on fait 0= 0, et qu'on remarque que
= 1, pour 0 = 0,
ou obtiendra
17\ yre (l-r»)(l-r<)(l-r«).,.
De là on tire, en substituant la valeur de yc:
MO\ -i/*' (l+r)(l-r*)(l+r')(l-r«)...
^ V * ~ (l-r)(l+r»)(l-r'Xl+^)
= (1 + r)«(l + r«)«(l -f r4)*.. .X (1 - r*) (1 — r*) (1 — ,••).. . =((l+r)(l+r%(l+r*) . . . )Ml+r)^
A l'aide des formules (16, 14, 18) il est facile de trouver l'expression des produits infinis
(l + r)(l + r*)(l + rï)..., (1— r)(l-r*)(l-r*)...
En effet, si pour abréger on fait
,; U»=<i+i*Ki-H*)(i+»*)...
et quon ait égard â la formule
(-,-r)(l-'»)(»-r»)... = (1 + rXl + Od • = P.
les formules (14, 16) donneront sur le champ:
d'où l'on tire:
Cela donne les produits P et /*. En les multipliant entre eux, il viendra: 21) (1 + r)(l + r«Kl + r»Kl + r*) . . . = T-^T-.
De même la formule (18) donne, en substituant les valeurs de P, P'i
et de là:
formule due à M. Jacobi (Tome III. pag. 195 du journal de M. Crelle, où ce géomètre en présente plusieurs autres très remarquables et très élégantes).
Des formules démontrées précédemment on peut tirer aisément un grand d'autres.
En voici quelques unes des plus remarquables. Si Ton fait pour abréger
on aura
24) x(±x} = A. \f„ sin-r l-Vc-«« + f4. l-2y«co..2* + «»
7 Vit / v^c ' 1— 2? co«2* + tf« 1— 2o»co» 2r + ««* '
ss) x) = 21/ * . f q . cos x . ; + y ~ * + . ; + y co" * + < . . .
/ Vie / r 1— 2yco«2jr + î* l-2«»co»2x + y« •Cç8 formules ont été déduites respectivement des formules (10, 9, M), en r en A, et en faisant ensuite
ces valeurs avec celle que M. Jacobi a données pour les mêmes fonctions à l'endroit cité, on parviendra « des résultats remarquables. Savoir, en faisant dans la formule (5) de 31. Jacobi, k = c> on aura :
1 + 2f co* 2* + 2q* cos 4x + 2o* cou 6* + . . . 1 — 2ç co* 2x + 2y* co» 4x — 2ç* cos 6* + . . .
(1 +2yco«2f + ?*)(! + 2y» co**s+f)(\ +2y»co«2x + y»"). . .
— (1 -29 co» 2* + y*)(l -2?» cos 2* + 2i + y'") . . .
formule qui doit avoir lieu pour des valeurs quelconques réelles de x et q, en supposant q moindre que l'unité.
En prenant les logarithmes des valeurs de l (~ etc., on trouvera après quelques réductions faciles:
28) logA^— x) = log2— |logc— J. -^«-f logsin* •+ 2 (cos 2*. cos 4* . IL + t C086* . + . . .),
29) log A'(^*) = log2 + 1 logô— £ logr— | £ « + log cos*
50) log log*+ 4 . (cos tx . j-î-j -f » cos 6x. + ...)• En faisant x=0, on trouvera:
31) log(j) = 8. (X + ^ + 1. ^ + . . .),
32) log (1) = i. 5>-2.og2+4 (X - > . jfi. + i . JL . . .)
= 8- (-1=7» + llr» + J" Ï=H^ + *••)•
En posant dans les formules (206) et (207) pag. 220: « = 1 — on trouvera les expressions suivantes:
") '(? •) = 5 • (* x • + ** Sx- ïk> + • + • • ) -
3*) !-(£*) = &Y,. («»». TL + .«.Sx.jJ^ +COS5*. + . . .),
'Ces formules offrent peut-être les plus simples expressions des fonctions elliptiques en quantités connues.
Voici encore deux autres formules, qu'on déduira des équations (201) et (203) pag. 219, en y faisant K = y — wx:
36) A-(^) = -r.fv-ï-7 __ + ï i ...).
où r signifie la même chose que précédemment
Il y a à remarquer que les quantités r et q sont liées entre elles par l'équation:
37) log r . log q = n*.
