C. Sur l'équation P,^.,z
L'expression que nous venons de trouver pour y (j^j) contiendra, comme
nous avons vu, les deux quantités constantes q> ( jj—p) ct Ç> ("j^y)' ^n trouvera ces quantités en résolvant l'équation
dont les racines seront représentées par
89) x = cf(""J±»ai\
tn+l P
où m et ft pourront être tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à + »• Une de ces racines, qui répond à m=0, est égale à zéro. Doue />,,+, est divisible par x. En écartant ce facteur, on aura une équation 90) 11 = 0, du degré (2*+ 1)*— 1.
En faisant x* = r, l'équation ft=0, en r, sera du degré C***^)*-1 = 2.»(/i-fl), et les racines de cette équation seront
M) . ,,.(-ge-),
fi et m ayant toutes les valeurs positives, au dessous do », en faisant abstraction de la racine zéro.
Nous allons voir maintenant, comment on peut ramener la résolution de l'équation « = 0 à celle de deux équations, l'une du degré « et l'autre du degré 2» +2.
D'abord, je dis, qu'on peut représenter toutes les valeurs de r par
en donnant à /i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2», et à m toutes celtes depuis 1 jusqu'à ».
En effet g>* (^T-Tl') rePr*sente d'abord 011 nombre » de valeurs de r; or les autres peuvent être représentées par <p* (ji . — Soit, pour le démontrer, m/* = (2»-f l)*-f m', où m' est un nombre entier compris entre les limites — « et -f- ». En substituant, on aura
v("-JEr)=»,(*- + T5!=i) Œ,.(-£5-) = f.(~ï->
y* (/i . ) est donc une valeur de r; maintenant à chaque valeur de »»,
répond une valeur différente de m'. Car si l'on avait
»Vi = (2» +1 )*, + »',
il s'en suivrait
(m — mj/i = (2n-{~i) . (k — kj, ce qui est impossible, en remarquant que 2» -f- 1 est un nombre premier. Donc
(f*Qt • W^°/) combiné avec y»( ) représente toutes les valeurs de r.
Cela posé, soit
<»>['-'-(^)] •••['-«■ Grâ)]
Les quantités pw J»t, ■ • -/»— 1, seront des fondions rationnelles et symétriques
de G^î)' 9'*(^ïï) ' ,9)a(^^); orces "fonctioils peuvent être trouvées au moyen d'une équation du degré 2» -\-2.
Soit une fonction rationnelle et symétrique quelconque de
** (sa)» *tG^)--,»*(sa)' où w' dé8igne la iuantité
Par les formules que nous avons données plus haut pour exprimer <p{nfl) en ç>/î, il est clair qu'on peut exprimer q>% (wi'.Jîl) en fonction rationnelle deç>'(— j). Donc on peut faire
0 désignant une fonction symétrique et rationnelle. En mettant va' au lieu de il viendra
«.,, = (2/*-f-l). + où A. est entier et compris entre — » et -f- », la série
aura au signe près les mêmes ternies que celle-ci:
donc il est clair, que le second membre de l'équation (95) aura la même valeur que p. Donc:
qui en faisant w' = w et w' = mw-f ot, donnera ces deux-ci:
i'Maîi)]-^»*^)]'
ou bien, en faisant, pour abréger,
il viendra:
99) y • r, = tf>rl ; yr,,. = yr,,».
Cela posé, soit
Je dis, qu'on peut exprimer les coefficiens q0, qx etc. rationnellement en e et c.
D'abord en vertu des formules connues on peut exprimer rationnellement ces coefficiens en tt, tt . . . ttH, si l'on fait, pour abréger,
101) /*=(vrl)* + (^r1(/+(Vrm)*+ . . . +(>;•,,,„)*.
