A— 1—<r„ fe*r»(l+g«.r«) ™ H-W ' 1 'n ïïeW
d'Où — e» »-/« —
et de là, en remarquant que y* = 1 — e".r», z* = i f
2» Jh+/<x - ^ Fa+fa.
De ces équations on tire, en extrayant la racine carrée, et *, y, * par leurs valeurs <p (|) , f (|.), f( « ) :
Telles sont les formes les plus simples qu'on peut donner aux valeurs des ^(y)' ^(ï')* ^ tette mani^ •>« peot exprimer algé-
briquemcnt <p (y)» f(y)> ^(t) en ftt' ^e 'tt n,*me mM"èrc
f (i), F(£) s'exprimeront eu f(£), ^(y), et ainsi de suite. Donc eu
général les fonctions çQr), /*(y-)* ^(^) peuvent être exprimées au moyen d'extractions de racines carrées, en fonctions des trois quantités <f>a, fa, Fa.
Pour appliquer les formules trouvées ci-dessus pour la bissectùm à un exemple, supposons « = — .
Alors on aura f(g) = 0, f(j)= ^et*ct\ donc en substituant:
ou bien
fu>i— 1 -.✓[«✓(«* +««)-c*]
B. fi^r«,i.»W«/»,rti™»,(5li.),/'(^r)>^(ïir)> « algébriques des quantités tpa, fa, Fa.
Pour trouver les valeurs de 9>(j~-), /"(j^f)» F(£ï) enVtt>fu>Pu> il faut résoudre les équations
<to = . fa — yt^*. Pa= —
qui toutes sont du degré (2»-fl)*. Nous allons voir, qu'il est toujours possible, d'effectuer algébriquement cette résolution.
Soient
es) ^=|.f(" + srr)
et
où 0 est une racine imaginaire quelconque de l'équation — 1=0. Cela posé, je dis que les deux quantités
V/?.V'i/? et (y/*)*~H + (V,/*)***', pourront être exprimées rationnellement eu a>(2n-f-l)^ D'abord en écrivant </,/î comme suit:
on voit que q»^f peut s'exprimer rationnellement en tp(l. Soit donc y,/? = . x(w*)> on a de même :
•.(>±KM»('±i£)]
ou bien, en faisant <f>fi = x:
'GSrMfinr)="(25r)-*
et en substituant pour /Jî et leurs valeurs >^(1— c2**) et V(l -f- e*x*) : / Iu*rf\ /«x±*V((l-e«*')(l+^«)]Y
or, x désignant une fonction rationnelle, le second membre de cette équation peut se mettre sous la forme
H,, ± »,> V((î — + «**')), où Rp et R'p sont des fonctions rationnelles de x. Donc on a
En substituant dans les expressions de et y,,?, il viendra:
Maintenant ^ et Jfy, étant des fonctions rationnelles de x, les quantités +» +*
27 W.RpCt £ W.R'p le sont également En élevant donc yfl et V'i£ à la
(tn -f- l)1*™' puissance, les deux quantités (y/S)*"*1 et (tf,/?)*"+l pourront se mettre sons la forme:
fo/J)-*^ « - -*V)<1 +«**'))>
/ et /' étant des fonctions rationnelles de x. En prenant la somme des valeurs de (Vfl),m+l et on aura
Donc la quantité (y{i)tn+1 -f- (Vi/?)***1 peut être exprimée rationnellement en x. Il en est de même du produit yp.vu1, comme on voit par les équations (70).
Donc on peut faire
â(x) et ;.,(*) désignant des fonctions rationnelles de x. Maintenant ces fonctions ont la propriété, de ne pas changer de valeur, lorsqu'on met à la place de x une autre racine quelconque de l'équation
d'abord la fonction ).(x). En remettant la valeur de x=q>(l, d'où I on tire, en mettant n 4- J*!L + au lieu de tf:
Cela posé, en remarquant que
72) £my(m+k) = £ v,(m)-{-27i-.(v(m+») — 1)), on aura, en faisant dans l'expression de yj, (i = (l-\- :
En mettant dans l'expression de vA /* + + au Ueu de fi» on
or en vertu de (73) on a En vertu de (72) on à
- • ?I (fi + g£) +
-.yl(^+^-w-l)g'>
donc, en remarquant que 8"+0~*' = O^-"-1-*' et
De la même manière ou trouvera aussi Ces deux équations donneront
Eo vertu de ces équations ou obtiendra, en mettant dans les valeurs de Àfofl et £+*|t?^aulieude<*,
ai(^=a/[,(^+^|^)].