A l'aide des expressions des modules c et b données plus haut, on pourra trouver une relation générale entre les modules de deux fonction elliptiques
qui sont réductibles l'une à l'autre. En eflet on pourra démontrer, comme je l'ai fait (voyes pag. 285) que si deux fonctions elliptiques réelles:
58) ffe»)=/w^î> ftf.^-f.^S^Mt doot les modules c et tf sont moindres que l'unité, peuvent être réduites l'une à l'autre à l'aide d'une relation algébrique entre sin 0 et sin Q\ on peut trouver entiers m et », tels que l'équation
Jo /(l — c««jn9«) 'Jo t/(l — *'«.m«9)
/* V </!> fT rfO
~ Jo V (1 -AW 6) Jo v^(I— c'«.ln«9) o' est le complément de c', savoir b' — Yi\ — «*)• Si cette condition est satisfaite on pourra toujours déterminer sin 0' algébriquement en sinfl de manière que
où a est un coefficient constant
Cela posé, désignons par w», o", r*, 9', les valeurs de ©*, r, 9, qui répondent au module r», on aura en vertu de la formule (14):
l V — O-rOC-^Xl-*") — f (l+r')(l+^)(l+r'»)...'
où r' = « . Mais l'équation (30) donne:
donc
c'est-à-dire:
Donc on a ce théorème:
t7«e fonction elliptique réelle étant proposée, si son module c est donné par la formule:
on aura /e module de toute autre fonction elliptique réelle, réductible à la
première, en mettant au lieu de r la puissance r", où n et m sont deux
entiers et positifs quelconques, c'est-à-dire, on par C le module de la nouvelle fonction:
on aura encore la formule suivante:
Dans le cas particulier où le modale r est Y\> on a o'==a/, donc:
r = er" = q.
De là il suit
que le module c de toute fonction elliptique réelle, qui est réductible à la fonction y^(| J^.a,,,»)' eti donne P™" h formule:
JL lî 4s
«m ft est un nombre rationnel quelconque.
Au reste c pourra toujours être exprimé dans ce cas en termes finis à l'aide de radicaux.
Si l'on suppose b' — c, on a C = b, œ' = a', a* = w', mais :
donc:
De là nous concluons:
5i deux fonctions elliptiques réelles, dont les modules sont leurs compléments réciproques, peuvent être réduites tune à l'autre le module sera donne par la formule:
46) VW
l+e-«^H i+e^i* 1+,-*^^ complément b par celle-ci :
oà fx est un nombre rationnel quelconque.
Nous ajouterons qu'on a en même temps :
48) F(b,V) = kVn.F(c,l»t où k est un autre nombre rationnel.
Cela donne immédiatement le théorème suivant: Si l équation diférentieUe
est intêgrable algébriquement, il faut nécessairement que le coefficient a soit égal à la racine carrée d'un nombre rationnel et positif, en supposant que les quantités A, B, C, et a soient réelles; et si a a cette forme, on pourra trouver une infinité de valeurs convenables pottr A, B, C.
Nous terminerons ces remarques par la démonstration d'une formule curieuse, qu'on tire de l'équation (20) savoir de la formule
(1 +r)(i + r»)(l +r-) . . . = fa.
En y changeant c en b, b se changera en r, et r en q, donc:
(1 +o)(l + q')(î ... = fa. - A-
En comparant ces formules, on voit que l'équation
KO) i- • (i + rXl + + »*)••• = +?)(! +**)(l+9*)
a lieu tontes les fois qne les quantités r et q sont moindres que l'unité et quelles sont liées entre elles par l'équation
log r . log q = a9.
Il existe an grand nombre de relations semblables entre q et r, par exemple la suivante:
}/[log(±)].(i+r+**+r»+^
qui est due i Mr. Ckauchij (Exercices de mathématiques). On pourra la déduire de la formule
par Mr. Jacobi, en y changeant c en b.
xm
Sur le nombre des transformations différentes, qu'on peut faire subir à fonction elliptique par la substitution d'une fonction rationnelle dont le degré est un nombre premier
Soit pour abréger
1) A = (l — ar«)(l — r\r'), A' = (1 — y*) (1 — <?*y*) et «apposons qu'on satisfasse à l'équation différentielle
en y substituant pour y une fonction rationnelle de x de la forme
où 2n+l est un nombre premier et au moins un des coeffîciens A%w¥x et B,
est différent de zéro. En
supposant, ce qui est perm
is, la fraction précédente
réduite à sa pins simple e
xpression, nous dirons que
se tra
nsformeen**
par la substitution d'une fo
nction du degré 2»+l.
Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeur!
s différent
es de y qui ré-
pondent à la même valeur
de£/i + l. Si l'on fait
et qu'on désigne par A9 une fonction de 0, telle que
<fy = ~ pour x = A9,
et en outre
il suit immédiatement de ce que j'ai dit sur le problème général de la i mation des fonctions elliptiques dans le mémoire XID., qu'on satisfera de
la manière la plus générale à l'équation A = a. ~ dans le cas où Bt
où a est une quantité de la forme
m et m1 étant deux entiers. Maintenant, ayant trouvé cette solution, il suit encore de la formule (ol) du- mémoire cité que toutes les autres valeurs de y
seront de la forme ^ + ^ y ou y est donné Par et f%> f> ff> ffl soat des quantités constantes qui doivent satisfaire à l'équation
')(«+if^-)0+iEf-)(1+ifîî^-)0+^-*)
Cette équation donne vingt-quatre systèmes de valeurs différentes. On trouve ainsi qu'a chaque valeur de a répondent 24 valeurs de y et douze valeurs du module r*. Mais comme les valeurs de y sont deux à deux égales, mais de signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la même raison nous réduirons le nombre des valeurs de cl à six. Cela posé, si Ton fait pour
abréger:
ip = *(l - £). . .(l - r=(l -<*fa.3*)...(l-<*)*(na).x*y,
on trouvera aisément ces valeurs correspondantes des trois quantités e*, «, y: I. II. III. IV. V. VI.
l— * i. 6?x <£>•■ ». <£sr-
y — ) i r . ^ ' r^T^' ïT*ï^' i-B'4«f>" i + «vr./,:.-»
\ o« p r (où i = V— !)•
On voit qu'à chaque valeur de c1 correspondent deux valeurs différentes de la fooction y. Maintenant si l'on attribue aux nombres m et m1 des valeurs entières quelconques, on aura toutes les solutions possibles de notre problème. Or parmi ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui seront différentes entre elles. Cherchons d'abord les solutions différentes qui répondent au premier cas, savoir cl = t* et y = ~ Pour les trouver soit
a1 une valeur de a et désignons les valeurs correspondantes de y, p, v, â, e par y\ p\ v\ à\ tK Cela posé il est évident, que si y1 doit être égal à±y, on doit avoir:
Or en vertu de (8) on ne pourra avoir p*=p, à moins que les quantités A*«, A*(2a), . . . A*(»a) ne soient, quoique dans un ordre différent, égales a celles-ci:
AV, l*(2a*), . . . A*(««»).
Soit donc
A'rt1 = X*(jia),
où p est moindre que ». On en tire Aa1 = ^ X{pa) et de là, en vertu du théorème II. du mémoire XDI:
a1 = ka -{- #a>' ± pa, où * et A1 désignent des nombres entiers quelconques. Cela donne
et puisque
A(0-f-(2» + l)«) = A9, et 2» -J- 1 e8t on nombre premier, il suit que
pl — p, v1 = v, ôl = â, tl = t.
Donc les solutions qui répondent à a et a* sont précisément égales entre elles.
Soit d'abord m'=0 en sorte que « = j^.
Si l'on fait £l = 0, et qu'on détermine Icb nombres * et p de la manière à satisfaire à l'équation
on aura
On voit par là que la solution qui répond à a = - — est la même que celle qui répond à a = — quel que soit m.
mx différent de zéro, on aura
Zn + 1
Si Ton détermine les deux nombres entiers /* et *» par l'équation et * par celle-ci: k ± JîfL= - v ,
où » est positif et moindre que 2» -f- 1, on aura
On voit de là, que pour toutes les valeurs différentes de v et p, il suffit de donner à a les valeurs:
w> *»7T' STT î»Tï' 2^TT' • " ' "âTiT" Or toutes les solutions ainsi obtenues seront effectivement différentes entre
elles; car si l'on attribue à a et à a1 deux valeurs différentes de la série (10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire à l'équation
a1 = ku> -f- Ar1©1 ^ fia, qui exprime une condition nécessaire de l'identité des deux solutions qui répondent à a et à a1.
Donc le nombre des solutions différentes qui répondent à y = — • ^-est
2» -f- 2. Maintenant si l'on attribue à a toutes les valeurs (10), les formules (9) donneront 12. (2»-f- 2) solutions, et il est évident que toutes les 12.(2n+£) valeurs correspondantes de y seront nécessairement différentes entre elles. Cependant il ne répond a ces 24.(»-f 1) solutions que 12.(»-J-1) valeurs du module. II faut observer que la conclusion précédente n'a pas lieu pour le cas particulier où » = 0. En effet, dans ce cas y n'aura que douze valeurs différentes, car les deux valeurs a = w, a = w1, auxquelles dans ce cas si* réduisent les quantités (10), donneront pour y une même valeur, savoir y = x. 11 faut remarquer égalément que le module c ne doit avoir les valeurs zéro et
l'unité. Dans ces cas la fonction J — n'est plus une fonction elliptique, mais circulaire ou logarithmique.
