cy

d'où l'on Ure

Donc l'équation différentielle deviendra:

Pour donner un exemple, considérons le cas où n = 1 et n = 2. ^1 Si »= 1, on aura:

dS i/s ^

« est déterminé par l'équation:

On si

/0\ /o «\ /u\ '(y) VT^'Ct)]

donc

e'1+-v(ï) 1+-Kt)' '(*) ,

Maintenant on trouvera en combinant ces équations et remettant pour a sa valeur V^-

ks=,.,.-(;-).

donc **(y)=£et par suite l=ï=^ delà ^ — 2^3.^=1

et ,-=K3 + 2.

Ayant trouvé r, on aura

Donc on aura I équation différentielle :

2881 ds l/ —

> v'[(l~y*)(H(2+V/3)V2)] V[(l-^2)(1+C2+V'3)^î)]' qui sera satisfaite par l'intégrale algébrique:

Si, l'on pose jr|/(2— J/3) au lieu île x, et yY{2~V$)-V — 1 au Heu de y, on obtiendra l'équation:

^ 7Ï( ^^737^-7^] = V 3 ' v^[(l+2v^3.>-"^)ï ' qui sera satisfaite par

Si 7/ = 2, on aura l'équation différentielle

d9 i/ ft rf*

290) i .,■(£>; K5=,Va).,'(ï>

On a

= £(t) = /(î)-/(f)-»(S)»(î>(ÏM:)

/ft-î), /(:-) /(^) /(î)^(¥)^T>^)'a)

Eu multipliant ces valeur» de — et — -— entre elles, et remarquant que

*(t) '(ï) '(t)-'Ct)'

"-••(ïMï)

on obtiendra où l'on a fait pour abréger

'(ÏMï)

Cela posé, les équations (290, 291) donneront

i=*.*f'(ïMÏ)-£.

donc, en substituant

et de là

Les racines de cette équation sont

* = 1, e = 2 + V5 — 2V(i+V5), e = £ + f5 -f- 2 K(2+K5). La dernière de ces racines

répond à In question, car l'équation

fait voir que r doit être pins grand que l'unité. Connaissant r, on trouve la valeur des quantités 7 ('^ ) et 7: (2.^) comme il suit. Xous avons

or en faisant <(• (£■) = « «'< <f (^') = on aura donc

(i +rV) (i — ^ (i - «*) (i - A

or nous avons trouve plus haut, = -^-'> doue:

Donc on connaît et + et par suite n* et ,'.2 par la résolution dune

équation du second de«;ré. On a donc aussi la valeur de y, «pii satisfait n l'équation:

282) Hu

=,/ ^'^(l^)(l + (2^i+2/(2+va))^)] ' Si l'on pose ^ au lieu de .1-, «■( y au lieu de y, on obtiendra l'équation

2931 ^ — i/ r, . AjL

où

''7 '' ' I + v'"(ÎO+ l«\/5)~.r- + v^-r4

Dans les deux t as que nous venons de considérer, il n'était pas difficile de trouver la valeur île la quantité r, mais la valeur de » étant plus grande, on

parviendra à des équations algébriques, qui peut être ne seront pas résolubles

Néanmoins on peut dans tous les cas exprimer la valeur de e par des séries, et comme leur forme est très remarquable, je vais les rapporter ici.

En faisant dans la formule (206.) «=1, un aura, en remarquant que r=l, 29*) ^ = 4^ + -^ + ^ +...),

oii

En faisant de même dans la formule (201.). «= °f, on aura

= 1; « = AT< =cosy-Hsin y = », donc

c'est-à-dire où

Maintenant dans le cas que nous considérons, un a

et par conséquent

295) w = 4JtK(2»4-l).<|-^7 + '+...

Cette formule donne la valeur de

Ensuite on aura la valeur de e par la formule (294) qui, en substituant pour

ç sa valeur A" « = A /<*-♦-" *, donue

A est le nombre 2,7182818 . . .

Addition au mémoire précédent.

Ayant terminé le mémoire précédent sur les (onctions elliptiques, nne note sur les mêmes fonctions par Mr. C. G. T. Jacobi, insérée dans le No. 123. année 1827. du recueil de Mr. Schumacher, qui a pour titre "Astronomische Nachrichten" m'est venu sous les yeux. Mr. Jacobi donne le théorème suivant :

Soit p un nombre impair et 0' un angle tel qu'on ait, en désignant l'intégrale

J /Ci-

prise de 0 jusqu'à 6, par F

✓(l— A*iin»0)

F(*,0')==l.F(*,9O°); et eu général ô(*> un angle tel, qu'on ait

soit déterminé encore l'angle v par l'équation

F(k,i) = p.F{Kv). Il faut admettre le signe supérieur si p est de la forme 4n-f-l, et le signe inférieur, si p est de la forme 4« — 1. t// doit être pris entre ~n et^—w,

si 0 tombe entre 0°"> et 0(m+,). Les constantes p et A se déterminent de différentes manières. On a p. ex.

ï(co»ec«'— cobcc «"+... IfcosecO'^+J)

X = 2Ar/i (slnO— sinO* + . . . qF Bin 0^»>±i).

Ce théorème élégant que M. Jacobi donne sans démonstration est contenu comme cas particulier dans la formule (227) du mémoire précédent, et au fond il est le même que celui de la formule (270).

Nous allons démontrer cela:

En faisant dans l'intégrale

" =./I ✓t(l-**)(l-*ï-r*)]' X = SiQ %

a = F(*,0) donne sinO = ç>«.

Si 0 = 90°, on a * = 1, donc

Donc en Taisant 0 — e(a>), on aura

F(A,0<->) = ^. J et sinO<-) = <pÇ.

Cela posé, faisons dans (269' et 270):

e\ — — Aa, = ^ = t^!,

:r = ( — l)".sin6, y = sint/', £n -f- 1 = ,P>

il viendra:

J'y/il— *»iin*0)= i^y^CI— X^nin»^) ^'

on les quantités /j, A, v sont déterminés par les équations

X =As-+1.(sinO'.sin9" . . . sinô^'*)4,

/, «In6". ..»în6('',~>)),>

{«inIV'sin*»». . . sinO**"* )

2) gin ^ Sin 9 («in*»'— tln«») («in»»" — »in»») . . . («in»6 (,<,)— i\n*%)

' V* (1— **sin*9'8in*î) (t— k*t\a*^»iaH) . . . (1— **«in9ft(*"J8in*«)

Nous supposons k moindre que l'unité, car dans le cas contraire w sera une quantité imaginaire.

Celà posé, considérons les équations (249). En remarquant que ct = c = 1, on en tire

c'est-à-dire en faisant a = ,*m*l- et m = — 1 :

tn+l

<-«>■" fer 1)--

Maintenant on a

* = (l)".sin9, et y(j^ï. £) = sinO<«\

T//l—«in^\ 1)» . iin t\ tin»'— «in» tin^-MinO lin^"'1^ (-l)»iinO

V Vl + iintjj/ Y l)".ainî/ iiuï' +«in8* «n«*— linO* ' '«ialt'*"^^—)!»^*'

et de là

tang (45* — £y)

= fgKy-O. Î!!*K*^i> . . . tggjp^+t-lgj (45» - (- ml ungi(y+«) u»gi(^-«) un«i[o^-l>(-i)-»] ^ ;

Cest précisément la formule de Mr. JacobL

Dans la formule (1), on peut toujours supposer le second membre positif. En effet, en différentiant, on aura

— h V A» «in1 6)

En supposant 8 toujours croissant, le second membre sera toujours positif. Donc en déterminant la valeur y de sorte quelle soit croissante et décroissante en même temps avec 6, on doit prendre le signe supérieur. On a donc

y» rfO p dif

.✓(l-**im»l)— V 0 ✓(1-X««in»4.) '

ou bien

De la remarque que y doit être croissant et décroissant en même temps avec 0, et en ayant égard à la formule (2), on tirera aisément la conséquence que y

doit tomber entre ^ n et ;r, si 0 tombe entre &m> et •<■*»>.

Quant aux quantités X et il est évident qu'elles ont nécessairement les mêmes valeurs que celles de Mr. Jacobi Mais les expressions que j'ai données seront plus commodes pour l'application, et font voir clairement que X est extrêmement petit, si n est un peu grand. Au reste on peut sans difficulté démontrer leur identité à l'aide de la formule (257).

Solution d'un problème général concernant la transformation des

fonctions elliptiques.

Dons le Nr. 127 du journal d'astronomie de Mr. Schumacher (Astronomische Nachrichten) Mr. Jacobi démontre un théorème très élégant relatif à la transformation des fonctions elliptiques. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général auquel je suis parvenu depuis longtemps sans connaître le mémoire de Mr. Jacobi. On en trouve la démonstration dans le mémoire précédent Riais on peut envisager cette théorie sous un point de vue beaucoup plus général en se proposant comme un problème d'analyse indéterminée de trouver toutes les transformations possibles d'une fonction elliptique qui peuvent s'effectuer d'une certaine manière. Je suis parvenu à résoudre complètement un grand nombre de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques:

"Trouver tous les cas possibles dans lesquels on pourra satisfaire à l'équation différentielle:

"en mettant pour y une fonction algébrique de a-, rationnelle ou irrationnelle." Ce problème vu la généralité de la fonction y parait au premier coup d'oeil bien difâcil, mais on peut le ramener au cas où l'on suppose y rationnelle. En effet on peut démontrer que si l'équation (1) a lieu pour une valeur irrationnelle de y, on en pourra toujours déduire une autre de la même forme dans laquelle y es. rationnelle en changeant convenablement le coefficient a, les quantités cs, ev c, e restant les mêmes. La méthode qui s'offre d'abord pour résoudre le problème dans le cas où y est rationnelle est celle des coefficiens indéterminés ; or on serait bientôt fatigué à cause de l'extrême complication des équations à satisfaire.