Il s'agit donc de trouver les quantités iltt%t or cela se pourra aisément au moyen des relations (99). En effet, en y faisant successivement v = 1, 2 . . . «, après avoir élevé les des deux membres à la tirera sur le champ:
Donc en mettant pour m tous les nombres entiers 0, 1, . . . 2», et stituant dans l'expression de tk, il viendra:
1n.tk= (yr,)* + {WJ> + ...+ (*rf + foO* + (V'^o)* + • • • + < W>* + (^I(l)4 + (^1)* + ...+ (VT.(l)* + 4- (^,.,J*+(vMJfc+ • • • +(^,Jfc-
Cette valeur de /fc est, comme on voit, une fonction rationnelle et symétrique des n{2n-\-S) quantités rï, r%, . . . rH, r1(0, r4)0, . . . rn0 . . . rt tu, r, ». ...r-,.», q«i sont les n(2« + 2) racines de l'équation ft=0. Donc comme on sait, tk pourra s'exprimer rationnellement par les coefficiens de cette équation, et par suite en fonction rationnelle de e et r. Ayant ainsi trouvé les quatités /*, on en tire les valeurs de q0. f,,..?,.*!, qu« seront également des fonctions rationnelles de e et r.
Cela posé, en supposant
104) 0 = ?o+9l ./>+ 9t.p*+ • • • +7.-+. .J»**1 + J»W» on aura une équation du (2* + 2)*"' degré, dont les racines seront
La fonction ipr,, c'est-à-dire, une fonction quelconque rationnelle et symétrique des racines r, , r„, r,,...r„ pourra donc être trouvée au moyen d'une équation du degré 2w-f-2.
Donc on aura de cette manière les coefficiens p0, /»,,.. -pm-i, en résolvant on nombre n d'équations, chacune du (2n-f-2)*"< degTé.
Ayant déterminé p0, pl . . ., on aura, en résolvant l'équation 105) o = p0 + /v-f ...-f-^.r-'-f r",
la valeur des quantités
'"l* • ' ' *"■» ''irO» '"««O» • * • *"",0> > » • • ■ *'C"
dont la première est égale a <f *( " ). Donc la détermination de cette qoan-
tité, ou bien la résolution de l'équation R = 0, qui est du degré (2»-|-2).m, est réduite à celle d'équations du degré (2w-{-2) et n.
Mais on peut encore simplifier le procédé précédent En effet, comme nous le verrons, pour avoir les quantités p0, pt . .., il suffit de connaître l'une quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres rationnellement par celle-là.
Soient généralement />, q deux fonctions rationnelles et symétriques des quantités r,, r„ . . . ru, on peut faire, comme nous l'avons vu,
p = yr1; q = %r„
V'r, et Qrt désignant deux fonctions rationnelles de r(, qui ont cette propriété de rester les mêmes, si l'on change r( en une autre quelconque des quantités
ri » rt> • ' • r"'
Supposons maintenant:
K + (VI(„)*-0r1(O +(yrlfl)*.0r1(, + . . . + (Vr,,,.)4- «r,,,., je dis que sk pourra être exprimé rationnellement en e et c.
En effet, on a
(yrf . 6r, = (yr,)* . Or, = I ((yr/ . Or, -j- (yr,)* . Or, + . . . + {yrjf . Or.),
(vr^'Or.^^nr^
En faisant m=0, 1, 2, . . . 2^^ et substituant dans l'expression de **, on verra que sh sera une fonction rationnelle et symétrique des racines rfl, r, , ...r|(0 etc., etc. de l'équation lt=0; donc sk pourra s'exprimer rationnellement en e et r.
Connaisant sk, on obtiendra, en faisant k=0. 1, 2, . . . 2n, 2n-)-l équations, desquelles on tirera aisément la valeur de 0r„ en fonction rationnelle de
ytr. Donc, une fonction de la forme p étant donnée, on peut exprimer une antre fonction quelconque de la même forme en fonction rationnelle de p. Donc, comme nous l'avons dit, on peut exprimer les coeflîciens p0, />,,...;>, rationnellement par l'un quelconque d'entre eux. Donc enfin, pour en avoir les valeurs, il suffit de résoudre une seule équation du degré 2«-f-2, et par conséquent, pour avoir les racines de l'équation /2 = 0, il suffit de résoudre une équation du degré 2n-f-2, et 2«-}-2 équations du degré n.
Maintenant, parmi les équations, dont dépend la détermination des quantités <f (2w" t )> celles du degré n peuvent être résolues algébriquement. Le procédé par lequel nous allons effectuer cette résolution est entièrement semblable à celui, qui est dû à M. Ganss pour la résolution de l'équation
Soit proposée l'équation
106) 0=p9+pl.r+pri*+. . . + /^,.r~' +r-, dont les racines sont:
où w' a une des valeurs w, m© -\- ai. Désignons par a une des racines primitives du nombre 2«+l, c'est-à-dire, un nombre entier tel, que fi=2n-\-t est le nombre le plus petit qui rende «rf1 — 1 divisible par 2n-|-l, je dis, que les racines de l'équation (106) peuvent aussi être représentées par
107) çV). *'(«•<)> * V') • • • • 0, où t=»^.
