C082OT ICI
183) Fa= cos (*.«*). . „-
Va 7 i" «in»
•in» -E-z." a
cos»(st—
E* substituant au lieu des cosinus et sinus d'arcs imaginaires leurs valeurs en quantités exponentielles, ces formules deviendront:
184) ,« = ^(^A-;»).jl..
« I . — >r jr
186) Fu = i(k»* + A"
où A est le nombre 2,718281 . . .
On peut encore transformer ces formules de la manière suivante: Si l'on remplace a par ai, on aura les valeurs de ?(«t), /"(«*)> ^(«Ocbangeant maintenant c en e et e en c, les quantités:
œ, o, 9(ai), A«»)> *V) se changeront respectivement en:
o, », tya, F«, /if, donc les formules précédentes donneront:
187) <p« = J±. sin ~.flm. '* " ~~k —
188) Fa=IIm
4«inl 1
- mon œo.A
Considérons maintenant les formules (160), (161), (162). On a:
V / nu (»j*+l)* 2 TV r' j*+(ii+i),w» A'+A-''
donc, en faisant
v /1Vu (V-n)g ^ !
ir'[«±(«+é)»]4 + ^+i)1°4 ° A[»i(^ + ^WHï
En vertu de cette formule il est aisé de voir que les expressions (153), (162) de çpa et Fa deviendront:
190) Va =
Les expressions précédentes de <pa, Fa, peuvent être mises encore sous beaucoup d'autres formes; je vais rappeller les plus remarquables. D'abord en réunissant les termes du second membre, on trouvera:
<«) t.=x.^.fHrto--n) G"*' ■ + f™» ') }
(A-i-+*~ + *^,>ï+*-<Ml)- ) 1») » g (*- + *")(,<»«> i- + ,-<•*>
Si, pour abréger, on suppose:
<r.T un
194) A« =e et A° =r»,
ces formules, en développant le second membre, deviendront: 19») (fa =
11 11' il
"*+*,+^+7i' r4+«*+^+^ r10+e*+-+; En mettant «i au lieu de « dans les formules (192), (193), changeant e en e et e en c, et remarquant que les quantités
se changeront respectivement en:
cf, w, ùp(a), fa, 2i.sina-^, 2cos« ~,
il viendra:
198) JL.jJ J " V& + * M
En faisant pour abréger
A. *. .!.(.*) j__jzi !1ZZ__4
, a , ^ p«°+Îcoi(«mc)+^5
J p*+2coB(a*) + — p» +2cos(<xr) + ^ p'o+Scoifaïc)*^
En substituant dans les formules (190), (191) au lien de À*» et A» leurs valeurs « et r, il viendra:
203) F«= 1 . 2L . l^ ^..,^, ^ + ,.r4lM..+*:i^,s=î)- En supposant maintenant a < y, on aura:
ça =
Or
etc., donc:
De la même manière on trouvera:
En mettant « -5. i au Heu de «, et changeant ensuite e en c et c en et
«, o, ? (« -" i)' r» «" + «* se changent en:
(*in(<x-£-) iiB(3*-£) 8in(ôa-£)
Ces quatre dernières formules offrent d'expressions très simples des fonctions q>a, fa, Fa. .Par les diifércntiations et intégrations on peut en déduire une foule d'autres plus ou moins remarquables.
Dans le cas, e = c, les formules précédentes prennent une forme plus simple, à cause de la relation a = o, qui a lieu dans ce cas. Soit pour plus de simplicité e = <r=l. On a:
ton n eur n
r = h™ = h1, Q = h^=h\ donc en substituant, et faisant dans (204), (205) o = «|, il vient:
ftJj RrrîT Sffff ffcrtjf ftrff
A~« a~»~— A~~*~ . hr—k~r
V *2/ * o \ * w 3* 3* ' 6n ftn
( A* — A » Aa A" * A* —A" « <p(a sin (a £).A 8in (s«3). jl^ Ws-jY »îL
Les fonctions y, f, F sont déterminées par les équations
u p* dx o f 1 dx
Si dans les deux dernières formules on fait « = 0, et qu'on remarque,
9 (a sin (mot y ) lors la valeur de — - — ^- est = —, et celle de — =m, on trouvera:
sta(«-J) .in(a-J) u „ ] h* h* , **" I /»> rfx
§. vin.