2ôt

Je crois donc que le procédé suivant, qui conduit de la manière la plus simple à une solution complète, doit peut-être mériter l'attention des géomètrés. — En faisant:

2) 6 =Jl ✓[(l-c»x«)(l-«V)]

la quantité x sera une certaine fonction de 0; nous la désignerons par À9. De même nous désignerons par £ et -~ les valeurs de 0 qui répondent respective-

ment à a: = i- et à — ; et par A(0) la fonction — «^(l — «V)). Cela posé on pourra démoutrer les théorèmes suivants:

Théorème I. En désignant par G et 0' deux quantités quelconques on anra toujours

(Voy. Exercices de calcul int T.l. pag.25)

Théorème 11. On satisfait de la manière la plus générale à l'équation

en prenant

8' = ( — 1)-+-' . e-f-mw-f- in'w»

où m et m' sont des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs. On aura donc

Ce théorème a lieu généralement quelles que soient les quantités e et e, réelles ou imaginaires. Je l'ai démontré pour le cas où é* est négatif et c* positif dans le mémoire précédent (voy. p. 154). Les quantités «, w' sont toujours dans un rapport imaginaire. Elles jouent d'ailleurs le même rôle dans la théorie des fonctions cllipthpies que le nombre ™ dans celle des fonctions circulaires. —

A l'aide de ces deux théorèmes nous allons voir comment on pourra défacilement l'expression générale de y, et les valeurs qui résulteront

É*j Ct

Soit

la fonction rationnelle cherchée. — Si Ton considère x comme fonction de y, sa valeur sera déterminée par l'équation (o), qui aura un certain nombre de

2ÔÔ

racines. Or il existe entre ces racines des relations qui nous conduiront à l'expression de y(x).

Si l'équation (5) passe le premier degré par rapport à x, désignons par Xj, une autre racine et par 0t la valeur correspondante de 0 en sorte que

En vertu de (2) l'équation (1) deviendra en désignant le radical du premier membre par yR

En changeant x en xt ou ce qui revient au même 0 en 0,, la valeur dey reste la même et par conséquent reste la môme ou se change en -$L. On

et par suite: </91=±rf0, d'où l'on tire en intégrant <),=«-£■ ô, « étant une quantité indépendante de 8. On aura par conséquent jr,=A(«±0). Il suffit de prendre 0 avec le signe -f- car on a d'après la formule (4) en y faisant i»=l, m'=0, y.8=A(w — 8) et par conséquent A(a — 0)=/.(w — <*-|-0), où tD — a est une nouvelle constante. On pourra donc faire xt = l(b-\-a). Ou a ainsi établi ce théorème.

Théorème 111. Si une racine de l'équation y=y(x) est représentée par "A8, une autre racine quelconque sera de la forme /(0-j-a) où a est une quantité constante."

Si l'on pouvait parvenir à trouver toutes les valeurs de «, rien ne serait plus facile que de déterminer ensuite celle de y. Or c'est cela que nous allons faire à l'aide du Théorème U. Les quantités A8 et Â(0 + a) étant des racines on aura à la fois:

y = = ? (*(* + «)) équation qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de 8. On en tire en au lieu de 8 successivement 0 + «> 0 + 2«,...0 + Ar«:

A désignant un nombre entier quelconque. On voit par là que non seulement A(8-|-«) mais toute quantité de la forme A(8-j-Aa) sera une racine de l'équa-

lion y—ifi(x). Or k pouvant avoir une infinité de valeurs différentes il fant nécessairement que plusieurs des quantités A(0 -\-ka) soient égales pour des valeur différentes de Ar, car l'équation y= y(x) n'a qu'un nombre limité de racines.

Soit donc A(0-|- -{-*'») où nous supposons k plus grand que k1. En mettant 0 — ka au lieu de 0 il viendra: A(0 -|— (Ar — A»)a)=iO ou bien en faisant k — k'=n:

Cette équation détermine la valeur de a, car en vertu du Théorème II on en tire:

0 -f net = (— 1)-+-. 0 -f moi -f- m'W ce qui donne en remarquant que 0 est variable: ( — 1 )-+-'= 1 et na=ztn(n>-\-m'm'; m -{-m' doit donc être un nombre pair, et alors on aura:

7) « = — .et + — w»

— et —pouvant désigner des quantités rationnelles quelconques; on voit donc

que pour que la quantité 7.(0 -f-«) puisse être racine de l'équation y = if(r) en même temps que AO il faut que la constante a ait la forme

8) a=fiu> + fi'a'

où p et /*• sont des quantités rationnelles positives on négatives. La quantité a ayant une telle valeur, l'expression P.(0+*«) n'aura qu'un nombre limité de valeurs différentes, car ayant A(0 -J— w«)=A0 on aura de même A(0-f-(n-|-i)«) = A(0 + a) ; A(ô + (»-}- £)«) = A(0 2«) etc.

Cela posé si le degré de l'équation y=T/>(ar) surpasse le nombre des valeurs inégales de A(0+A«) soit A(0 -f- ceâ) une nouvelle racine différente des racines A(9+A-a); on doit avoir de la même manière: «, = jw,w -p et y(À0) = V-(À(0-f AyrJ). En mettant 9-f-A-a au lieu de 0 il viendra en remarquant que V (A(0 + *«)) = v(*Q)= y

y = V(A(8 + *«+ *,«,)), donc A(0 -|- ita -f- Ar^aJ sera une racine quels que soient les nombres entières k et kv Si maintenant le degré de l'équation y = y(x) surpasse le nombre des valeurs inégales de l'expression /.(9+Ara-j-^a,); soit A(0-f-«,)une nouvelle racine on doit avoir cr, = //aw -f- p',»' et y(A8) = y(A(0-f- AyiJ) d'où l'on tire en mettant 6 -\-k«+ki«ï au lieu de G

y = V(A(0+Ar«+Arl«1-fAr,«a)) et par conséquent toutes les quantités contenues dans l'expression A(e-j-/ra +*■,«,+ *t«») seront des racines, quels que soient les nombres entiers k,kt,kv

ce raisonnement jusqu'à ce qu'on ait épuisé réquation y = ^(x), on aura donc le théorème suivant:

Théorème IV. Toutes les racines de l'équation y = pourront être représentées par les valeurs inégales de l'expression:

*(• -f-*itti • • • + k*a*) en donnant à k%, k%> . . . k, toutes les valeurs entières, et les quantités «t «,,...

...a, étant de la forme

pto -J- , où fi et /*• sont des quantités rationnelles.

Cela posé désignons ces valeurs de l'expression -f- • • •

. . . -f kstr) par ;.(«+a,), *(«+«,), . . . A(0 + a^) et faisous = p

et y étant des fonctions entières de x sans diviseur commun, on aura donc:

j>— qy=A.(x-Xt)(x— i(e + «1))(x-A(0 + aa))...(x-Â(6 + «I)) équation qui à lieu pour une valeur quelconque de x. A est le coefficient de x~ dans p— qy, il est donc de la forme f—gy où f et g sont des constantes. On aura par conséquent:

9) p — qy=(f— gy)(x— A0)(x— X(* + aj) . . . (x— ;.(0+«-J>

De là on déduira une expression de y en 8 en attribuant à x une valeur particulière, ou bien en comparant les coefficiens d'une même puissance de x dans les deux membres. Une telle expression de y contiendra trois quantités constantes inconnues, et le problème se réduit maintenant à trouver tous les cas dans lesquels ces trois quantités pourront être déterminées de la sorte que l'équation proposée soit satisfaite. Or nous allons voir tout-à-l'benre que cela sera toujours possible quelles que soient les quantités «,, at, . . . en déterminant convenablement deux des quantités a, eiy cr Mais avant de considérer le cas général nous allons commencer par celui où p et q sont du premier degré, car un théorème qui en résulte nous sera utile pour parvenir à la solution du problème général.

Soit

on va tire *

g + g* g +ëT

dy Par la l'équation (1) deviendra, en substituant:

" LV g+cj A g-cj' A g'+ej' A g-ej' /J

■ rff

X • ^[(i — c^Xl— e**«)]'

L'on trouve aisément que cette formule ne peut être satisfaite que de l'une des

manières suivantes:

On peut prendre les quantités r, e, Vf-, V* avec quel signe qu'on voudra.

Cela posé reprenons l'équation (9). En désignant par f et g1 les coefficiens de x— 1 dans p et q on aura:

/•'-^y=-(/--^)(;o-r-;.(o+«l)4-^+^-r-..+Mo+«^1))

d'où l'on tire en faisant pour abréger

équation qui pourra servir à déterminer la fonction y exepté dans le cas où ç>0 se réduit ù une quantité constante.

Selon l'hypothèse y doit être une fonction rationnelle de xy donc la fonction çO le doit être de même. 11 faut donc d'abord examiner dans quels cas cela pourra avoir lieu.

Soit A(8 -f- «) une quelconque des quantités Â(0 -{-«,), A(Q -+-«,), ... il suit de ce qui précède que >.((>-{- ku) sera de même égale à l'une d'entre elles. Or soit ;.(0-(-n«)=^0 ce qui a toujours lieu en déterminant convenablement le nombre entier n, on aura en mettant 0 — « au lieu de 0: ^(0-f(n — 1)«) = A(9 — «) donc A(0 — a) sera encore contenue parmi les quantités dont il s'agit De là suit que si /(9 — «^est différente de /(0-j-«,), la quantité A(Q — a,) sera égale à l'une des quautités /.^0 -{-«,), A(0 -j- «,),-• • Cherchons donc d'abord les valeurs de « qui donneront '/.(') — «) = /(îi-f-«): c'est-à-dire À(0 + 2ft) =À0. Or selon l'équation (7) on en tire

où m+m' est an nombre pair. En donnant à i» et m' toutes les valeurs entières depuis zéro telles que m+m> soit pair, *(» + «) prendra les valeurs

i(» + « + w<), etc.

mais, d'après le théorème H, il est clair que les seules de ces valeurs qui soient différentes entre elles sont celles-ci

donc puisque /.(»+«) doit être différent de ;.»; /.(»+«) ne pourra avoir que l'une de ces trois valeurs

En exceptant ces quantités, il répond donc toujours à /(»+«) une autre 1(8— n). De là il suit qu'on pourra écrire l'expression de <pti comme il suit:

i5) v»=Afl+M«+»)+A'.<«+-;-+|:)+A".i(fl+ç+.j)

+A(ô+«l)4-;.(o Kj)-f fg j A(»— +...+ *(»+ „.)+;(««„)

où A», A* sont éjraux à zéro ou à l'unité.