Or,y(/> -f C-) exprime une racine quelconque de l'équation
Donc comme nous avons dit, les fonctions X(x) et A,(;r) auront les munies valeurs, quelle que soit la racine qu'on met à la place de x. Soient donc x0, xlt x% . . . x%¥ ces racines, on aura
1 {x) = dr + *(*!> + ••• + *
Or le second membre de ces équations est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation ç(2»+l)/?=: -£±L, donc A(*) et A/*) poor-
ront s'exprimer rationnellement en g:(2» -f- 1)^. En faisant
l(x) = B,li(x) = 2A, les équations v71) donneront
d'où l'on tire
Ayant trouvé la valeur de on en déduira facilement celle de 9,/?.
En effet, en prenant pour 0 successivement toutes les racines imaginaires de l'équation 0,n+1 — 1=0, et désignant les valeurs correspondantes de A et B par Att Bt, A%, Bt etc., on obtiendra:
VU + ViA\- *••*■)) = +
VU + - = . 9t (a +
V{A\*~ BX?>))= Xfr. fi (0 + g£)
De même on connaît la somme des racines:
qui est égale à (2n-f~ connue nous le verrons dans la suite.
En ajoutant ces équations membre à membre, après avoir multipié la première par 0;*, la seconde par 0^*, la troisième par fi-* . . . et la (2»)'*"e par 0jk„ il
= (2«+ 1) .y(2»+ W + ï^/VVr + V^ - V*1»;
se réduit à zéro pour toutes les valeurs de À", excepté pour k = //. Dans ce cas elle devient égale à 2»+ 1. Donc le premier membre de l'équation précédente devient
donc, en substituant et divisant par (2n+l), on à:
• • • + •iify*.. + KML - as*1»)
Pour k=0, on a:
Ayant ainsi trouvé la valeur de ?>,/?, il s'agit d'en tirer celle de q>{i. Or cela peut se faire aisément comme snit: Soit
De là sait qu'on peut faire
V,tfi = r + f(l.Fl1.s; ys<f = r — ffi.F^.s, où r et # sont des fonctions rationnelles de <p(t. De lu on tire
V%fi-V>,P = X {<?(*),
x{(f ft) et Xi (<pP) étant deux fonctions rationnelles de (pp.
Cela posé, je dis que xivP) et xA?P) pourront s'exprimer rationnellement en ç>,/?.
On a vu que
En faisant ç>/î == x, on aura une équation en x du degré Une racine
de cette équation est x = y/î; or, en mettant /? -J-^— ^ au lieu de /?, 9^ ne
change pas de valeur, dbnc x = tf (ji -f- ^~Ç) sera une racine, quel que soit le nombre entier A. Or, en donnant à k toutes les valeurs entières de — n jusqu'à" -f- », y + prendra Sn-fl valeurs difiérentes, donc ces 2»-{-i quantités seront précisément les £» -f- 1 racines de l'équation en x.
Cela posé, en mettant /? + ~~ au lieu de ti dans l'expression de yjt, il viendra en vertu de (72) :
^+£,)=l--t>('+^) = rvw» + i.*-*-*.» (/» +
— jîi-.).
donc en ayant attention, que ô-+»-|'==:$—-i-* et y -f- = 9 (i* -f- -^Tf^)» n en résultera
De même on aura
On voit en vertu de ces relations, que les équations qui donnent les valeurs des fonctions %{tpP) et X,(<pfl, conduisent à ces deux égalités:
* M' + fiTi)] =
De là on tire
