f(2n + l){i = 9(l.T

45) W0 = 7\, A2" + W=tf 7*,

[F\î*fl = 7„ /\2»+ 1),? = 7*

où 7 etc. représentent des fonctions rationnelles des quantités (ç/î)*, (/?)*, (-F)?)'.

Rétolution de» équation»

9m = -£-> rm = w> = ^ •

Suivant ce qu'on a vu, les fonctions /"(«£), *Tn(9) s'expriment ra-

tionnellement en x, y, 2. Le réciproque n'a pas lieu, car les équations (35') sont en général d'un degré très élevé. Elles ont par cette raison nn certain nombre de racines. Nous allons voir, comment on peut aisément exprimer toutes ces racines au moyen des fonctions tp, f, F.

A. Considérons d'abord l'équation (f\n[}) — -~, ou Q,.y(n/?) = P», et

cherchons toutes les valeurs de x.

Il faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair : I) Si n est un nombre pair.

D'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent (43), ou aura dans ce cas

c'est-à-dire, en vertu des formules

ç(2«/?) = xy(x*).V{(\ — rV)(l + «***)). Donc l'équation en x deviendra,

rf«(2«fl = *»r>(*«))«.(l — rV)(l + £•**•).

En désignant le second membre par on aura

<p§ étant une des valeurs de x, on aura

46) 9>(2»fi) = 0(9» V),

équation qui a lieu, quelle que soit la valeur de /?. Pour trouver les autres

valeurs de x, soit x=g>a une racine quelconque, on doit avoir

Or, en mettant dans (46) a au lieu de /?, il viendra

ç*(2»a) = 8(9*«), donc:

47) 9*(Ufi) = <P*(2iut)t équation qui revient à ces deux-ci:

qp(2»«) = q>(tnjS) et ç(2na) = — ç>(2«/0- La première donne en vertu de (31)

ina = 2»/î.(-l)-+^ + ma, + où m et n sont deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, séro y compris.

La seconde donne les mêmes valeurs de 2na, mais de signe contraire, comme il est aisé de voir, en l'écrivant comme suit:

tp(—2nu) = (f{2n0).

Toute valeur de taia, qui satisfait a l'équation (47), peut donc être représentée par

2»« = ± (2n,i. (- 1)-* + ma, + /,«*)• De là on tire la valeur de «, en divisant par 2», savoir:

« = ± ((- 1 r*- fi + 5- » + & ■ '}

Ayant la valeur de «, on aura

48) 9>«=±ç((-ir,',^+£-«' + £-«0=*

Donc toutes les valeurs de x sont contenues dans cette expression, et on les trouvera, en donnant aux nombres m et fi toutes les valeurs entières depuis — oo jusqu'à +oo. Or pour avoir toutes celles qui sont différentes entre elles, il suffit de donner à met /t des valeurs entières moindres que 2». Eu effet, quels que soient ces nombres, on peut toujours les supposer réduits à la forme:

m=2n.k~\-m't ft=2n.

où *, k> sont des nombres entiers, et m», /i', des nombres entiers moindres que 2w. En substituant ces valeurs dans l'expression de x, elle deviendra:

* = ±<f((- 1)- +"' /» + £ « -f l^-ot- + *o, + faw),

or en vertu de (22) cette expression se réduit à

Cette valeur de * est de la même forme que la précédente (48), m et /* seulement sont remplacés par m' et p', qui, tous les deux, sont positifs et moindres que 2n; donc on obtiendra tontes les valeurs différentes de x, en donnant seulement à m et /* toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n excl. Toutes ces valeurs sont nécessairement différentes entre elles. En effet, supposons par ex. qu'on ait

±f>(<-ir*'H-£«+£-of)

il s'en suivrait, d'après (31):

* et étant des entiers.

Cette équation donne:

2«±/i, 2«±rn, (l)-^ = ±( 1)-+^.

Les deux premières équations ne peuvent pas subsister à moins que fc — i, *=1, /<'=£» — |U, m'=2ii — et alors la dernière deviendra:

d'où l'on tire:

résultat absurde.

Donc toutes les valeurs de x, contenues dans la formule (48) sont différentes entre elles, si m et p sont positifs et moindres que 2/i.