Pour avoir maintenant l'expression de y(l en x il faut recourir à la formule (5), En y faisant d'abord »• — ^ on aura >.û' = -- donc A(»')=0 d P»"" conséquent:

or A(fl)=K((l — e***)(l — c*r9)) donc:

De la même manière on aura en faisant »• —

La l*re formule donne

donc en mettant U -f £ au lieu de »,

En multipliant A (o — par + ^) on aura

d'où l'on tire en mettant 0 -f- ^- et 0 -f ^ ou lieu de 0:

I V ' 2 ' 2 / ee M ee s7

V ^ 2 ~ 2/ w V4+o) oc x

La formule (3) donne encore en faisant (f = a

Par là on voit donc que l'expression de y0 sera toujours une rationnelle de x savoir

en employant pour abréger le signe de sommation 2.

Cela posé il faut considérer plusieurs cas selon les valeurs différentes de *, kt

Premier ca: Si i' = 0.

Si les trois quantités k, k>, Jf, sont égales à zéro l'expression de q>0 deviendra:

22) v<h=^8+)\0+al)+l(0-^ï)+l(e+aJ+X(0-aJ+ . . ^(O+^+i^.)

Donc la première condition que y soit rationnelle en x est remplie. II faut maintenant substituer son expression dans l'équation proposée et voir si elle pourra être satisfaite.

On tire d'abord de l'équation (l i)

Cela posé désignons par <?, 6', e, è' les valeurs de 0 qui répondent respectivement ri y = -{- 1, y = — ~ , y = + 1 , y = — 1 on doit avoir

En vertu de ces équations les valeurs de 1— r^, 1 — ey, l + etf

faisant pour abréger 25) 9,Jtg-^ — r,

Eu substituant dans 1 — l'expression de </0 en .r, on obtiendra un résultat de la forme:

1 — VS~ (T— cV^^/'Hl - «-«en*»»*8) ...(i — ('f'À'a. jt1) En faisant 0 = <> le second membre s'évanouira, mais il est elair par ce qui précède que y(0) ne change pas de valeur en mettant au lieu de 0 une quelconque des quantités 0+«,, Q±«s . . . 0±««- 1)onc le "»n"'™t'!ur ,,u *e" cond membre doit s'évanouir toutes les fois où .r aune des valeurs H'^aJ, Hd±nJ,..A(d±u.). Donc puisque le nombre de ces valeurs en général toutes différentes entre elles est 2/f+l il s'ensuit que

donc en substituant et faisant pour abréger,

27) ç=(^—e1r■l).\tlxi)(l — e■^n1u,x,) . . . (1 — <s,r*A*«w*«)

formule qui a lieu pour des valeurs quelconques de «ï et 0.

A l'aide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels on pourra satisfaire à l'équation proposée. O» peut écrire cette équation comme il soit:

29) Vr((l-riy)(l-^lV)) = v (£)n<l-<^Hl-^>)

ce qui notis fait voir que l'une des quatre fonctions l±c#, i±e# doit s'évanouir en attribuant à x une des quatre valeurs ± - ,± - c'est-à-dire à 6 une

des valeurs 4- + — .

Supposons d'abord 1—^=0 pour H = ~, 1 -f-r^=0 pour 9 = — y, 1— ^=OpourO = ^, 1+^ = 0 pour 0=—^-,on pourra prendred=|, <?= — y> t = Y»''= — En substituant ces valeurs dans les équa-

tiens (24) et remarquant que * (- i) = - * • , = - , (4),

on en tire:

On satisfait à ces équations en prenant:

où k est arbitraire.

La valeur de y deviendra donc:

et ensuite:

Cela posé faisons dans la formule (28) d = ± y,±^ on obtiendra:

or A y = 1 , et d'après la formule (16) or aura A (-£- + «) = A (il „)donc

On aura des expressions analogues pour 1 -4- 2* 1 + en faisant

En faisant donc pour abréger

"f1 ^t-Jf1 ^a-j "f1

35) l-r.y = (1 i^, l-,âV = (!-*«*').£-, et de là

Maintenant les deux équations (5o) nous montrent que p" est une fonction entière de a: qui est divisible par les deux fonctions entières t et donc puis* que ces fonctions n'ont point de diviseur commun il en résulte que p*-^j sera divisible par leur produit, mais le degré de la fonction p' $L est précisément

le même que celui de la fonction W savoir 4». Donc l'expression se réduit à une constante. En la désignant par a on aura donc 37) <fy = a. £ -.<Lct

et par suite l'équation (36)

•ro\ <iif , ds

9 ' ✓[(l-e1V)<l-«iVH ~± " V [(l-rV«)(l— «*«)] '

c'est-à-dire l'équation proposée.

Pour déterminer le coefficient a faisons dans (37) x infini, on obtiendra d'après les valeurs des fonctions p, /, dJL=

(*ae«)*-.X*aI.X««t...X«(X..X»(|-o1)...X>(^-«.).X« • mais d'après (18) on a : — a) . À«(£ — «)= JL ,

donc

ds X*a,.X«a.1...X4a, (e*c*)"' or en différcntiant l'équation

40) ,>^'(,+ «,JT iggï r)

et faisant ensuite x = * on aura = -i. En égalant cette valeur à la précédente on en tire:

41) a = («V*)-. 1 .i*ttl.X*a% . . . k*am.

On pourra donner à l'expression de y une autre forme plus simple à quelques égards. En multipliant les deux membres de l'équation (28) par <fd et faisant ensuit â=0 il viendra

où A est une quantité constante. En attribuant à x la valeur ^ après avoir divisé par x on trouvera:

42) A = («Vy.iV • • ■ • *4«" = «*• L'expression de y deviendra donc:

11 y a encore une autre manière d'exprimer y qui est très simple. En faisant dans (28) x = £ après avoir divisé les deux membres par x on trouvera

} \ =W+A(<î4.«i)-(-A(J-a1)-|-...+;.(d-f-a1.)-f-A(<î-a„) formule qui a lieu pour une valeur quelconque de â.

En mettant donc 8 au lieu de â et multipliant par ~- on aura y exprimé

comme il suit: #

35) y = l(<?c)«-.*.^J.(al+ »).;.(«,— 0)..J.(«B+0)./.(am û)

où l'on a fait pour abréger:

46) 4 = lVvJ.V;\...i'„r

En faisant 6 = -|- y, 6 = -\- ~ les valeurs correspondantes de y seront — et — donc:

\ LT=T«"^" [^(i-"><ï-«.)-<ï-«-)r

Si donc les quantités <?„ a, y ont les valeurs exprimées par les équations (43, 45, 47), l'équation (I) sera satisfaite en déterminant convenant le signe du second membre. Il faut remarquer que ce Bigne n'est pas le pour toutes les valeurs de x; mais il sera toujours le même pour des valeurs de x entre certaines limites. On doit prendre le signe -f- si x est très petit; et alors on doit conserver le même signe jusqu'à une certaine limite. Dans tous les cas le signe qu'il faut prendre se détermine par l'équation (36).

Le théorème de Mr. Jacobi est contenu comme cas particulier dans ce

qui précède. En effet on l'obtiendra en faisant at=^— — -, r = l, c t = 1. Alors on trouvera «,= * «, = *• , . . . «. =

(*-»■- [>Gèîï)^.ï)-^T)r

[xj^î' ï'-lslr »-,x(Irrï'ï)]

II faut prendre le signe supérieur si x est compris entre les limites-f A^^î.^ et + 2 f<"*'f* ■ et le signe inférieur si * est eumpris entre les limites

»(sn-î)«'(ëî.-ï)-

dans notre forraolc générale al = g» + i oùm+m' e8t 11,1

nombre pair et où les trois nombres m, m\ in-\-\ ne sont divisibles par le même facteur on aura une formule plus générale que celle de Mr Jacobi savoir celle que j'ai démontré dans les "Recherches sur les fonctions elliptiques."

On aura dans ce cas en faisant a = w"+mc*!; « =a, a = 2a, a,= 5a, ...

. . . «„ = «<., ce qui suffit pour déterminer les quantités c„ f„ « et y.

Dans ce qui précède nous avons démontré qu'on aura une valeur nable de la fonction y en prenant dan» l'expression générale de cette fonction

y— f' = g = 0. On peut aisément trouver tous les autres cas possibles à l'aide des formules (10, 11, 12). Soit

49) 9t =£±£SJ

et désignons par ca, e%, les valeurs correspondantes de cl et e, on doit avoir

^ V[(l-cÎ3r?Hl-*îyî)]= ± °l y-[(l-e«*?(l-c»^)]' mais en faisant y = -L <p0 le second membre sera d'après ce qui précède égal

à 4- — ■ — = — , donc on doit avoir

I V[(l-c,jrî)(l-^)]=± <T' ✓L(l-«îf«)

où

Selon les équations (10, 11, 12) on satisfait de la manière ta plus générale A ces équations en prenant

9i—± — y» r, -rt et ~r »

Ces trois formules en y faisant y = — . q>0 contiendront donc toutos

les manières possibles de satisfaire à l'équation (50).