On poam mettre les hait dernières valeurs de y (9) sons une antre forme gui est à quelque égard pins élégante. En effet on pourra démontrer qu'on à v - â.p=z(l— x.Vc)(\ — 2*1Vrc.*+r.jr«)(l— VciVcx+cx*)...
v—tj) |^1=(1^— 2k\V— cjc— ex •) (1— 2Jc\V— cjc— c**)-
...(1— Zk\V— ex— ex*).
En changeant le signe de x, on aura des expressions semblables pour v-\-ip et v + d.p.V— 1- Les quantités A,, klt ...kn sont données par la formule
k Mtut)
Pareillement on a
ii A(f"0
où désigne la quantité
Donc le numérateur et le dénominateur de la fraction (3) qui exprime la valeur de y, se trouvent décomposés en facteurs dans tous les cas.
Dans le cas où le module c est moindre que l'unité, les équations (9), nous font voir, que généralement les modules -des transformées sont imaginaires, excepté ceux qui répondent à
« = - — - et a « = - ,
et en même temps à Tune des solutions L, IL, IIL, IV. Il n'y a donc que huit modules réels. Si l'on ne désire que ceux qui sont moindres que l'unité, on n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, r ayant des valeurs particulières, qu'un plus grand nombre des modules transformés sont réels, .le ferai voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes ces valeurs particulières. Pour le moment je ferai connaître une manière d'exprimer toutes les valeurs du module cl à l'aide de produits infinis.
Si e est moindre que l'unité, <a sera une quantité réelie, m1 au contraire sera imaginaire ; car on a
c'est-à-dire, si l'on fait
OÙ
od aora
wl = w -f- o ^ — 1»
où o est une quantité réelle comme ». Cela posé les 2n-{-2 valeurs de « deviendront:
2n + l ' " * * jVï+ï ' A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci:
u crf oi'+2o crf+4o cw'+4oo
5ÏTP 2^7P -2^TT' "2^' 2^ï~'
où i = V—î.
En faisant <? = 1, e — (formule 189. pag. 217), et mettant ensuite 6o et fa au lieu de co et o, et enfin « = o(£ — e), on trouvera )A=fa et la formule donnera en vertu de quelques réductions faciles :
1S) • .fw- ,). ['-^-gO^K'-^-gQ*'-]-,
où y = e w .
Pour avoir la valeur de « (8), il suflit de chercher les valeurs de X.(^ -f- a)f
moyeu de la formule précédente, et de les multiplier ensuite entre elles. D'abord si l'on fait a = -£~x on trouvera aisément 15} * = 2 VV»+» /1+f »<**"> . 1 y
De même si Ton fait
ai + 2(u>
" *rrr *
et pour abréger
on parviendra à cette formule:
Donc ou voit, que pour avoir toutes les valeurs de r, il suffit de substituer dans l'expression
au lieu de y, 2»+2 valeurs y1-*1, ©=F», d, q^t d\ tf**,... où 1,
d„ dJ,...sont les racines de l'équation d*»+»=l. Deux seulement des valeurs de « sont réelles, savoir celles qui répondent à la substitution de «*•+'
et q*+\ c'est-à-dire à
u . en* 2» + l 2» + 1
Il suit encore des formules précédentes que toutes les 2» + 2 valeurs de « sont nécessairement différentes entre elles, excepté peut-être pour les cas de valeurs particulières du module c. Ayant trouvé les valeurs de et on aura celles du module c1 à l'aide des équations (9). Il y a à remarquer que l'expression (15) est précisément la valeur de Yc> comme on peut le voir en faisant 0 = ~ • Dans le cas où l'on suppose y de la forme — .t>, le module
r1, suivant'!. (9) sera égal à «*, donc = Par conséquent dans ce cas le module c se changera successivement dans toutes les valeurs du module c\ si l'on remplace dans la formule
,6) „.,.ft.(J±tf.J±$...)\
y par o»-+s J/>, «Wy, ryq,...àYVq.
Ce théorème s'accorde parfaitement avec le théorème énoncé par Mr. Ja cobi dans le tome 111. pag. 195. du journal de Mr. CreUe. Seulement à l'endroit cité la fonction de q, qui exprime la valeur de Ve* est présentée sous une autre forme. Donc on trouverait immédiatement le théorème de ce géomètre, si l'on pouvait parvenir à démontrer l'identité des deux fonctions
On pourra eucore démontrer qu'on aura les 2» -f- 2 valeurs de c\ en mettant dans la formule |8)
les quantités r**1, Vr, âVr, d*Vr, . . . d»Vr, au lieu de r, la lettre r dé-
It
signant la quantité e ° Donc cette quantité est liée à q par l'équation
Pour avoir la valeur du coefficient a il faut connaître celle de d (8). Or en pourra la déduire aisément de la formule (12), en y faisant 0=«, la . . .nu. On trouve de cette manière que les valeurs de à qui répondent respectivement à
o ai ci+2t>
tt — 2»+i> STÎ' "2^T"' 2^T'
sont égales à la valeur de l'expression
*•+! la+l
en y supposant au lieu de q les valeurs q*+\ Yq, èyq> à\Vq, . . . i\'Vq. 1
xvm
Théorème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce.