Xn + 1
Soit
um = (2n+\)km±am, où k est entier et am entier, positif et moindre que « + je dis, que les termes de la série
!> a, » <*«»••• seront tous différents entre eux.
En effet, si l'on a
il en résulte,
on a- — af = (2a -f 1) (km — kj,
ou «- + «" = (2«-f 1) + A„).
Il faut donc que l'une des qualités «- — «.", «--f «.« soit divisible par 2«-f-l: or soit posé m>p, ce qui est permis, il faut que " — 1 ou u"--"-f- 1 soit divisible par £» + 1 : or cela est imposible, car m — ft csl moindre que n.
Donc les quantités 1, ai , a2 ... sont différentes entre elles, et par conséquent elles coincident, mais dans un ordre différent, avec les nombres 1, 2, 3, 4 ... w.
Donc, en remarquant que
, »/2[((2h+ i)f>\,±nmy] = v5(o»o-.
on voit que les quantités (107) sont les mêmes que celles-ci:
<r(<), . . . <f*(nt\
c'est-à-dire les racines de l'équation (106) c. q. f. d.
11 y a encore à remarquer, qu'ayant
on aura
et
Cela posé, soit 0 une racine imaginaire quelconque de l'équation
108) vW=»,W+ïV)!+ï,(«V)î'+... + »,(«^)f
En vertu de ce que nous avons vu précédemment, le second membre de cette équation peut être transformé en une fonction rationnelle de y*(0- Faisons
En mettant dans la première expression de «;{>), h"/ au lieu de /, il viendra;
q.-(r«-o = 7-,(«-') + v,(","+,0-o + v'(«-+,0.ea + • .. + 'lî('<""1f)'''""'"'+'/!V')'i" + '"+ï'(«'"t",')f'""' mais oous avons vu que </*(/("+-*) = T donc:
V(«-,) — ft— . f,{i) + î"^'.»,(«0 + !M+1-ï>,')+ • • •
En multipliant par 0", le second membre deviendra égal a y(*)> donc: HO) =•-"■?(').
y(,)=e-. *(**(«-*)), d'où, en élevant les deux membres à la «*"" puissance, on tire en vertu de la relation 0"" = 1 :
111) (tK*))" = [z(»t(«-0)>
Cette formule donne, en Taisant successivement m=0, 1, 2, S . . . * — 1, » équations, qui, ajoutées membres à membres donneront la suivante:
1 12) »r> w)H>(* W^f+blfV'rtN' • • • +[x(9,(«-l<))]" ;
or, le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des quatités • • • Ç*(«*,')> c'est-à-dire des racines de l'équation (106); donc (t/Jé)" peut être exprimé en fonction rationnelle de pùtpt par conséquent en fonction rationnelle de l'une quelconque de ces quantités. Soit v la valeur de (y(<))"> on aura
115) Yv = »*(*) + 6 . tp*{«f) + 0a . ç>*(o"') + • • + 0-1 • 9>*(a"",f)- Cela posé, soit 0 = cos — +isin — . Les racines imaginaires de l'équation 0" — 1 peuvent être représentées par
fil fi* A»-)
Donc en faisant successivement 0 égal à chacune de ces racines et désignant les valeurs correspondantes de v par vt, vt . . . il viendra
Kr, = q»»(#) + 0 . qp*(«0 + . . . + V» . «^(«"'O,
En combinant ces équations avec la suivante:
— ==9«(o+9»*(«0-f • • • -fV(«-H
on en tire aisément :
Hi) i <-/>-. + 9-.lA>, + rta.Vr»,+«-ta.
et pour w = 0:
115) A (-ju.,4- • • . + ^.).
Tontes les racines de l'équation (106) sont contenues dans la formule (115), mais puisque leur nombre n'est que », il reste encore à donner à a>"(é) une Tonne qui ne contienne pas des racines étrangères à la question. Or cela se fait aisément, comme suit
Soit
En posant ici ame au lieu de <, V rk se changera en 8~**.y'v*, et vt en (T*.t>,, donc *t se changera en