* '« fo^on 9 (i) *» fr fc c« où , = * = !. Application à la lemnûcate.
Dans le cinquième paragraphe nous avons traité l'équation Pm = 0f d'où dépend la détermination des fonctions V (*|) et ^ettc équation, prise
dans toute sa généralité, ne paraît guère résoluble algébriquement pour des valeurs quelconques de eet c; mais néanmoins il y a des cas particuliers, où on peut la résoudre complètement, et par suite obtenir des expressions algébriques des quantités ç> (ii) cty en fonctions de e et r. C'est ce qui
arrive toujours, si (p peut être exprimé rationnellement par <p j et des
quantités connues, ce qui a lieu pour une infinité de valeurs de ^ . Dans tous
ces cas l'équation Pn = 0 peut être résolue par une seule et même méthode uniforme, qui est applicable à une infinité d'autres équations de tous les degrés. J'exposerai cette méthode dans un mémoire séparé, et je me contenterai pour le moment à considérer le cas le plus simple, et qui résulte de la supposition e = c = 1 et m = 4* -}- 1. Dans ce cas on aura
208) j«=/o7a^où*=,ra' (/•«= K(i -<AX F«=Kd
De même
209) <jp(«0 = i.<pa,
ce qui se fait voir, en mettant xi au lieu de x. Cette formule donne ensuite:
210) f(ai) = Fa ; F(ai) = fa.
Les deux quantités e et c étant égales entre elles, il est clair qu'il en sera de même des deux quantités que nous avons désignées par co et o. En effet on aura
En posant dans les formules (10) /?» au lieu de /¥, on en tirera, en ayant égard aux équations (209) et (210):
sis) ^-Hw-^^t.y^.
l v ' ' ; 1— ç2<x.9*Él
Donc, pour trouver les fonctions ç, /*, F pour une valeur quelconque imaginaire de la variable, il suffira d'en connaître les valeurs pour des valeurs réelles.
En supposant « = m<5, /? = /i<ï, on voit que y(m -f- f(m -f- jii)d, F(m-r-/wi)d pourront être exprimés rationnellement par les six fonctions suivantes:
vM» /"H)»
/•(,«>), F(m<)), F(j,d), et par suite aussi par des fonctions rationnelles des trois fonctions <pà, fâ, Fd, si m et fi sont des nombres entiers.
En suivant ce développement, on voit également et sans peine que dans le cas, où «-{-/« est un nombre impair, on aura:
<f(m+f,i)d = <f(d).T, où T est une fonction rationnelle de (yd)*, (fd)*, (Fà)*, c'est-à-dire de fodj». Donc en faisant tfd = x, on aura
q (m -\- fti)â = x . «>(**)• En changeant d en <5t, gd se changera en y(di) = iq>(d) =^ i'.r, et la fonction <j(»i-|-/«)i en fy(w-f-/ji)<}; donc:
par conséquent on doit avoir y( — x1) — vC**) ; ce qui fe*1 vo'r 9,ue la fonction
tf^**) ne contient que des puissances de la forme x*m. Donc on aura
213) tf{m+ni)d=ix.T,
où 7 est une fonction rationnelle de x*.
Cherchons p. ex. l'expression de ç(2+fyï en x.
On a d'après les formules (212), en faisant « = 2d et fl = â:
(9 ■ fV 9*> •/» -F* + *P> -/M . **2S *l ' ; ï— [?(»)]* ".ç'ô
Or (10) donne:
„ « tyh.fb.Fh . ^ (/S)'-(çS)». (*•*)' . 1 + (9J)*
c'est-à-dire, en remarquant que yd=x, fâ—Y{i — x*) et Fô=V(l-\-x%
*«> = rfW- '-=£?^ W- •
Substituant ces valeurs et réduisant, il viendra :
llo) <f(2+t)ô-x 1=2xîT5ji ^-13(1-^- "
Expreêêion algébrique de ç ^iL^ .
On peut, comme on sait, décomposer le nombre 4* -|- 1 en deux carrés. Donc on peut supposer
Nous chercherons d'abord la valeur de <p (^W) ; car celle-ci étant trouvée,
on en tirera facilement la valeur de <p ( — — - ).