Si one intégrale algébrique f(y,x) = 0 satisfait à l'équation on aura toujours:
où ^, A, « sont des quantités données, A\ B', m, k des quantités constantes, fonctions des premières, et p une certaine fonction algébrique de y et x. Il est très remarquable que les paramètres m et » sont liés entre eux par la même équation, que y et x; savoir /"(m, w) = 0. Dans le cas où » est infini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde espèce et dans ce cas on pourra démontrer que
où v est une fonction algébrique des variables x et y.
Au reste il est aisé de démontrer la formule (a). Il n'y a qu'à difierentier l'équation
/ds p dy
✓ [(1 —r*)(l - c»**)] —J V [0 -jr*)(i - C V)] ' par rapport au module c. Je me réserve de donner dans un autre mémoire des dévcloppemcns plus étendus sur le théorème ci-dessus.
Théorèmes sur les fonctions elliptiques.
La formate donnée par Mr. Jacobi dans le tome 111. pag. 86. du journal de M. Crelle peut être établie facilement à l'aide d'un théorème que nous allons démontrer dans ce qui suit
En faisant 9O = x, on aura, en vertu de ce qu'on a vu dans le §. IU. du mémoire XII. pag. 1»7,
1) y(2» + 1)0 = Iîy
où R est une fonction rationnelle de x, le numérateur étant du degré (2it-J-l)a et le dénominateur du degré (2«-f 1)*— • 1. L'équation (I) est donc du degré (2« -J-l)* et ses racines peuvent être éxprimées par la formule:
en donnant à m et /i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n incl. Soit pour abréger
l'expression des racines sera:
Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant:
Théorème I. Soit y0 une fonction entière quelconque de la quantité 9(0 + ma -\- ftfl) qui reste la même en changeant 0 en 0 -f- « et en 0 + fi. Soit v le plus grand exposant de la quantité ç9 dans la fonction tpO on aura toujours
5) tfrO = p + q .f{în + 1)0 . F(2» + 1)0
où p et q sont deux fonctions entières de 9(2» + 1)0, la première du degré t et la seconde du degré v — 2
Démonstration. Eu vertu de la formule (10) pag. 145. on a «ft -I ma 4 „*\ — 99 /(ma + tf) ■ F(ma + |tg) + 9(wa + ^ft) ,/8 . Fi
vv -r ™« -r — , + ,,e> 9>(ma + ^ . çtfi
Cela fait voir que yi pourra s'exprimer rationnellement en <pi et fi. Fi. Or le carré de fi. Fi est rationnel en <pi, savoir
(fi.Fi)* = (l — cVO) (1 -f *V<»> donc on pourra faire en sorte que l'expression de yi ne contienne la quantité fi. Fi qu'à la première puissance. On pourra donc faire
7) TO=ViM) + Va(0)./'O.FO,
où y^tpi) et y,(y8) sont des fonctions rationnelles de <pi.
Si l'on met w — 8 à la place de 0, on aura, en remarquant que ?>(<o — 8) = Ç9, /•(„ — 6) = — /"fi, F(a— i) — Fi :
8) ^(w — Ô) = y foi) — yt(çQ) ./"8 . Fi. Des équations (7 et 8) on tire:
9) = M** + v(û>— 0)), 10) *,<çO)./'O.F* = i.(v* — ¥(« — •)).
Considérons d'abord la fonction y,(7>8). En y mettant 0 -f- « au lieu de 8, il viendra:
v,(v(o+«)) = l.(v(o+«) + V(— «— 0)); or on a y(0-f-«) = V0> et par conséquent aussi, en mettant w — « — 0 au lieu de i:
itfo>— i)= y(a — « — 0);
donc
c'est-à-dire
On aura de la même manière:
La première de ces équations donne, en mettant successivement 8-j-«, 8-f-2a,.. . ... au lieu de 8: *
11) v'i(<p(* +»««)) = f»(9*), où m est un nombre, entier quelconque.
La seconde équation donne également
?,(>(*+/</*))= ViM), d'où, en mettant 8 + ma au lieu de 8, et ayant égard à l'équation (11) on tire;
1 2) yt{a{i + mu +(*(?)) = y&i).