'Le nombre total des valeurs de .r est, comme il est aisé de voir, égal à 2(2»)* = 8»a; or l'équation <?*(2nfi)=<i(xt) ne peut pas avoir des racines égales,

car dans ce cas on aurait ^'^^ =0» cc qui donnerait pour x une valeur indépendante de fi. Donc le degré de l'équation <p*(2»<?) = 0(x*) est égal au nombre des racines, c'est-à-dire à 8«*. Si par ex. w=l, on aura l'équation *m = 0(x«) = 4x«(l-^)(U^

ou bien (l4-eV.rY ?2(^)=4*,(l — rVKl+^t),

et d'après la formule (48) les racines de cette équation, au nombre de huit,

* = ±9(-(*+i')'* = ±»Ol+T+ï'} 2) Si n est un nombre impair = 2n + 1.

Dans ce cas ■ est, comme nous l'avons vu, une fonction rationnelle de X, et par conséquent l'équation en x sera:

50) Mn + \)(i=£2L.

NT1" f 1

Précisément comme dans le cas précédent, on trouvera, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par

où il faut donner à m et n toutes les valeurs entières depuis — n jusqu'à -}- n incl. Donc le nombre des racines différentes est (2»-j-l)a. C'est aussi le degré de l'équation en question. On peut aussi exprimer les racines par

Si par ex. n=l, on aura une équation du degré 3*=9. La rormnle (SI) doue pour a: les 9 valenre suivantes:

B. Considérons maintenant l'éqaatiou 52) = 1

et cherchons les valeurs de y, qui satisfont à cette équation. La fonction étant, comme on a vu plus haut, rationnelle en y: l'équation en y, en faisant

J£- = V(y)> sera

Une des racines de cette équation est y=/ft donc, quelle que soit la valeur de §:

Pour trouver les autres valeurs de y, soit a une nouvelle inconnue, telle que y = fa, on aura

or, en vertu de (55) le second membre est égal à f[na), donc pour déterminer a, on aura l'équation

En vertu de (32) cette équation donne pour expression générale de rut:

na = tt(î -f- 2w« -j- foi, m et fi étant deux nombres entiers positifs ou négatifs, zéro y compris. De là on tire

et par conséquent:

C'est la valeur générale de y. Maintenant pour avoir les valeurs différentes de y, je dis, qu'il suffit de prendre (i avec le signe -{- et de donner à m et /* toutes les valeurs entières, moindres que n. En effet, comme on a /T+«) = /"( — a), on aura d'abord:

Donc on peut toujours dans l'expression de y prendre fi avec le signe -f . Ainsi toutes les valeurs de y sont contenues dans l'expression

Maintenant quels que soient les nombres m et //, on peut toujours supposer, m=k.n-\-m', /t=K

où A, A', m', ^ sont des nombres entiers, les deux derniers étant en même temps positifs et moindres que ».

En substituant il viendra

Or, en vertu de (22) le second membre de cette équation est égal à i

55) fOf+^-.+£«0 = *

quantité de la même forme que le second membre de (54): seulement m' et/*' sont positifs et moindres que.». Donc etc.

En donnant à m et /* toutes les valeurs possibles, moindres que », on trouvera un nombre »* de valeurs de y. Or, en général toutes ces quantités sont différentes entre elles. En effet, supposons par ex.

on aura en vertu de (52), en désignant par k, k deux nombres entiers: /?+-?m-w+JLo* = ± (^-f ~^<o + £. ai) + 2k<» + frai.

Puisque § peut avoir une valeur irrationnelle quelconque, il est clair que cette équation ne peut pas subsister à moins qu'on ne préfère dans le second membre le signe supérieur. Alors il viendra

d'où l'on tire en égalant les parties réelles et les parties imaginaires:

m=m'-\-kn, /t = /n'-^-k'n, équations absurdes, en remarquant que les nombres «», m', //, et p' sont tous positifs et inférieurs à ». Donc en général l'équation

a un nombre »* de racines différentes entre elles et non pas un pins grand nombre. Or généralement toutes les racines de cette équation sont différentes entre elles. En effet, si deux d'entre élles étaient égales, on aurait à la fois:

/•(«/?)== V(y) et 0 = V'(y)> et cela est impossible, si l'on remarque que les coefficiens de y dans if"(y) a* contiennent pas /?. Donc généralement l'équation (52) est nécessairement du degré »*.