La somme des deux carrés «a et /î* étant impaire, l'un des nombres a et p sera pair et l'autre impair. Donc la somme « + /î est impaire. Donc en vertu de (213), on aura
216) <p(u + (ii)d=x.î,
où 7 et S sont des fonctions entières de x* = (<jpd)*.
En supposant d= le premier membre de (216) se réduit à zéro,
a+(Ji' r
et par conséquent x = tp (— sera une racine de l'équation 217) 7=0.
Donc on aura la valeur de ç> (^p) au moyen de la résolution de cette
D'abord on peut trouver toutes les racines de l'équation 7=0 à l'aide de la fonction ? de la manière suivante. Si 7=0, on doit avoir
y(a-f-0i)tf = O, d'où l'on tire, en vertu de (27):
(« -f (ii)d = m» + fiai = (m + jii>,
et de là
Dans cette expression sont conséqueinment contenues toutes les racines de l'équation T— 0. On les trouvera en donnant à m et ft toutes les valeurs entières depuis — oo jusqu'à -f- oo.
Or je dis que les valeurs de x qui sont différentes entre elles, peuvent
être représentées par la formule
où p a toutes les valeurs entières depuis — jusqu'à + 3l±^l.
Pour démontrer cela, soient A et V deux nombres entiers qui satisfont à l'équation indéterminée:
219) — «.À' = — 1; soit de plus t un nombre entier indéterminé, et faisons
220) A = ^ + '«. ** = — /il' — tfii on en déduira sans peine
et si l'on fait
Q = m + ak — p!?, on vérifiera aisément l'équation
De là on tire
,(-±lf k'wi) or suivant (22) le second membre se réduit à
»»)='-***-»(^)-»(Sb)-
l'expression de p deviendra, en y substituant les valeurs de &et**:
d'où l'on voit qu'on peut prendre * tel que la valeur de p, positive ou négative, soit inférieure à a ^p* . Donc etc.
Toutes les racines de l'équation T= 0 seront représentées par la formule (218'); or toutes ces racines sont différentes entre elles. En effet si l'on avait p. ex.
on aurait selon (31), (en remarquant que a = w)
pu
:-(l)^.-ÇL+(m+no*>,
d'où l'on tire: .
an-f- (Îto = 0; = (— 1)"»+- . p' -f- «m — /?«. La première de ces équations donne n = — fit; m = at, oh t est un entier indéterminé. En vertu dé ces relations, l'expression de p deviendrait:
d'où l'on tire
ce qui est impossible, en remarquant que p, p' sont tous deux inférieurs à Donc les racines différentes entre elles de l'équation 7=0 sont bre de ^P*-1 . u faut voir encore, si l'équation en question a des égales. En différentiant (216) on en tirera, en remarquant que dq>a=da.fa.Fa: (a + fit) /(« -f- F(a + ffîS. S + (^) . V(a + |î<)d
Si maintenant T, a des facteurs égaux, il faut que T et soient égaux à séro en même temps; donc l'équation précédente donnera
A« + PW- F(« + = o ;
or on a <p(a -f- /K)J = 0, donc /"(« + fit) Ô = ±1 — F(a -f- fiijâ, et par conséquent S = 0y
ce qui est impossible, car nous supposons, ce qui est permis, que T et S n'aient point de facteurs communs. Par la on voit que l'équation
est du degré a* -f- /S* — 1 par rapport à x, et aura pour racines les quantités :
En faisant x* = r, on aura une équation
du degré 1 = 2v, et dont les racines seront
220) ?'(2<î), ?*(3<J) . . . çJ(2w)), où pour abréger on a supposé d=— ^— .
Cela posé, on peut aisément résoudre l'équation R = 0, à l'aide de la méthode de M. Gauss.
Soit f une racine primitive de u* -f- ,5*, je dis qu'on peut exprimer les racines comme il suit:
221) 9>V<i) vV*) • • • vV-1-*)- En effet, en faisant
222) .- = ±«- + *(«B+/St),
ou a. est moindre que — ^-i— , on aura:
»(«"*) = 9 (± + '^P») = *(± + < («"M»), c'est-à-dire, en vertu de (22):
et par suite:
<p*{tmd) = 9a(a.<)).