Donc la fonction y^tpi) reste la même, en y substituant au lieu de <pi une autre racine quelconque de l'équation (1). En attribuant à m et /i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2» et puis ajoutant, la formule (12) donne:
15) tl(ç»)S=s^.f-Ç^,.(»(« + »«+fifl> Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (*), donc on pourra l'exprimer rationnellement par les coefQciens de cette équation, c'est-à-dire en o-(2»-|-l)0. Soit
la quantité p sera une fonction rationnelle de <j>(£n-}~ Or je dis que p
sera toujours entier. En effet soit y(2n-\- 1)<) =r y etp— où p* et 9' sont
des fonctions entières de y sans diviseur commun. Soit y = ç(2n -}- l)d une racine de l'équation q-' = 0: la quantité = £ (ipO -|- ^-(to — 0)) sera infinie en faisant 0=d, donc on aura yâ -j- y(<a — #) = ^; maintenant il est évident par la forme de la fonction t^O, que cette équation ne peut subsister à moins qu'une quantité de la forme
q(d+ma+up) ou <jp(*— â+ma+pfl) n'ait une valeur infinie. Soit donc tp(d+tnu-\-uP) = ^ on aura en vertu de l'équation (30) pag. 153:
où m' et »' sont des nombres entiers; or cette valeur de ô donne:
?ee»+i)«^(((£ii+i)«»+*-£w>+((a.+i)«'+ii-^>f+ ° »),
c'est-à-dire (26. pag. 151.):
Maïs cela est impossible, car une racine quelconque de l'équation q' = 0 doit être finie. On trouvera également que ç(w — d-f" ma "f* — v donne 9(2«+ l)d=.J. La quantité p est donc une fonction entière de <f (2«-f 1)0.
Considérons maintenant l'équation (10). En divisant les deux membres par /*(2» + 1)0 . F(2n + 1)0, on aura :
/(2« + l)*.FÇZn + 1)9 "~ **/(*" + >)••*(*•+ 0» ' En vertu de ce qu'on a vu (45) pag. 157, on aura f(2n-{- 1)0 = /"O .«, F(2w-f- 1)0 = .FO. 0, où u et» sont des fonctions rationnelles de ?0; donc le second membre de l'équation précédente sera une fonction rationnelle de qpO. Eu la désignant par z(?0), on aura:
XW ) */(> +!)».#■<> + !)«
En mettant 9 + a au lieu de 9, il viendra y(9 + a) = y9, y(<o— (9 + a))
/*(£»+ l)(9-j-«) = /-((2n + 1)9 + 2m» +2/48») = f(in + l)% F(2» + 1)(9 + «) = F((2» + 1) 0 + 2m<* + 2/,oi) =F(2ii+ 1)9, donc on aura
De la même manière on trouvera
On en tire, comme plus haut, à l'égard de la fonction %(<ph\ que fat) peut être exprimé par une fonction entière de ç>(2» + l)9. Soit donc
on aura:
et enfin:
14) ^9 =/» -f 9 .A2»+l)9.F(2n+l)9, où p et q sont des fonctions entières de <jp(2»-f-l)9.
Ponr trouver les degrés de ces fonctions, soit (?9)'.x4 ta terme de V>9, dans lequel ç>9 est élevé à la plas hante puissance, on aura, en supposant çO infini:
f9 = ^.(9>9)v, où A est une constante. De même on aura
et par suite:
mais pour ç>9 infini, on a ç>(2n-f-l)9 = /ï.<f9, où Z? est une constante, lisait de là que sera du degré v par rapport à y (2» -{- 1)9. On démontrera de la même manière que la fonction q sera du degré •> — 2, tout au plus.
Voilà démontré notre théorème.
Dans le cas où la quantité ç>9 ne monte qu'à la première puissance dans if 9, on a v= 1; par conséquent y sera do degré — 1, c'est-à-dire q=0. Donc on a dans ce cas
15) yl = A + #.t>(2» + 1)9,
où A et B sont des quantités constantes, qu'on trouvera facilement en faisant 9 = 0 et ç9 =
Soit par exemple *9 le produit d'un nombre quelconque des racines de l'équation (1), et faisons
V'Ô = £m£M0+ ma + pP\
il est clair qu'on aura y(0) = y(0+a) = y(e-\-p) en remarqoant que
*(0-M2»+l)«+///î) = jr(0+,//J)
et Ji(fl+(2n+l)<?+»ia)=:jï(0+ma).
Donc
16) 2Jm£ n(0 + ma+nP)=A+B.<p(2n+l)0.
11 faut remarquer que Tune des quantités A et B est toujours égale à zéro. On a A = 0, si le nombre des facteurs de «0 est un nombre impair, ct2*=0, si ce nombre est pair. Donc la quantité tf>0 est indépendante de la valeur de 0. Dans ce dernier cas, par conséquent, en faisant, 0 = 0 on a:
17) £m£M0+ma+Mft = £% rtma + ptl).