On peut sans nuire à la généralité faire A = 1. La 1*" de ces formules

est la même que celle qui résulte de y = j . q>6. La seconde en résulte en

mettant — L- . A au lieu de y. Les modules restent par cette substitution les *ici 9

mûmes. La troisième est en général différente des deux premières.

Deuxième cas. Si i = 0 et l'une de» quantité"» k', k* égale à l'unité.

Si, A étant égal à zéro, l'une des quantités A», A- est égale a l'unité il faut nécessairement que l'autre soit égale à zéro. En effet si l'on avait A'=A*=1,

les racines + y + y) doMM5raient ce,le*ci

ed by GoogI

T+ï~ ^) = c'est-à-dire k ne serait pas égal à zéro

comme nous l'avons supposé. Désignons donc par p l'une des quotités *^~t l'expression de qpd deviendra:

et exprimée en x.

54) rrd = x+ —4- tx.2

Soit comme dans te premier cas 1—^ = 0 pour x = — on

Maintenant entii-rement de la môme manière qu'on > la formule (28) on établira la suivante:

• • 0 ~ mjTcT))(! ~ mv^))'

où l'on a fait pour abréger:

57) 0 = * . (1 — fWa,*») (t — é*t*i.*aj*) ... (1 — *<*i*àje%

En faisant £ = £ ~ on aura les valeurs de 1 -}- et 1 2^ qui multipliées

entre elles donneront celle de 1 — 1-^-> . Cette valeur substituée dans l'expression de 1 — (55) donnera:

et par conséquent si Ton fait

59) — g,V)= V'(*,*~C'V',).<.K((1— <*»*X1— «'*'))• Cette valeur mise dans l'équation (29) donne

On voit donc que — eiy%) doit être une fonction rationnelle de x. Il n'est pas difficile de démontrer qu'on satisfera à cette condition en supposant

que 1 — eây s'évanouit pour x =± A ^-îLpË.^ et on aura alors:

Les équation (24) donneront dans ce cas: auxquelles on satisfera en prenant f = g* = 0

De là résulte:

1 ec

Connaissant ainsi une solution de l'équation proposée on aura toutes les autres possibles à l'aide des formules (10), (M), (12). Le cas le plus simple est

celui où n=0. Alors on aura eu faisant rl = c=l, (}— .^L-j-iL :

(✓[(i-,»Kt-.1v)]=(1+<f)V[(i-^xi-^«)r

Troitième ca*. Si k =. 1.

Dans ce cas l'expression (15) de ç>0 deviendra, 96=W + ;.(ô-f W) + *(0-f «,) + «,) +. • • + A(fl-r-«-)+>(0~«-)-

Or cette quantité se réduit à zéro pour une valeur quelconque de 8 dont on pourra se convaincre aisément en reiuarqaant que <f 0 doit rester le même en changeant 8-f-M en 0 c'est-à-dire -fô en — 6.

La fonction V9 étant égale à zéro si l'on désigne par ±<f<—g'y) le coefficient de * dans le premier membre de l'équation (9) on aura en faisant pour abréger

F8 = i*9 + + «) + ••• + a«(9 + «„), f* — s'y — — if — ffyï-FQ* d'oii l'on t're>

Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions qui résultent de ce troisème cas en se servant de l expressiou (01). Je ne m'arrêterai pas ici à développer les formules mêmes, je vais seulement faire connaître un théorème plus général que celui exprimé par les formules (48). T&éorème. On aura:

✓Kï^xi^^)] — ± ?[(ï^»Y<i -««*»)] — ± '

n étant un nombre entier quelconque, y =Jn * ^ [(1 - j'X» - )] '

En supposant 7/ impair la formule (65) est la même que celle que nous avons trouvé (48).

Si l'on fait jr = siny, y = siny on obtiendra

' — ^«in*^) \/(l — c*gm*ç) '

où l'on pourra exprimer la quantité y comme il suit:

67) v- = 9 + Arct. { tang ? . |/[l - g-)] J + Arct {t«.gV

+ Arct. { tang tf> . — «^("^ »)] j-

n=2 on aura

V = 9 + Arct (tangV.K(l— <*")),

ou bien

tang(y— y) = tan g y. ViX — «*)• (Voyes: Legendre Exercices T. I. p. 84.)

Si Ton suppose » très grand on aura à peu près el = 0, donc

* = «yTw=^r = f «-» » • V[« ■-"( ")]}•

Soit a> = -£- on aura v = «- -îr> donca^- = a.-^, donc — = — . — . De la r 2 2' 2 2' « x *

il résulte en faisant a infini

Nous avons vu précédemment que le nombre des valeurs inégales de l'expression A(9+*,,a| + • . .+ *«•«»-) est toujours fini. On peut dans tous les cas trouver ces valeurs comme il suit

Soient

|a(0+»1oO=;(6+»«1«1)»

A(0 + »,«,) = A(9 + tn^a , + »*,«•)>

U(«+*«*)==*(« + »i«i + **«■ + . . . + *„,«„,), où »t, n,,...», sont les nombres entiers les plus petits possibles qui puissent satisfaire à des équations de cette forme, m, , ms, . . . m^x étant des nombres entiers qui pourront être diflérents dans les différentes équations. Ceta posé je dis qu'on aura toutes les valeurs inégales de l'expression A(H-*, a t -}~ • • • "f" k¥u¥) en attribuant à k t k%i. . .k¥ toutes les valeurs entières et positives respectivement moindres que n , nt, . . . «y. En effet si l'on avait

où Ton n'a pas a la fois

A'1=A:1, . . . k',=.kr,

on en tirerait en mettant

A(9-f-(*--A'.)«.)=A(0-t-(A:'l— kJal+(k>t—kJat+...+(k*^t—k^t)am l), où l'on a supposé que km — k1,. est la première des quantités k, — *V,

— fcf-it •••gui soit différente de zéro. Or en supposant ce qui est permis que km — l?m soit positif ce nombre sera en même temps moindre que nm ce qui est contre l'hypothèse. Le nombre total des valeurs inégales de l'exprès- *<«+*,«, + + ••• + *„«„) sera donc égal à

il est clair qu'on n'aura pas des valeurs nouvelles en attribuant à k% , £s, ...h, des valeurs respectivement plus grandes que n , ».,. . . n*. Le degré de l'équation p — <yy = 0 est donc

m = n j . ws . w,

Si donc ce degré doit être un nombre premier on doit avoir v = 1 et m == n . Les racines de l'équation p — qy = 0 deviendront donc dans ce cas: 10, l(0 + «), /(rt+2«), . . . !(„!)„),

* ffl (al 4" Wl llï'

et « = ~ - - —

m et m' étant deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair et qui n'ont pas le même commun diviseur avec n.

On doit remarquer qu'à la même valeur de m répondent toujours plusieurs solutions différentes du problème général. Le nombre total de tes solutions est en général égal à 3m.

On peut de ce qui précède déduire un grand nombre de théorèmes remarquables sur les fonctious elliptiques. Parmi ceux-ci on doit distinguer les suivants.

a. Si leqoation (I) pourra être satisfaite eu supposant y = y(x)~ p~

où le degré des fonctions entières p ci q est égal à un nombre composé m.N, toujours trouver des fonctions rationnelles y et f telles qu'en

(xi==cfx= lL on ait y = /"(*,)

le degré des fonctions entières p' et y» étant égal à l'un des facteurs m et » et le degré de px et qt étant égal a l'autre.

b. Quel que soit le degré de l'équation p — qif = 0, on en pourra toujours tirer la valeur de x en y à l'aide d'opérations algébriques. Voilà donc

une classe d'équations qui sont résolubles algébriquement Les racines auront la forme suivante:

70) x = fonct ration. \y, r~>, r,"», r,*» . . . rf* ),

n9i...nr étant des nombres premiers entre eux dont le produit est égal au degré de l'équation en question, et les rt , r„ . . . r¥ de la forme

71) c+ tv(a - <w (i - *y»

où f et t sont des fondions entières de y.

c. Il y a un cas remarquable du problème général, c'est celui où l'on demande toutes les solutions possibles de l'équation:

On aura à cet égard le théorème suivant

Si l'équation précédente admet une solution algébrique en a: et y, y étant rationnelle en x ou non, la quantité constante a doit nécessairement avoir la forme j,r j ^

où ft' et ft désignent deux nombres rationnels, le dernier étant essentiellement positif. Si l'on attribue à a une telle valeur on pourra trouver une infinité de valeurs différentes pour e et c, qui rendent le problême possible. Toutes ces valeurs sont cxprim'aMes par des radicaux.

Si donc on suppose que a soit une quantité réelle il faut qu'elle soit en même temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra satisfaire à l'équation différentielle dont il s'agit quelles que soient les valeurs des quantités c et e.

d. Du théorème précédent on peut par un simple changement de variables déduire ce-ci.

Si l'équation

dfy ds

où b* = 1 — c* admet une solution algébrique entre x et y, le coefficient a doit avoir la forme suivante:

W + ttV—i

ft' et ft ayant la même signification que précédemment Si donc l'on veut que a soit réelle il faut qu'elle soit égale à la racine carrée d'une quantité rationnelle. Cette condition remplit le problème à une infinité de solutions. Comme cas particulier on en déduit le théorème:

73) fo ✓Ki-ft)(i-«ïjra)]==V o i

Si en supposant <j> et réels et le module c moindre que l'unité, l'équation

7Q\ «*t> „ rf9

' ^(1 — *»8in*v|j) V(i— *a«n*ç)'

a une intégrale algébrique entre sin tp et sin y il faut nécessairement que a soit égal à la racine carrée d'une quantité rationnelle et positive.

Ainsi par exemple si l'on suppose «* = 1 — é* on aura « = |/« comme nous allons voir.