Je dis maintenant que tous les nombres
KODt inégaux entre eux. En effet soit p. ex. am = aH> on aura
Des deux équations (222) et (223) on tire, en éliminant a»,
— — — = à un nombre entier.
Donc en multipliant par é-^ft"; on trouve que est entier, et
par suite ~ 1 , ce qui est impossible, car e est la racine primitive de
a* + /S* et 2m — 2» est moindre que «* -|- /5* — 1.
Dons les 2r nombres 1, o, etc. sont différents entre eux et par conséquent, pris dans un ordre différent, ils sont les mêmes que les suivants:
On voit par la formule y*(tmô) = q>*(amd), que les quantités (220) et (221) coïncident, mais dans un ordre différent
Maintenant on pourra réso udre l'équation R = 0 parfaitement de la même manière que l'équation (106).
On trouvera (116)
224) çV<J)=^- (+^+e--.w^+^-.^+...-f*1^,e^I>-.z;"^r),
où 0 est une racine imaginaire de l'équation 0l" — 1 = 0, et v, st, #, . . . seront déterminés par les expressions:
sk == ?*(&) + *' • 9*(*) + <" 9,(»a&)+ • • • +l( "M)t . 9»(«""' . S)
A = ?>*(<)) + ?»(«>) -f- ç Vd) + • • • + ? V~l<>)> qui par le procédé pag. 183, 184, 183 peuvent être exprimées rationnellement par les coefficiens de l'équation R = 0, qui seront de la forme A -J- Ai, où .4 et B sont des ' nombres rationnels. Donc la formule (224) donne l'expression algébrique de toutes les racines de l'équation R == 0, et par conséquent les valeurs des fonctions
Ayant trouvé par ce qui précède la valeur de y on en tirera
celle de la fonction
comme il suit
La valeur de tf (^^) donnera celle de 9>(^^) en changeant seulement
i en— t. De là on tire la valeur de tf (-^+ par la formule (10), savoir
\a + pi a— pi/
^ fm, , ^^^M'-K^)]+»(^)y['-K.^)]
mo . nm Zmau 8m au
a + p^a-p*- a»+0«— 4v + l5 donc on aura la valeur de la fonction
Maintenant pour avoir la valeur de tf (j^j) où n a une valeur déterminée
quelconque, il suffit de déterminer w et t de la manière que
n = 2ma — (4v + 1)/, ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux nombres 2a et 4*+ 1 sont premiers entre eux ; car alors on obtiendra
En posant p. ex. » = 1, on aura la valeur de tf
Le cas, où 4» -j- 1 a la forme 1 + 2", est le plus remarquable; car alors
l'expression de tf (^~-j)ne contient que des racines carrées. En effet on a
dans ce cas 2v = 2"~l, et par suite la formule (224) fait voir qu'on peut déduire 9>(eB4) de 0 et v en extrayant seulement des racines carrées. Or v est une fonction rationnelle de 0 et de V (— 1), et 0 est déterminée par l'équation
0* =1, d'où l'on tire 0 par des racines carrées; donc on trouve aussi v et la fonction
tes)-
Connaissant de cette manière tf on aura de même tp (^p)et *e
là, par la formule (226) la valeur de ip (^L)=v(^) , «n extrayant des
Un autre cas, où la valeur de ç> peut être déterminée par des racines carrées est celui où n est une puissance de 2, comme nous l'avons vu No. 13. Donc on connaît les fonctions:
où dans la dernière 1 + 2" est un nombre premier.
Soient maintenant 1 2*, 1 + 2"1, 1 -f 2"*, . . . 1 -f 2"^ plusieurs nombres premiers, on connaît les fonctions:
et de là la fonction:
où m' est un nombre entier, qui, à cause des indéterminés m, mlt m,, ...m,, peut avoir une valeur quelconque. Ou peut donc établir le théorème suivant:
"La valeur de la fonction tp (™) peut être exprimée par des racines carrées
"toutes les fois que n est un nombre do la forme 2" ou 1 + 2", le dernier "nombre étant premier, ou même un produit de plusieurs nombres de ces deux
En appliquant ce qui précède à la énoncé No. 22.
Soit l'arc AM= a, la corde AM—x et l'angle MAP—% on aura
En effet, l'équation polaire de la lemniscate est
