C. L'équation

traitée absolument de la même manière par rapport à z, que l'équation

/"(»j$)=-— l- l'a été par rapport à y, donne pour expression générale des va-

leurs de c:'

57) z=F(fi+±» + ÈLj)t

où m et fi sont entiers, positifs et moindres que n. Le nombre des' valeurs •de z est »*, et elles sont en général tontes différentes entre elles.

Donc généralement l'équation (56) est du degré n\

Nous avons trouvé ci-dessus toutes les racines des équations

racines, qui sont exprimées par les formules (48), (51), (54), 57). Toutes ces racines sont différentes entre elles, excepté les cas de valeurs particulières de /?; mais pour ces valeurs, les racines différentes sont contenues dans les mêmes formules. — Dans ce dernier cas un certain nombre des valeurs des quantités x, y, z seront égaies; mais il est clair que toutes les valeurs égales ou inégales seront néanmoins les racines des équations dont il s'agit Cela se fait voir en faisant converger /? vers une valeur particulière, qui donne pour x, ou y, du : des valeurs égales.

En faisant dans la formule (48) /? = on aura l'équation

58) dont les racines sont *=±ç((-l)^£+£<a+ £

et où m et fi ont toutes les valeurs entières et positives moindres que 2n.

En faisant de même dans la formule (oO) /? = ———, on aura (pa= tt^"'» dont les racines sont

m et /i ayant pour valeurs tous les nombres entiers depuis — » jusqu'à -+-».

Enfin en faisant dans (52), (56) (i — on aura l'équation p,

fa = ~. dont les racines sont

et l'équation Fa = -j£-> dont les racines sont

où m et /* sont renfermés entre les limites 0 et n— 1 incl. Si n est impair = 2»-f 1, on peut aussi supposer

m et ft ayant toutes les valeurs entières de — n à -f-n.

Dans tontes ces équations la quantité a peut avoir une valeur quelconque. Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants:

1) En faisant dans (58) et (39) «— 0, on aura les équations

!/»,„ = 0, dont les racines sont x = ± q> (^-w4--^~ «*) (les limites de nt et fi étant 0 et 2«— 1), P1H.,«=0, dont les racines sont x = (p (-^p-y w ~h 2«+-T °0 (les limites de m et /* étant — n et -f-«).

2) En faisant dans (60) « = et dans (61) «=-|-*, et remarquant

qnc /•^)=0,/T(|t) = 0, on obtiendra les deux équations :

63) /\ = 0, dont les racines sont y = f ((2m + * ) £ + * d)| ^*

(m . ai\l étant 0 et

3) En faisant dans (58) «=£ + -|t, et en remarquant, que

?,(y~I~"ï')=: ^* 011 aura '^cluation

dont les racines seront:

x = ± y (r>+ ^ (- îy*) £ + 0 + * (- 1)-*0 •

Les valeurs de a: doivent être égales par couples, et l'on verra aisément que les valeurs inégales peuvent être représentées par

en donnant àmet/i toutes les valeurs entières depuis 0 à 2» — 1. Donc ce sont les racines de l'équation

Qt. = 0, par rapport à x.

En taisant de même dans (59) « = -| + -|i, on aura l'équation dont les racines seront:

J =<-•>"• ''((»+i>dïr + ("+i>^r>

m et u ayant pour valeurs tous les nombres entiers de — n à -)- n.

Parmi les valeurs de x, y, z, il faut remarquer celle, qui répond à m=n, fi = it. Alors on a

Ces valeurs infinies font voir que l'équation £J«„+1 = 0 est d'un degré moindre d'une unité que celui des équations dont elle sort En écartant ces valeurs, les restantes, au nombre de (2n-f-l)* — 1, seront les racines de l'équation Qtm+l — 0.