Donc en faisant
on a
^?(H««+/'iî).?(H('«+*)«+(^+^)
o o r la 2a
= £m£ Mma+iifî.tp^m+tya + iji +*)/*)>
où k et Ar' sont des nombres entiers quelconques, moindres que 2»-{-l. Cependant on ne peut pas supposer à la fois k = 0, A* = 0. Car cela donne n0 = (<f'0)* et par suite v = 2, tandis qu'on doit avoir
De la même manière que nous avons démontré le tbéorème précédent on pourra encore établir les deux suivants:
Théorème II. Soit yO une fonction quelconque entière des quantités de la forme A0 +"'< + /'/')* telle que
tp» = v(fl+«) = V(«+/î)»
on aura:
yO=p+q. ?(2» + l)0.F(2«+l)0, où p et q sont des fonctions entières de f(2n+ 1)0, la première du degré v et la seconde du degré y— 2, tout au plus, en désignant par * le plus grand exposant de fe dans tp0.
Théorème 111. Soit y0 une fonction quelconque entière des quantités de la forme Flo+mu+fifi), telle que
V(0) = V(0+«) = V(0 + fl,
on aura
où p et q sont des fonctions entières de F(2»+l)0, la première dn degré v et la seconde dn degré v — 2," tout an plus, en désignant par * le plus grand exposant de F6 dans yQ.
En vertu du premier théorème ou voit sans difficulté que la valeur de
''(sït)' exPrimée en foncti°n de
où /»„ et qm sont deux fonctions entières de <p0, la première impaire et du degré fn-J-1, la seconde paire et du degré 2n — £. D'ailleurs ces fonctions sont déterminées par l'équation
p\— q*.{ff>)%- W = (<p*0—a*m)*+\ où a. est une constante.
ChrUUauU le 27. Août 1828.
Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions
Théorème. Soit y une fonction de x qui satisfait à une équation quelconque irréductible de la forme:
1) o=jvf />, • y + •••-f-/WîT-,+ y"
0u Po> Pi> P%)"-P»-i 80nt ^es fonctions entières de la variable x. Soit
2) 0 = q0+ qx .y + q%.y% -f- . . . q^ .y""1,
une équation semblable, q0, qt, qt1 . . . 9^ étant également des fonctions entières de xy et supposons variables les cocftlciens des diverses puissances de x dans ces fonctions. Nous désignerons ces coefficiens par a, a*, a*, ... En vertu des deux équations (1) et (2) x sera fonction de a, tf, a*, . • • et on en déterminera les valeurs en éliminant la quantité y. Désignons par:
le résultat de l'élimination, en sorte que p ne contiendra que les variables x, «,«',«•,... Soit le degré de cette équation par rapport à xt et désignons par
4) xxy xt, xt1 . . . x^
ses ft racines, qui seront autant de fonctions Je a, tf, <f,... Cela posé, si l'on fait
5) yx=J'f(x,y).dx
où f(x, y) désigne une fonction rationnelle quelconque de x et de y, je dis, que la fonction transcendante yx jouira de la propriété générale exprimée par l'équation suivante:
6) yxl+yxt+... + vxp=u-\-kllogvl+kslogvt-\-...+ku)ogv„
«, v„ t>„ • . - v. étant des fonctions rationnelles de a, a', <r% . . ., et klt k„...km «les constantes.
Démonstration. Pour prouver ce théorème il suffit d'exprimer la différentielle du premier membre de l'équation (6) en fonction de a, a', «•,...; car
il se réduira par là à une différentielle rationnelle, comme on le verra. D'abord les deux équations (1) et (2) donneront y en fonction rationnelle de xt a, a't o% ... De même l'équation (3): ç = 0 donnera pour dx une expression de la forme
dx = a . da+ a'. da> -f- W . dtt -f . . . , où a, a', «•,... sont des fonctions rationnelles de x, a, tt, . . . De là il suit que la différentielle f(x,y).dx pourra être mise sous la forme;
f(x,y)dx = (px.da-^ffyX.dtf+qft.dtf -f- . . ., où <px, ç,*, . . . sont des fonctions rationnelles de x, a, a?, te,... En intégrant, il viendra:
yx=f(tpx.da-{-q>ix.da' -f- . . .) et de là on tire, en remarquant que cette équation aura lieu en mettant pour x les ft valeurs de cette quantité:
7) Y*i4-V'-ri4--^ =f((9*i + <P*% + • • • 4" <f*v)da + fox, -f- qp tx% + . . . -f q>,Xy)dit -f . . .). Dans cette équation les coeflîciens des différentielles rfa, da\ . . . sont des fonctions rationnelles de a, a', a*,... et de xxt xv...x^ mais d'ailleurs ils sont symétriques par rapport à xgt xt,... x^\ donc, en vertu d'on théorème connu, on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par «, a', a% . . . et par les coeflîciens de l'équation ç = 0; mais ceux-ci sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des variables a, a', a',..., donc enfin les coeflîciens de rfa, «/«», rfa», ... de l'équation (7) le seront également Donc, en intégrant, on aura une équation de la forme (6).
