V-tU-y'Ml+Wr1)]-0' ✓[(l-*«)<l+|ur

On peut toujours comme on sait présenter l'intégrale complète de cette équation sous une forme algébrique, lorsque la quantité constante a est uu nombre rationnel, quelle que soit d'ailleurs la valeur réelle ou imaginaire de Mais si a n'est pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet égard je suis parvenu aux théorèmes suivants:

Théorème I. En supposant a réel, et l'équation intégrable algébriquement, il faut nécessairement que a soit un nombre rationnel.

Théorème 1 1. En supposant a imaginaire, et l'équation intégrable algébriquement, il faut nécessairement que « soit do la forme m±V— où m et n sout des nombres rationnels. Dans ce cas la quantité ft n'est pas arbitraire; il faut qu'elle satisfasse à une équation qui a une infinité de racines réelles et imaginaires. Chaque valeur de /t satisfait à la question.

La Démonstration de ce» théorèmes fait partie d'une théorie très étendue des fonctions elliptiques, dont je m'occupe actuellement, et qui paraîtra aussitôt qu'il me sera possible. Je me borne ici à considérer un cas particulier, qu'on peut tirer des formules du paragraphe précédent.

Si dans la formule (270) on pose

et eyi à la place de y, il viendra

oao\ "S „\f 1

e est déterminé par l'équation (269') qui deviendra et a par

Donc on connaît une intégrale particulière de l'équation (282) et par séquent on en pourra trouver l'intégrale complète.

Dans le cas que nous considérons, la valeur de a est \f(2n-\-l); ce qu'on démontrera aisément comme il suit:

En mettant dans l'équation (282) y=. zY — 1> et intégrant entre les limites zéro et tp ( > H viendra

2~J0 ✓[(l+»«) (1-*V')]~ '4» + 2' en remarquant que les limites de z seront zéro et 1 • En faisant de même

x—zV— 1, et intégrant entre les limites zéro et on trouvera que les limites de y seront zéro et l'unité et par conséquent

fl ^ » f' * «

Jo V/[(l-J1)(l+«V)] « Jo /[(l+»')(t-« *«*)] •*'

Donc on a