IX
Utage de» fonction» tf, /, F dan» la transformation de» fonction» elliptique».
M. Legendre a fait voir dans ses exercices de cale, int, comment l'inté-
^/✓O-tw»)' CD fai8ant sin* = *> sc «
— — -— — — , peut être transformée en d'autres intésrrales de la même
forme, avec un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette théorie par le théorème suivant:
Si l'on désigne par a la quantité (» + l^+0plO»«' , °u an moins l'un des deux nombres entiers m et /* est premier avec 2n+ 1, on aura:
où
(9»«-x«) (ç»ta-x«) . . ■ (9»«»-*«)
|.7"-£ Wî + ■)■» (t + *■)••• » (ï + «•)]*.
fc-tfKM-Kf +*)••■ '(*+-)]•.
a = /fax* . g?2a . (fia . . . ynaj*, f étant une indéterminée, de sorte qu'il n'existe qu'une seule relation entre les
Les quantités e* ct c* pourront être positives ou négatives. Par ce théorème ou peut trouver une infinité de transformations différentes entre elles et de celles de M. Legendre.
Soient met/i deux nombres entiers, et faisons pour abréger:
où Ton suppose que l'un des deux nombres m, fi soit premier avec 2» -f- 1. En désignant par 0 une quantité quelconque, il viendra, en vertu de (22)
229) 9,[0+(2« + l)o]=y0. En mettant 0 — na au lieu de 9, on obtiendra:
230) <y(0-f (» + l)o) = 9(9 — na).
Cela posé, considérons l'expression suivante
231) yi(0)=y(0) + v(ô + «)-f-(f(0+2«)4-...+ v(9+»«)-f...+ç(0+2»o).
En mettant ô+« au lieu de 0, il viendra à cause de l'équation (229):
232) ç,(0+«)=Tl(0), donc si m désigne un nombre entier quelconque:
En vertu de l'équation (230) on peut écrire l'expression de y,(0), il suit:
• ••+9>(9+»«)+9(9 — ««), c'est-à-dire, en vertu de la formule
W-T-*«) + — *«) — i+e.c»(çO)«[ç(va-)îr' 25a) .,(.)
l+«*e*ç*(x.9«0 ' 1 + e«c*ç*2a.<p«« * " ' 1 +**cV»»-Ç*« ' En Taisant ç>0 = ar, ç>,(0) «devient une fonction rationnelle de x. En la désignant par y{x\ on aura:
Maintenant soit « une quantité quelconque, je dis qu'on aura
' ç,t (ï + «''tya.f »j (l + .Vç'îa .î») . . . (1 + M.xi)
En effet il est clair que la fonction
238) 11 = (l — - *L) (l +eV9,„.*î) . . . (l-fc'c>V.*«)
sera entière et du degré 2» -J- 1 ; mais en faisant x=<pr, yx deviendras?,;, et par suite R se réduira à zéro pour cette valeur de x. De même en faisant x = <f(e -J- ma), où m est entier, on aura — ?,('-}- »»a); c'est à dire, en vertu de (233), yx=q>1i. Donc 1 — ^f- = 0, et par conséquent ;r=y(«-f-wi«)
sera une racine de l'équation R = 0, quel que soit le nombre entier s». Or généralement toutes les quantités
sont différentes entre elles. En effet si l'on avait
<p(« + «'«)== q, («+/*'«), il en suivrait en vertu de (31)
* + m>a = (— . {e + + *<» + A'oi,
d'où
* -f- A* = Zfc,
k =ff + * =
(m'— /<')cc= (*»-}- /)<u +(*• — /)««.
De là, en substituant la valeur de «= (w + + (" ~ tt)p' , on tire
(m- -r /*') (m + //) = (£« + 1) (A« + 0. (»' - „•) (m - fi) = (2« + 1) (A- - /)
et
équation contradictoire, pareeque nous avons supposé que l'on des deux nombres m et /* soit premier avec 2» -f" 1, et m' — n' est toujours moindre que 2» + 1. Maintenant les 2» -f 1 quantités (239) étant différentes entre elles, elles sont précisément les 2» + 1 racines de l'équation R = 0. Donc on a
où y< est un coefficient constant, qu'on trouvera en attribuant à x une valeur particulière; p. ex. en faisant * = 0, on a *=j<; or l'équation (238) donne pour x = 0: 71= 1, donc A = 1, et par conséquent l'équation (237) a lieu. En multipliant cette équation par <ps et faisant ensuite « = 0, il viendra:
241 ) «(*) = 9-r V— - ya V 9— - V 92wg ,
' WK ' 9 (l+,V9'a.x')...(U<¥?%.iV
où g est la valeur de ^ pour ê = 0. En faisant 0 = 0, après avoir divisé
par ç9, on trouve l'expression suivante de cette constante: 242) g = 1 + 2fa . Fu + 2/2« . *S<» + . . . + 2/»« . En faisant dans (230) 0 = tut — (;»' -f- 1)«, on trouve (f {înn — m'a) — y( — (m'-j- l)a) = — y(«'-f~ Dune on peut écrire l'expression de yx comme il suit:
'lit) * , - , x V 9*«A — \ 9*n*J
' ^* — 9'*- (|+e«e«ç*a.xa) (l+«*e«ç*îa.x«)...(l+e«c»p«»a.*»)
Maintenant faisons dans l'expression de 1 — ^i.,f = ^.. En supposant pour abréger
244) p = (1 +e,cV«-**) (l + e^Vlte.*1) ... (1 +e%c%<fna.x% on aura
or, en faisant dans (230.)