En faisant dans l'expression (65) de y, 0 = ^ on trouvera, en vertu de la valeur de k, y = 1 donc

rfx

✓ [(l-.r*)(l-e«.r')]— 2»' en remarquant qu'on doit dans le second membre de l'équation (65) prendre le signe supérieur depuis x = 0 jusqu'à a: = Cela posé en remarquant

que l (« + Ï2) = A((w~w)" — o^, il est clair qu'on aura:

en multipliant cette valeur avec celle que donne (65) on aura en faisant usage de la formule

qu'on obtiendra à l'aide du théorème 1.

En faisant maintenant ar = /»|/r — 1, ys:;/ — 1 on aura en supposant p réel pour toutes les valeurs de cette quantité:

y»» d% pp dp

0 ✓[(i+3«)(i+^»)]— Jo ✓[(t+j«)(i+«y>r

mais si l'on fait p = ^ on aura de même z = ^ donc

» ✓[(! + »*) (1+eî»»)] J0 ^[(l+F*)(l + eV)]'

Le premier membre de cette équation est la même chose que £ et le second

la même chose que a/*'-^ ^ s^ce qui est facile à prouver, donc

* Jo V[(l-3ft)(l-<*î))'

Cette équation combiuée avec (73)

o „ au

c'est-à-dire

xrv.

Addition au mémoire précédent.

D ans le mémoire précédent j'ai fait voir comment on pourra trouver toutes les transformations possibles, réelles ou imaginaires d'une fonction elliptique proposée. Les modules c, e, c , el pourront être des quantités quelconques. Le cas le plus remarquable est celui où l'on suppose les modules réelles. Dans ce cas le problème général pourra se résoudre par une méthode particulière, entièrement différente de celle que nous avons donnée dans le mémoire précédent Puisque cette nouvelle méthode est remarquable par sa grande simplicité je vais l'indiquer ici en peu de mots.

Le problème général que nous allons complètement résoudre est le suivant:

Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire à l'équation "différentielle:

«\ dy ds

"par une équation algébrique entre les variables x et y, en supposant les "modules c et c moindres que l'unité et le coefficient a réel où imaginaire." En désignant par AO la fonction inverse de celle-ci

en sorte que x=iï, on aura en vertu de la for-

✓ [(l**X »-*•**>] mule (4) du mémoire précédent

où les quantités constantes w, «' sont déterminées par les formules:

►J ds

* Jo

Dans le cas que nous considérons, la quantité o> est réelle mais «' est imagi- On aura en effet

Y=fn ✓[(l-x«Xl-e«**n +fx ✓t(l-x*Kl-c»x»)]

c'est-à-dire :

u i i/ i /» ' rfj

2 — 2 "T K -y j l/[(ja IKl

où il est clair que le coefficient de V— 1 est uoe quantité réelle. En faisant *■=■ ^m^y) où * = Vr(l — «*) on trouve:

Où

' 2 ~Jo x»)(l-6«x*)] "

Le théorème II du mémoire précédent donnera donc ce-ci: "On satisfera de la manière la plus générale à l'équation

"en prenant

"où m et m' sont des nombres entiers quelconques et w et o deux quantités "réelles données par les formules (2) et (S)."

Cela posé soit

S) rt**) = 0 .

l'équation algébrique entre y et x qui doit satisfaire à l'équation différentielle (I). Si l'on fait x = l§ et y = /.,<)' où Ô et 0' sont deux nouvelles variables et ).x la fonction elliptique qui répond au module rt en sorte «pie

l'équation (I) deviendra

dV = ± adH

d'où l'on tire en intégrant : 0' = t ± «0 où e est une constante. On a donc

y — ' ,(* ±«6) ou bien en mettant -f-a pour ^«:'

L'équation (5) entre x et y donnera donc celle-ci

qui ne contient que la seule variable 9 et qui aura lieu quelle que soit la va» leur de cette quantité.

11 ne serait pas difficile à l'aide de la formule (8) de trouver la fonction /"(y,*); mais pour notre objet il suffit de connaître le coefficient a et nne certaine relation entre les fonctions complètes. Voici comment, on y parviendra. En mettant 0 4- &u lieu de 0 on obtiendra, en remarquant qu'en vertu de (4)

cette autre équation

9) f(lt(é + 2ma<o-\-aï), ;.0) = O.

On aura de même en mettant 0 -(- mot pour 0, où i = Y — 1 :

*°) f(K(* + ma™ ~h A6) = °-

Dans ces deux équations m pourra être un nombre entier quelconque.

En faisant x = M on voit donc que l'équation algébrique est satisfaite en mettant pour y une quantité quelconque de l'une des

Xt(i -f- 2maw -j- «0) , 2j(« -f- maai -\- a8), mais m peut avoir nne infinité de valeurs tandis que l'équation dont il s'agit n'a qu'un nombre limité de racines ; il faut donc qu'on puisse trouver deux nombres entiers k et k' tels que

M) Xl(t + 2k'a» + a*) = Xl(é + 2kan + a»)

et deux autres v et »> tels que

12) ;.,(* + v'arsi + ofl) = )t(t + vaai + <rë).

En vertu de la formule (4) ces deux équations donneront respectivement:

. v 1 tk'au = tkeua -\- &»w, -|- ra'o, . V — 1

\v'aai — ratai + 2/iWj 4" /''o»*!^ — A où «, et a, désignent les valeurs de w et © qui répondent au module c, c'est-à-dire on a:

|z Jo t/Ki-^Ki-c,»*»)]

Cela posé les équations (13) donneront en mettant ? pour k'—k et *' pour v — P.

et de là en comparant les parties réelles et imaginaires:

mo\ « *»! u.' o, m' a, 2(i o,

' vo~*v'tj'ivo" va'

Ces deux équations donneront celles-ci:

mj\ , m. m' v'* m» j m'(i'

' o» ¥ |t.|fc' ' v»' a» — *~^]T'

Maintenant — est une fonction continue de r, donc les équations (17) ne

ront avoir lieu qne pour des valeurs particulières des modules c et cv Si on suppose c indéterminé il faut que Tune des équations

18) m' = ft = 0,

ait lieu. Dans le premier cas les équations (15) et (16) se réduiront à

Mais si la valeur du module c est (elle que la l*™ des équations (17) ait lieu, on doit avoir en même temps:

">î=*-tY(-tt> ^=*V(-^>

et alors a est donné par Tune des équations (15).

Quant aux nombres m, m\ //, /i', v' il faut les prendre tels que m, o, o, soient selon leur nature des quantités positives. Si donc on suppose, ce qui est permis, v et V positifs, il faut que m et fi' soient du même signe et m' et du signe contraire. On pourra d'ailleurs sans diminuer la généralité supposer m\ m et /i' positifs et /* négatif.

Par ce qu'on vient de voir on a immédiatement ce théorème: I. Théorème. Pour que l'équation (1) ait une intégrale algébrique en x et y il faut nécessairement que les modules ct et c soient liés entre eux de la

manière que l'une des deux quantités et soit dans un rapport rationnel

avec — ; c'est-à-dire on doit avoir l'une des équations a

où A et A* sont des nombres rationnels. Si la première de ces équations n lien mais pas la seconde, on aura en même temps

' Cl

où d est un nombre rationnel. Si la seconde équation a lieu mais pas la première, on aura en même temps

Enlin si les deux équations (23) ont lieu en même temps, les modules c et ct seront tous deux déterminés, savoir respectivement par les équations:

se) £ = K(*.*)i £=)/(£>

et alors le coefficient a doit avoir la forme:

ou â et d» sont des nombres rationnels.

Les conditions indiquées dans ce théorème doivent donc nécessairement être remplies pour que l'équation (I) ait une intégrale algébrique. Il reste encore le point le plus important, savoir de déterminer si ces conditions sont suffisantes. Or c'est ce que nous allons faire voir à l'aide de la formule (65) du mémoire précédent. Cette formule peut facilement être démontrée en faisant effectivement la substitution de y \ mais il existe une antre démonstration, tirée des considérations entièrement différentes et que nous allons donner ici en nous servant d'une formule démontrée dans "les recherches sttr les fonctions elliptiqties." 11 s'agit de la formule (185) de ce mémoire

les quantités m' et o' étant données par les équations

^ 2 —f0 vT(l—r«?(l+e**«)];

a' p~ ds

On a de plus:

où x est lié à a par l'équation

Si l'on fait e = — ^=4? X — Vi\ — y*) on trouvera:

<fa = "~*Vt(i-»*)(i-cV)]

et de là:

maintenant l'équation x = K(l — y*) donne

y = V(l-x*) = f«, donc:/-« = A(|— |)

et de là en mettant 6 y — 6a pour a

33) A« = f(ôT— 6«).

Gela posé si l'on pose dans la formule (28) 6 y — 6a au lieu de a on trouvera après quelques réductions faciles:

OÙ

an »

35) t = e°, r=ze~*"

et A une quantité indépendante de a.

Si l'on fait pour abréger

56) ia = ^.V(a j).V(«-f«) J

Si l'on fait maintenant successivement

on aura les valeurs de AO, i. -|" ^) • • • "f" w) 1ui nwltipliées ensemble donneront sur le champ

= yf.V(à.f). <H",~')~- <Hi*,+*)l -.

où on a fait pour abréger

58) J = ^.0, ^=l.ii,

' a a, » ta

or si Ton pose dans la formule (56) le module et au lieu de c et désigne les

valeurs correspondantes de

A&, w, o, A respectivement par

AtQ, t»lt alt Ai il viendra

Le second membre de la formule (57) est donc la même chose que = ^-- 6) et Par conséquent on aura la suivante

») J>fe ')=£• »• 1 (• + t)- 1 (• + *)• • ■ »(• + •

cette équation a donc toujours lieu si le module r, et tel que 40) ^1=1.»,

quel que soit d'ailleurs le nombre entier ».

