W> = KT. •!.■*[»(<•+ S

*™=râ-f.-*l>('+ra)]-

Or, ces valeurs de *(y/î) et ^(qp/î) sont des fonctions rationnelles et symétriques de toutes les racines de l'équation (80). Donc elles peuvent être exprimées rationnellement par les coefficiens de la même équation, c'est-à-dire rationnellement en <p$.

Soit xm = D,Xim = iC, •

les équations (79) donneront

d'où, en remettant la valeur de y«0:

82) Y(C + Vl* — i^)) = £jr. +

De là on tire, en mettant 0M au lieu de 9, et désignant les valeurs correspondantes de C et D par Ch et D^ -.

En y joignant l'équation

on en tirera facilement

w) (fa+i).ç (> + i£) = ^ + .Vk + K(c? - />r*))-

En supposant Ar = 0, il viendra:

84) ^=^0 xii+J{Cl+V{C\-l>\+ ')) + • • Hyk+^rW)}

Cette équation donne <pp en fonction algébrique de ç>,/?, or précédemment nous avons trouvé q>t(i en fonction algébrique de <p(2»+ l)/î. Donc en mettant

~L- au lieu de /?, on aura <f> (j^j-) e» fonction algébrique de <pa.

Par une analyse toute semblable on trouvera fÇ^+i ) en ^° et

Les valeurs, que nous venons de trouver des quantités qp,/? et <pP, la première eu ç(2n-f-i)/? et la seconde en y,/?, contiennent chacune la somme de In radicaux différentes du (2n+ l)*™e degré. 11 en résultera pour q>fi, y,/? ... un nombre (gra-f-l)1" de valeurs, tandisque chacune de ces quantités est la racine d'une équation du (2» -f- 1)*™** degré. Or on peut donner aux expressions de (pfi et 9,/? une telle forme, que le nombre des valeurs de ces quantités soit précisément égal à 2»+l.

Pour cela soit

9 = cou -^- + i8in-^-,

on peut faire

o, = e, 9t = 0«, 0, = 8»...9,. = 0-. Soient de même

on aura en vertu de (74)

Soit maintenant 86)

P(<p(i) et Q(<p0) seront des fonctions rationnelles de <p(î; or, en mettant |S f- an lien de /?, il est clair en vertu des formules précédentes,

Àfi -+" 1

que P et ne changent pas de valeurs; donc on aura

or, le second membre étant une fonction symétrique et rationnelle des racines

de l'équation ç>(2«-f~ = ^"PP) pourra s'exprimer rationnellement en

(f (2n -f- 1)^. Il en est de même de Connaissant ces deux quantités,

les équations (86) donneront

or

(^)«-+» = ^, + KMî— /?;-+«),

où Ft et J5T4 sont des fonctions rationnelles de y(2»-{-l),l En remplaçant Ax et Bl par i et 5 et substituant les valeurs de et viendra:

donc la valeur de y,/? deviendra:

87) 9l/J = 9(to + l)1*+ 2n^f- ((J+KMt-*,"+,))£^

-}- (F,+ tf.KM* — + V{A* — JJ*"**))^

Par un procédé tout semblable on trouvera