on a
en vertu de la formule (voy. 17.):
il viendra:
Cette équation fait voir qu'on peut écrire l'expression de 1 ^
il suit: 9l
=<i-",ii-^)i>-^)r i-^r
En mettant — ar au lieu de -{-.r, on aura semblablement
Donc si l'on fait
ou * est indéterminé, et
on aur.'i:
249) l riy = (l— «r).£; 1 +f,y = (l +
De la même manière, en faisant
et
on trouvera ces deux équations:
252) lTv'y^l— ei*).^; l±P1iy=(l-r-«rfx).*-.
Les équations (249) et (252) donneront:
(1 - cV)=d - cV). ™f ; (1 + *y )=(1 +«V)4J et par conséquent:
Maintenant l'expression de y donne </y = — . «fer, où P sera une fonction tière de * du degré An, donc:
rfy , P ds
✓[(i-«-?3ra)(i+'?jr*)] x ' ✓[(i-c»x«Xl+««^)] ' Or je dis que la fonction se réduira à une quantité constante. En effet on a
en différcntiant, et mettant pour tly sa valeur Pdf.f ou aura
'-ih-<»-«)(«*£-'S)]-
On voit de là que /» est divisible par De la même manière on prouvera que P est divisible par les trois fonctions f„ *, sv Donc si deux quelconques des quatre fonctions t, tA, s, st n'ont point de facteur commun, P sera par leur produit. Or c'est ce qu'on peut voir aisément à l'aide des
expressions de ces fonctions. Donc — est une fonction entière de x. Or
/* est du degré An; et chacune des fonctions t, tlt s, *, est du degré n. Donc il est prouvé, que - est une quantité constante. En la désignant par a,
dy , ds
Pour déterminer a il suffît d'attribuer à x uue valeur particulière. En faisant p. ex. x=o, on aura
Or en différentiant l'expression de yjr, et faisant ensuite x^=o, il viendra y'x = g, donc
On peut donner d'autres formes plus simples aux expressions de cv ev g, a, et qui mettront en évidence plusieurs propriétés remarquables de ces quantités. Par la formule (210) on voit que le coefficient de x*"*1 dans la fonction
R eBt ^ — . -, or d'après (238.) et (243.) le même coefficient
çe.ç(«+a)...ç(«+2nac)' r \ / \ /
ç,» (ça.çîa .. . çna)*'
donc en remarquant que A = \:
En faisant dans (23a), (243.) x= J, après avoir divisé par xt on obtien-
dra deux valeurs de savoir
1 et
(ec)*"(ça.çîa...çji«)4' donc, en les égalant:
et par conséquent:
257) qp, (*)= (ec)*" (g>« . y2« .. . <pt«) 'y* . <f(s -f- «) . ç(«-f ta) . . . ç>(« -f- 2it«)
=»<») + V<*+«)+<K»+««> + • • • +¥(•+«««>. Cette équation exprime une propriété remarquable de la fonction qp. En y po-
sant f = ~- et f = — t, on obtiendra 2 2
* (ïOHÊr = <ec>b-^ (f > » (y<+«) • ■ • » (î< + *•«)»
où l'on a fait pour abréger
259) d= ya. ç>2« . qpSa . . . tpna.
En
260) Wi1»/;
on tire de ces équations
Multipliant et remarquant qu'on a (18)
on obtiendra * J=!p££,
^Cle, («)***-«
doù
262) Vl = qF(^i^.
De même en divisant on obtiendra:
Précédemment nons avons trouvé a = k.gt et y = ( — 1)". (ee)*\)*, donc
Egalement nous avons y = *.u>(x), donc en vertu de (243)
(9*g— j») (ç*2a— *a) (?»8a— *') . . • (9»wa— *»)
(l+»»e»ç«a.»«) (l+«*c»9»*«-**) • • • (l+e'eV"*-»*) Donc les valeurs précédentes de ci , ex , a et y donneront :
et de là
267) fi/Ki-c'J) = ±*yv'[(i-««x«)(i+.«x«)] '
Les formules (261) donnent les valeurs des quantités c, et exprimées en c et e à l'aide de la fonction q>. Or on pent aussi les déterminer à l'aide d'une équation algébrique. En effet on a
donc il est clair que les valeurs de ct et el pourront tMre exprimées en fonctions rationnelles et symétriques des quantités ça, ç ta, . . . <pna. Donc si 2» + 1 est un nombre premier, on peut, en vertu de ce qu'on a vu §. V., déterminer cl et e, à l'aide d'une équation algébrique du (2« -f- 2)"" degré. On peut encore démontrer que la même chose aura lieu dans le cas où 2n-\-t est un nombre composé. Alors on peut même déterminer r, et ex l'aide d'une équation d'un degré moindre que 2w + 2.