Si l'on fait H=x, A,(^o)=y on aura

qui par conséquent est satisfaite par l'équation algébrique

La valeur de y est toujours une fonction algébrique de x. En effet si n est un nombre impair on a

et si h est un nombre pair:

44) ar— 4*.*.

les trois cas de notre problème général. Premier cas. Si a est réel Dans ce cas on doit avoir

avons vua = d.^i=-£-.Hioù u et v sont des nombres entiers et l'équa-

eviendra:

On doit avoir de plus ^ = Ar. — =^-. ~ où m et n sont entiers. Si l'on

lait x = A(»ts9) et y = A^g^O) où 0 est une nouvelle variable, l'équation (45) sera satisfaite, car les deux membres se réduiront à /jc^c/Q. Ponr avoir une intégrale en * et y il faut donc éliminer 0 des deux équations:

46) * = A(m3Ô); y = A,(/iQ,9).

Nous allons voir que le résultat de l'élimination sera une équation algébrique en x et y.

Soit C un nouveau module et désignons par A'9, ca>, ta', A' les valeurs correspondantes

de Ae, w, g, ^. Cela posé si l'on suppose le module r1 tel que ^= on aura en vertu de la formule (39), en mettant /<»4q au lieu de e

47) A'^a'0)==^.A^oO).A(^0+^). .. A(/ira0 + 5^o)),

maintenant ayant î^=i-. — et^=— . — on en tire^=— • ^; donc la même ta no Oj «ta o m o,

formule donnera:

48) A'OWÔ) = -£,. a.O.K.,1). A.f^O-f^) ... A, (/i^O+î^î «,). En égalant entre elles ces deux expressions de A'(jwyo'6) il viendra en faisant

49) vaO = *, ^0,0 = ^

Le premier membre de cette équation est nue fonction algébrique de À(ftd) et le second une fonction algébrique de Xt(vât); mais X(pâ) est à son tour une fonction algébrique de Xd=x et *,(»**,) une fonction algébrique de AJdi==y. Donc enfin les deux membres de l'équation (50) sont respectivement des fonctions algébriques de x et de y. Donc cette équation exprime l'intégrale cherchée en x et y de l'équation différentielle (45). Pour en avoir l'intégrale complète il suffit d'ajouter à d ou à d, une quantité constante arbitraire. Quant aux quantités A et Al on doit remarquer qu'on a

Pour donner un exemple supposons qu'on demande une intégrale algébrique de l'équation,

V[(i-jr*Xi-*,y)] — « ✓[(i-*«Xi -*»*•)]'

dans le cas où ^- = | . ° . Ou aura alors u = v = 1, m = 2, n = S. a, 8 a ^

L'équation (50) deviendra doue:

c'est-à-dire :

,S><W coj. AiaK— 1 réel. Dans ce cas on doit avoir selon (lo),

a = ? . 1 où et v sont entiers. On doit avoir de même = — • — •

L'équation proposée (1) deviendra

v o ,/ . rf» 'Ar

(i ta, r ✓[(l-*a)(l-«,V)] ~~ ✓[(! -**)(!

Pour réduire ce cas au précédent il suffit de faire x = où z est

une nouvelle variable, on aura alors =V— 1 •

V/[(l-x*)(l-c»**)] — r • v^[(l -.'Xl *^)] '

où 6 = 1^(1 — c*) et par suite l'équation (52) deviendra en y et î:

iig ji o, d%

✓ (l-jr*)Û-«iV)] T' ~ô~" ✓[(l-**Xl-****)] dont l'intégrale algébrique est exprimée par la formule (50) en y faisant

ettant o au lieu de <o.

Supposons par exemple qu'il s'agit de trouver une intégrale algébrique de l'équation:

dy 5x y 4 ds

✓[(i-**)(i-«,V)3 ~ « Y ✓[(i-x«xi-«**')]' dans le cas où |i- = 2.£. Ayant fi = v=i et m = 2, n=l l'équation

(50) deviendra

f,.« = l.l1(*1).Al(*1 + ï) c'est-à-dire en remettant les valeurs de Xâ et A,^:

Troisième cas. Si ^-=|/**'» =

Dans ce cas on doit avoir en vertu du théorème 1 : a=— • "'--f- . V'' — 1

où ji, v, fi', *' sont des nombres entiers. L'équation proposée deviendra donc:

^ ✓[(i-*»Ki-c1V)] = (~v" ?+ v" ✓[(i-x«K«-^)] '

et cette équation sera toujours intégrable algébriquement En effet comme on.

a tant

^2- = l. ° quc-^- = A.^ où A' et*

sont des nombres rationnels, on pourra en vertu de ce que nous venons de voir daus les deux premiers cas satisfaire algébriquement aux équations

d% p. g, dx

V/[(1-»«)(1-Cl"**)] ~T* o /[(l-i«)(l-eV)]

</p ji' a

Par la l'équation (55) deviendra:

✓[(i-yX" — ciV)3 = V[(i -««Kl-*-.*»*)] + VKi-^Xi-".4"1)] à laquelle on satisfera comme on sait en prenant:

54\ »• ✓[(! —«XI —,»■.')] + ». ✓[(l-,»Xl-".,»,)3

En y substituant les valeurs de v et ; en j ou aura une intégrale algébrique en * et y de l'équation.

Nous avons ainsi démontré que les conditions nécessaires exposées dans le théorème I sont en même temps suffisantes.

En vertu de ce qui a été exposé dans le premier cas on a immédiatement ce théorème:

Pour que deux fonctions elliptiques réelles /\C,0'), I\c,Q) puissent être réduites l'une à l'autre il est nécessaire et il suffit qu'on ait entre les fonctions complètes

Fl(c), Fl(b), Fl{C\ Fl(b') cette relation :

55) » . Fl(C) .*"(*) = m.F\b<) . Fl(c),

où m et a sont des nombres entiers. Si cette condition est remplie on pourra établir une relation algébrique entre sinO' et sinO telle que:

56) ^eo = *.^.FM),

où * est un nombre rationnel. On pourra ajouter que dans le cas où *= 1, V est lié à e par l'équation:

0' -f Arct (a\ . tang 6') -f Arct (a's tang 0') -f . . . -f - Arct (tf^, . tang 6') -J- Arct (at . tang 0) -f- Arct. (a, tang 9) -j- ... + Arct (a, . tang e) où ati «,...</',, o^, a',... sont des quantités constantes données par les formules

'* ' (c'^V^l— e'*.sin%)

après avoir déterminé 0^ et 0'» tels que

En prenant n = 1 on aura la formule (67) du mémoire précédent

Il y a un cas du problème général qui mérite d'être remarqué; c'est celui où l'on suppose les deux modules égaux entre eux, ou en d'antres termes quand on demande tous les cas dans lesquels il sera possible d'intégrer algébriquement l'équation différentielle:

nt\\ <ly ds

' ✓[(i-s»)(i-cV)] — ✓[(i—**Xi -«**»)]' Dans ce cas on a w* = », o' = a et par conséquent les équations (15) deviendront:

et de là

v y ' Sv u n' a *

Si l'on veut que a soit réel on a a = -,«» = « = 0; dans ce cas on n'aura

aucune condition pour la valeur de r, qui peut être quelconque, nais on voit que a doit être un nombre rationnel. Si au contraire on admet des valeurs

imaginaires de a le modul c doit être tel que -°^ = — d'où l'on tire ^- = £.j/( — -^-)- En vcrtQ de cette expression la valeur de a deviendra:

Soit - = Vk on aura

a = ô+d'Vk.V— U où A-, â, & pourront designer des nombres rationnels quelconques. On voit que pour que l'équation (60) soit intégrable algébriquement en supposant a imaginaire il est nécessaire et il suffit que

- = Vh «=* + â'YkY— 1.

k est essentiellement positif.

On pourra exprimer le modul c en produits infinis comme il suit:

On tire cette expression de la formule (54) en y faisant a =s £ et remarquant

que ^ = ]/* et ^ = -L . On aura en même temps le module b par cette formule:

3n ftw

Il suit encore de ce qui précède que si le modul c a la valeur l'équation

V[(i-y«Ki-*V)] V V[(t-x»Ki-^«)]'

sera toujours intégrable algébriquement quels que soient les nombres rationnels k et k', pourvu que k soit positif.

Il y a encore beaucoup de choses à dire sur la transformation des fonctions elliptiques. On trouvera des développements ultérieurs sur cette matière ainsi que sur là théorie des fonctions elliptiques en général dans un mémoire qui va paraître dans le Journal de Monsieur Crelle.

Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes.

tp* désigne la fonction elliptique la plus générale, c'est-à-dire si

où r est une fonction rationnelle quelconque de x, et R une fonction entière de la même variable, qui ne passe pas le quatrième degré, cette fonction a comme on sait la propriété très remarquable, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même forme, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique.

Il semble que dans la théorie des fonctions trancendantes les géomètres se sont bornés aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore pour une classe très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à celle des fonctions elliptiques.

Je veux parler des fonctions qui peuvent être regardées comme intégrales de différentielles algébriques quelconques. Si l'on ne peut pas exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions données, par une seule fonction de la même espèce, comme dans le cas des fonctions elliptiques, au moins on pourra exprimer dans tous les cas une pareille somme par la somme d'un nombre déterminé d'autres fonctions de la même nature que les premières, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique*). Nous démontrerons une autre fois cette propriété. Pour le moment je vais considérer nn cas particulier, qui embrasse en même temps les fonctions elliptiques, savoir les fonctions contenues dans la formule

*)J'al présenté un mémoire gnr cea fonctions à l'académie royale des sciences de Paria vera la fin de l'année 1820. Note de l'auteur.

R étant une fonction rationnelle et entière quelconque, et r

Nous allons d'abord établir le théorème suivant:

Théorème I. Soit yx une fonction entière de x} décomposée d'une manière quelconque en deux fadeurs <ptx et y^x, ensorte que ç>.r= y,*.?,*. Soit fx une autre fonction entière quelconque et

où a est une quantité constante quelconque. Désignons par a„, at, a%. . <•«» cx , r„ . . . des quantités quelconques dont l'une au moins soit variable. Cela posé, si Von fait 3) JK+«1*+ «««■4— •+«-*•)*•»,*— (c0+clx+cj*+...+cmx-)t.q>tx ' \=A. (x — xt)(x — xj(x — *,) . . . (x — xj, où A ne dépend pas de x, je dis qu'on aura

4) « , ypxl + vf«t + e%yxt + . . . -f- t^*?

— Jï- loe ^K+ai«+-- +fl-tt")v/(9ia)+(co^ci«+ - +<?-«*')v^(9»tt)'\ i r i c ✓ ça* 8 V(a0+a|a+..,+ a.a")/(ç,a)— (c0+c1a+... + c,^x-) /(Çja)/ ' ' '

où C est une quantité constante et r le coefficient de -i- dans le développede la

f* |Qg f K + « i + • • • + « • ■**) i J) + fa> + c i *+ • • • + ✓(Ça *A <x) /ç* " V(a0+o,j+. ..+«.*•) ✓ (ç1*)— (c0+e,x+...+ c.x")v'(ç,*)/,

suivant les puissances descendantes de x. Les quantités ett

epa/e« « -J- 1 ou à — 1, et leurs valeurs dépendent de celles des quantités

Désignons le premier membre de l'équation (3) par Fx et Taisons pour abréger:

jOar=o0-j-alJf + a^ta + ... + flMj^, ' (01*=fo-fc1*-fc^c*H-...-|- ca-

nons aurons

6) Fx = (Ox)*.y ^ — (0 ,*)». <p,ar.

Cela posé, soit x une quelconque des quantités x, , rs, . . . x^, on aura

7) Fa=0.

De là, en différentiant, on tire

8) F'x.dx + àFx=zO,

en désignant par F'x la dérivée de Fx par rapport à x, et par ôFx la tielle de la même fonction par rapport aux quantités «r0, o,, . . . r0, ct, ct... Or en remarquant que tp^ et (ftx sout indépendants de ces dernières variables l'équation (6) donnera:

9) t)Fx = 2^x.<flx.AHx — 2^lx.(ptx.ôilx, donc en vertu de (8)

10) F'x.dx = 29(.r .qPaX.dfljS: — 2Qx . <p tx . dQx. Maintenant ayant Fz = 0 = (Qx)*.tplx — ((^arj'.avr, on en tire:

11) o*.vrç,^ = *o1x.vr^,

où e = ± 1. De là vient

tx . <pxx = rt.x.-Kfo),*.?,*) = «0,*. V(?>*)>

donc l'expression de F'x.dx pourra être mise sous la forme

12) F'x.dx = 2i . (0*. de,* — O^.dfcr). K(9>*)- Céla donne, en multipliant par t.~£—. 1:

|-\ /x.dx /x.(2Qx.S0tx— 26,x.&0x)

En faisant pour abréger

14») ).{x) = S/i(0*. «ÎO.x — Ô.ar. de*), il viendra:

44Ï « -J*-*±— — Xjr__

' * (x-cOv^çx) ~(x-a).F-x'

où JLr sera une fonction entière par rapport à x. Désignons par la quantité

**t + X*9 + + • • ♦ + XXp ct remarquons que l'équation (11) subsiste encore en mettant l'une quelconque des quantités xt> x„ . . . x^ au lieu de x, cette équation donnera

M) & . f*-dx — v U = dp.

' (x-a)t/(<px) (x-aJF'x

Cela posé, on pourra chasser sans difficulté les quantités xl , x9, . . . du se-

En effet, quelle que soit la fonction entière 3.x, on peut 16) Xx = (x— «)Atx + A«,

où X x est une fonction entière de x, savoir îî=^?. En substituant cette va-

leur dans (13), il viendra

F' s ' {x—a)F's Maintenant d'après une formule connue on aura

ayant égard que

Fa = A(a — xt)(n — xj . . . (a — xj,

donc

Fa. ' F'x

Il reste à trouver 2 Or cela peut se faire à l'aide de la formule (17).

En effet en développant — — selon les puissances descendantes de a, il viendra :

d'où Ton voit que 2, est égal au coefficient de --^ dans le développement

de — -, ou bien à celui de — dans le développement de -s-. De la on voit Fa. a. Fa,

aisément que 2 y^, où Xtx est une fonction quelconque entière de x, sera

égal au coefficient de — dans le développement de la fonction selon les

puissances ascendantes de — . Si pour abréger on désigne ce coeflicient compris dans une fonction quelconque r dcveloppable de cette manière par flr, on aura:

Or la formule (16), en divisant par Fx.{x — «), donne

en remarquant que IJ - p- est toujours égal à aéro. Donc Fexpres-

(16) de dv deviendra

Fa, ' (*— a)Fs Maintenant on a (lt')

donc en mettant « au lieu de .r,

/.« = 2fu.(1in.d<)ta — 9 a.dOrt).

En vertu de cette expression et en substituant pour Fa sa valeur (Oo)'.^** — ((>,<«)•. ç>,cr, On obtiendra

(Oa)*.Çla— (9,a)*.çsa * ï=V (kr)*.ç,.r-(9,:r)*:^7" On trouvera aisément l'intégrale de cette expression; car en remarquant que ftty tpiat <P%a> fx* x — a> Vi** y** sont des quantités constantes, on aura en vertu de la formule

y*pdg—ç<ip l . /yyWyy/wy p1nt — q*u 2/(m.n) S'\p^m — q^n/'

> v'(ça),,,BVk*..v/(Çi«Mi«V(9i«)^

| 77 S* i0„ /toV(9i*)-Hi*-v/(9t*)^ <*-<*)✓(?*)• g V6xV(9.*)-«.*- ✓(9,*) Or l'équation (15) donne

^J(x-a)^(çx)

donc en Taisant

et désignant par e|t *„ . . . des quantités de la forme ^1, on aura la formule

( M *i + VP*i + '.V'-t, + • • • + e^Xf, =

I C— lo» ^<t-V/(9l«) + ^i« V(9»«)\ 25) < ^ça ° W.V'(9la)-«Ia."v/(?1a)/

l ^ 11 (*-«)/(<a) '^Vir.yCç,*)-^*- V(9,*)>/' qui s'accorde parfaitement avec la formule (4).

Les valeurs de ft, ne sont pas arbitraires, elles dépendent de

la grandeur de xit x„ ...x^ et celle-ci est déterminée par l'équation

IxYiViX) = t*i*V

équivalente aux équations

26) UtVtoixà == ë^i&Yte&ùi ixi-VtoixJ — <A*,KO,*t); • • .

ixf,.V(v1xM) = tf$lxf,V(<f%Xi*)- D'ailleur les quantités e , , fs, . . . ^ conserveront les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x. , x%, ...Xpy comprises dans certaines limites. Il en sera de même de la constante C.

La démonstration précédente suppose toutes les quantités xt, xt,...xM, différentes entre elles, car dans le cas contraire F'x serait égal à léro pour

un certain nombre de valeurs de x, et alors le second membre de la formate (14) se présenterait sons la forme £. Néanmoins il est évident, que la formule (25) subsistera encore dans le cas même, où plusieurs des quantités xt , x„ . . . Xp sont égales entre elles.

En faisant x, = x1, on aura (26)

et cela donne, en supposant que ^xxq>^e et Qx.^x n'aient pas de diviseur

En vertu de cette remarque on aura le théorème suivant:

Théorème IL Si l'on fait 27) (fcr)*.^* — {lxx)x.ttje = A.(x — xt)"'(x — xj"» . . . (x— x^yv, où fe* fonctions entières fer.?,* «f O.x.y^r »'<ro/ rfe diviseur

Uxmiyxx + <s»iatpxa -f- f.m.tf/x, + 1- t^m^x^ =

*J\ V(?a) 6V «a. ✓(ç1a)—Oia. ✓(?,«)/

f 4.77 £ log^ii^?»*) + v'fr»*) V

Si l'on suppose /x divisible par x — a, on aura fa — O, donc en mettant (x — «)./x au lieu de fx, il viendra:

Théorème 111. rAoje* eïani supposées les mêmes que dans le

Théorème II, « r«i foi*

yx=fS^,

où fx est vue fonction entière quelconque^ on aura

29) tlmlyfxl + VW*. • • • + W**?

— CA- 71 fs loir f »*V(<Pi*)+lW(9i-r)>\

Si dans la formule (28) on suppose le degré de la fonction entière f(x) moindre que la moitié de celui de tpx, il est clair que la partie du second membre affectée du signe 77, s'évanouira. Donc on aura ce théorème:

Théorème IV. Si le degré de la fonction entière {fx)* est moindre que celui de ff x, et qu'on fait

J (jr-a)y'(ç.r)

on aura

30) *l**lyxt + VW*s + • • • + ê^m^x^

En faisant f«=l dans le théorème précédent et différcntiant k— 1 fois de suite, on aura le théorème suivant 1 Théorème V. « /'on /Vu/

)V(çT)'

— 1.2. ..(*—!)' </»*->' /(ça) b\»«.^(o,a)-61aV(9ta)/'

Si dans le théorème III. on suppose le degré Ae (fx)* moindre que celui de yx, le second membre se réduit à une constante. Cela donne aisément le théorème qui suit:

Théorème VI. Si Von désigne par v* la fonction

/»(\, + ft,x-»-»ax* + . . . + 6^

où »' r= — 1, si v est impair, et v' = — 2 -ri »- m/ jmma oh mira toujours:

31) + fjn%V(x^ + . . . -f- f^ra^O*/*) = « une constante.

On voit que v' a la même valeur pour v = 2m — 1 et pour v — 2»i, savoir *' = m — 2.