Donc on aura un certain nombre de transformations correspondantes pour chaque valeur de 2« + 1.
On a supposé dans ce qui précède que e et c soient des quantités réelles et positives; mais ayant exprimé r, et ex en e et c par des équations algébriques, il est clair que la formule (266) aura lieu également en donnant à e et c des valeurs réelles et imaginaires quelconques. Dans le cas où e*, c' sont réelles, on peut même se servir des expressions (261), (26;>). Mais alors m et © ne seront pas toujours des quantités réelles. Au reste l'une des quantités c, et elt à cause de l'indéterminée f, peut être prise à volouté; seulement il faut excepter les valeurs zéro et l'infini.
Si l'on suppose c et e réels et 2n -f- 1 premier, les valeurs de ct et e, seront imaginaires, excepté deux d'entre elles, dont l'nne répond à
et l'autre à
«= îazL.
A. Supposons d'abord
Dans ce cas on aura (261):
^=7 • Kï Hï + 2- **ï) • • • » (ï + r„+ï)J •
Soit f,.2m = (2n+l)t±am, où t est entier et am entier positif, et que -j-> on aura
Or les nombres <ït, a, ... a* seront les munies que les suivants 1, 2, 3, ...«; mais dans un ordre différent; donc l'expression de ~ pourra être mise sous la forme.
De même l'équation (265) donnera
s») a = t (- .,- . i . m-^- -î-XiAi • t) ï)]'.
Soit maintenant r = 1, c,=:i, on aura, en posant ^ ( — 1)" = 1 :
«»> '.-<~"-Mfib- ïM^r,- *)■■••(££■ r)]*-
270> /t.K,-y,H,^,.,]=±"/7l(.-^Tc^')] + CoMt
Si l'on suppose e moindre que l'unité ou égale à l'unité, e, sera toujours moindre que e, et lorsque 2» + 1 est un très grand nombre, sera extrêmement petit
Le signe du second membre de l'équation (270) dépend de la grandeur de x.
Il pourra être jugé aisément comme il sait. On a par ce qui précède
En supposant x réel, ç* sera toujours fini et positif, de même que l/"(l-f<î*y*) et Y{1 + «*<**)• Donc le signe du second membre de l'équation est le même que celui de la quantité
donc
donc, en remarquant que a est réel dans le cas que nous considérons, on voit que s.sx sera toujours une quantité positive; or t.t1 est réel, donc la quantité
VOïE^î) scra P°s'tive également, et par conséquent le signe, dont il s'agit,
sera le même, que celui de la quantité ttt. 11 n'est pas difficile de voir qu'en
vertu de (248) et en mettant pour « sa valeur on
( ',t;rî)M ^K^ri ïV { ''U- y)'
quantité qui est positive depuis x = 0 jusqu'à x = y (j^-j • y)> négative depuis (^1^. £) jusqu'à x — tp (s±. positive depuis
a?=9>(-^— . y) ju8îa a x = 9 — j • etc. Si * est plus grand que
l'unité, ttl aura toujours le même signe, savoir ( — 1)".
Donc, dans ce cas l'équation (270) donnera, en intégrant et commençant • l'intégrale par x — 1 :
27*) f, v/[(ja-l)(l+*?**)] = <r'./! v'[(*«-lXl+«,*,)]' Si la valeur de x est moindre que l'unité, on aura
entre les limites et
276) — f dy = a f rfj" U ConsL
entre les limites ±) i).
Si p. ex. on suppose * renfermé entre les limites
-*(shï' ï)et+v(â^Tï l) on aura, en intégrant et commençant l'intégrale par x = 0,
^ / ✓[(ï-*»Ki^:"f*)i=B,yi ✓[(i-^>
En faisant x=<p ((aw"ï} 2)> aura y = (—1)", et par suite:
y»1 ao , jy,
o ✓t(t-f«)(l-Hrîf«)] «(*• + !) ^ '*
d'où
»s) (-'>-«=4^/Vk.^h.~:^
Cette expression de a est très commode pour le calcul. En négligeant les quantités de l'ordre e*, on obtiendra
En substituant et négligeant toujours e* la formule (277) donnera
y à* (-!)•*» arc 8in
ly = (£«+l)Jî.*
fl. Dans le cas « = ^!^, on trouvera de la même manière la formule
suivante où
"Kiir ïf)-9(*^ï*.l')*(iîTï" !')-"*(i£r y*)]4
La formule précédente a lieu pour tontes les valeurs de x que l'unité.
Pour avoir une théorie complète de la transformation des fonctions elliptiques, il faudrait connaître toutes les transformations possibles; or je suis parvenu à démontrer, qu'on les obtient toutes en combinant celle de M. Legendre avec celles, contenues dans la formule ci-dessus, même en cherchant la relation la plus générale entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques.
Ce théorème dont les conséquences embrassent presque toute la théorie des fonctions elliptiques, m'a conduit à un très grand nombre de belles propriétés de ces fonctions.
Sur l'intégration de l'équation téparée
ds dx