Soit maintenant

où r est une fonction rationnelle quelconque de x. Quelle que soit la forme de r, on pourra toujours faire

32) r=fx+— 4* .+^«* +...+—^--,

où fx, fvx, />,... fjc sont des fonctions entière». Cela posé, il est clair qu'en vertu des théorèmes III. et V. on aura le suivant:

Th êorème VII. Quelle que soit la fonction rationnelle r, exprimée par la formule (32), ea faisant

33) ,» = /-J* et *-^X\+YW}?*%=t* Tujovrs:

\tlmlyxl + v».V'*a + • • • + VW> = c + n-jj^ log *(*)

3*) {-f*r ,0^«.-îTa- rf^vfçiJos^-"

log*««>

en représentant par /'(Ar) le produit 1.2. 3. ..(A — 1).

Précédemment nous avons considéré les quantités xt , xt,

des fonctions de a0, a , a,, — r0, c1, Supposons maintenant qu'un cer-

tain nombre des quantités xt , *•„ . . . x^ soient données et regardées comme des variables indépendantes; et soient xx> ay ces quantités. Alors il

faut déterminer a0, «,,... <•„, rt, . . . de manière que le premier membre de l'équation (3) soit divisible par

{x—xx)(x—xj . . . (X—Xf, ).

Cela se fera à l'aide des équations (26) Les p> premières équations (Hxt . K(V = t , .0,-r, . Kfo,*,), ! 9-r, . V((f = • 0 ,x, . K(Vt-*-«)»

i Q*„-V(V = . e , xu Y{rftxM. ) donneront un nombre de p' des quantités «r0. r0, r( exprimées en

fonctions rationnelles des autres et de or,, x±,...xfi.;\f(qxl)i V(<f*ù-~V(f x,u)- Le nombre des indéterminées o0, «,,...«,, r„, ^...r. est égal à m-\-n-\-\ \ donc, comme il est aisé de voir par la forme des équations (33), on pourra faire p' = m -f- n + 1. Cela posé, en substituant les valeurs de «0, al,...cof c^... dans les fonctions Ox, 0,*, ta fonction entière (Ox)*.ç,* — (Ôj-r)*.^* deviendra divisible par

(x — xt){x — rj . . . (x — ay).

Désignant le quotient par R, on aura

56) H — A (x — )(*—*,, +,). . . (x— xj. Donc les ft — p' quantités xM,+l, ay^, ...x^ seront les racines d'une équation 72=0 du degré fi — p\ dont tous les coeffîciens sont exprimés rationnellement par les quantités xlt xt, xt,...xM.; Y(<fxJ> V(<f>xJ, . . . ^(çay). Faisons

et = f, = *, = ...= ef,i — 1,

on aura, en désignant par y(x) la {onciion J^^y

\ =v — ryl — vy4 — vy» — — v>y>

où t> est une expression algébrique et logarithmique. Les quantités x% , x^.-.x^ ; *\» *'4>'--*'iu1 «ont des quantités variables quelconques, et y,, ya,...y», seront détenninables à l'aide d'une équation du degré

Maintenant nous verrons qu'on pourra toujours rendre v indépendant du nombre /J,-f7*a des fonctions données. En efTet cherchons la plus petite valeur de y'.

Eu supposant indéterminées toutes les quantités t^, a1,...r0, c , il est clair que /* sera égal à l'un des deux nombres Sra-f-v, et 2m-j-*>9, où vl et ¥% représentent les degrés des fonctions ç^ar, q>%x. Soit p. ex.

ft = 2n + Vl,

on doit avoir en même temps:

ft = ou > 2m + *•„

d'où, en ajoutant, ou tire

^=ou>mH-« + J^,

y = n — fi' = /* — m — » — 1,

donc

,/ = ou> -îj-^— 1, ou bien, désignant le degré de tpx par *,

58) v' = ou>y — 1.

De la on voit, que la pins petite valeur de ✓ est * ^ * ou y — 1, selon que

9 est impair ou pair.

Donc cette valeur est indépendante du nombre //,-}-//, des fonctions données; elle est précicémeot la même que le nombre total des coefllciens J0, d„ J„ ... dans le 6** théorème. On aura maintenant ce théorème:

Théorème MIL Soit ux=f—'^, où r est une fonction rationnelle

J V (<px)

quelconque de x, et tpx une fonction entière de degré 2v — 1 ou 2r, et soient xt, x%y . . . Xp, x*lt x'%y...x,fli des variables données. Cela posé, quel que soit le nombre Pt+fi* des variables, on pourra toujours trouver au moyen d'une équation algébrique, v — 1 quantités ylt ya, . ..y^,, telles que:

I = « 4- « , • vy » + *a vy, 4- • • • + ViWh »

» elonl algébrique et logarithmique, et êx , f , . . . * ^ égaux à-{- iouà — 1.

On peut ajouter que les fonctions y' , y, , . . . y,-! restent les mêmes, quelle que soit la forme de la fonction rationnelle r, et que la fonction v ne change pas de valeur en ajoutant à r une fonction entière quelconque du degré » — 2.

Les équations (35) qui déterminent les quantités a^, at,...c0, eti... deviendront en vertu de la formule (39)

Kfr,*,) = ô.or, • ,*,) = — e'^, .^(qp,*»,),

Pour déterminer ft, «a, . . . on aura les équations:

Îty, • Kfo.y,) = < Ay, • Vkvjtù.

«ya • l^y,) = «Ay, • Kfo^,), oy.-i V (^-1)= v-i^y-t -Kt^-i)-

Les fonctions y,, yt, . ..y^-i sont les racines de l'équation

42) (fr)a-9iJ-(»,jr)«-?«! = 0.

' (*-*,)(*— rt)...(y-x/Ji)(Jr-*'1)(3r-*'a)(y-^l)

Le degré de la fonction «y est » = Jii±Jh±IZ±Z^ et celui de 0,y est

La formule (39) a lieu, si plusieurs des quantités jg t x%y... x\, à*,,.», sont égales entre elles, mais dans ce cas les équations (40) ne suffisent plus pour déterminer les quantités «0, «.,.. . r0, e%9...\ car si p. ex. x^=x% = . . . = xk, les k premières des équations (40) deviendront identiques. Pour avoir les équations nécessaires dans ce cas soit pour abréger

to-ViVi*) — *lx.V((f%x)=Xx.

L'expression — — — r doit avoir une valeur finie en faisant x = x. De la on (s— x,)4 »

tire d'après les principes du calcul différentiel, les h équations

43) kxi = 0, X'xl = 0, ).'xl = 0, . . . X<*-l>xl = 0,

et ce sont elles, qu'il faut substituer à la place des équations

),x = 0, ).x% = 0, . . . ).xk — 0,

dans le cas où xy = x% = . . . x*

Note sur quelques formules elliptiques.

f3 ai présenté plusieurs formules qui tiennent au développement des fonctions elliptiques <pa, fa, Fa, dans le cas où les modules e et c sont réels. Il sera facile de tirer de ces formules d'autres formules analogues pour le cas où e* est une quantité négative. C'est ce que nous ferons voir.

Soit pour plus de simplicité c=l. Cela posé, si l'on fait

1) ». -/-(;-!-> rtt-^^j,

on trouvera aisément, en vertu de la définition de la fonction f, que

2) B =^✓(1-4(1-^^ en faisant

Donc le module c est plus petit que l'unité, et comme on a b = V(l — e"), b son complément On trouvera aussi

y — «/o *»x»— — v(i— **»ui»») '

Si l'on fait

et en faisant

on a, en vertu de (S)

7) iîl — il , m = ba', o = 6o'.

Considérons maintenant d'abord la formule (185) pag. 216, qui donne la

valeur de fa. Pour en tirer celle de la fonction Xu. il suffit démettre — — b.a

à la place de o. Faisons a = -^ — b.O et pour abréger,

alors la formule (185) donne sur le champ:

XO — A 77 0-»^«-+')a-(pr"-p-^■r>^^'),

o "(1 + r*-^"1)» + (pr- — p-» .r-H-1)» '

OÙ

fl,\ (Hr)(l + ^).

Or on a

(1 r*-f i)« (çr«— ç-« . r-+')* = (1 — ? . r*") (1 — p"* . r*-+*)

(1 + r*H*f + (pr- r» . rf .)« = (1 + p« . r»-) (1 + p-« . r»-+«), par conséquent l'expression de XB deviendra en développant:

Avec la même facilité on tirera des deux formules (184) et (186), en y faisant a=^—b.6:

10Ï X'0=A' JL. (l-pa-r)(1-p-».rXl-pVr»XI-p--r») ' *l+p»' (l + pa.r«)(l + p-«.r«)(l + p».r«)(l + p-*.r«)

MM\ l.O—A»-**- 0 + P* • O ( ' + P"» • Ofl + p« . r») (I 4- p- . r») ' 1+p»' (l+p».r*)(l+p-».r»)(l + p».r«)(l + p-».r«) ••'

où A', A* sont données par les formules

12Ï ifA* (l + r*)(l+r*)(l+r>)...

' V ~ (I-r)(l-r-Xl-r*)...'

On pourra trouver d'autres expressions pour //, A', A* encore beaucoup plus simples et qui donneront des formules très remarquables. Si l'on fait dans la formule (9):

9 = -r+Th

donc en substituant,

-ni- — n

c'est-à-dire, de verta de la formule (80

d'où

En faisant dans l'expression do l'fl:

donc:

d'où Ton tire en vertu de (12):

Enfin si Ton fait dans la formule (H) 8= * on trouvera.

donc

et par suite

En comparant ces valeurs de .4, A', A* à celles plus haut, on en déduira ces formules:

16) ifb—V%.V

dont l'une est nne suite des deux autres.

Si dans l'expression de Afl, après avoir divisé les deux membres par