Je me propose de développer dans une autre occasion de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront un grand Jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s'agit.
ChriitianU le 6. Janvier 1820.
Précis d'une théorie des fonctions elliptiques.
Introduction.
ï^a théorie des fonctions elliptiques, créée par Mr. Legendre, forme une des parties les plus intéressantes de l'analyse. Ayant essayé de donner de nouveaux développement a cette théorie, je suis, si je ne me trompe, parvenu à plusieurs résultats qui me paraissent mériter quelque attention. Surtout j'ai cherché à donner de la généralité a mes recherches, eu me proposant des problèmes d'une vaste étendue. Si je n'ai été assez heureux de les résoudre complètement, au moins j'ai proposé les moyens pour y parvenir. L'ensemble de mes recherches sur cet objet formera un ouvrage de quelque étendue, mais que les circonstances ne me permettent pas encore de publier. Cest pourquoi je vais donner ici un Précis de la méthode que j'ai suivie, avec les résultats généraux, auxquelles elle m'a conduit. Ce mémoire sera divisé en deux parties.
Dans la première je considère les fonctions elliptiques comme intégrales indéfinies, sans rien y ajouter sur la nature des quantités réelles ou imaginaires, qui les composent. Je me servirai des notations suivantes:
àM = ± V (d -**) (i Il(x,c,a) =
o(x,c), js0(x,c), /7(x,f,o) désignent respectivement les fonctions de première, de seconde et de troisième espèce.
Pois je me suis propesé ce problème général: "Trouver tous les cas possibles dans lesquels on peut satisfaire à une équation de la forme: «,.«(«„<?,) -f cr,.efa,^) + . . • -f + .o„(^p C.) + a't.0o(*i» + • • • + a'm.o0{x'my c'm) -f a\.n(aflt C„ -f a\.n(x-t, C%> aj + . . . + «V^(^, ey^)
=u + i4, log », + ^, log -f to&«N>
où
"V «V • • ««V» ^i» • • • ^ sont des quantités constantes, xlf xt, ...xu; x\, . . . afm; xwli a*f, . ..x*^
des variables liées entre elles par des équations algébriques, et
des fonctions algébriques de ces variables."
Jétabli^ d'abord les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, ou ce qui concerne leur sommation, en faisant usage d'une méthode particulière, qui en même temps est applicable avec la même facilité à une infinité d'antres transcendantes plus compliquées. En m'appuiaot sur ces propriétés fondamentales, je considère ensuite l'équation dans tonte sa généralité et je fais le premier pas à mon but en démontrant un théorème général sur la forme qu'on pourra donner à l'intégrale d'une fonction algébrique quelconque, en supposant cette intégrale exprimable par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques, théorème qui est d'nn grand usage dans tout le calcul intégral, à cause de sa grande généralité.
Jcn tire, comme corollaire, le théorème suivant:
"Si/^, où r est une fonction rationnelle quelconque de x, est exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques et par les fonctions elliptiques v, Vu V«>"-> on pourra toujours supposer
6) y^S) = P*{x'c) + ° ' V ^ + a'V 'M + *' ' V'a(yi) + • ■ •
où toutes les quantités p, qx> q%) . . .q\, q\y . . . y, y, , y%, . . . sont des fonctions rationnelles de x*)."
*) Ce théorème a également lien, al A(x>c) eat la racine carrée d'une fonction entière d'un degré quelconque.
De ce théorème je tire ensuite celui-ci :
"Si une équation quelconque de la forme (a) a lieu, et qu'on désigne par c un quelconque des modules qui y entrent, il y en aura parmi les autres au moins un module C tel, qu'on puisse satisfaire à l'équation différentielle :
dy dx
en mettant pour y une fonction rationnelle de x, et vice versa."
Ces théorèmes sont très importants dans la théorie des fonctions elliptiques. Us réduisent la solution du problème général à celle de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation
dy dx
où à la transformation des fonctions de première espèce. Je donne la solution complète de ce problème, et j'en tire ensuite la transformation générale des fonctions de première espèce. Je fais voir que les modules doivent nécessairement être liés entre eux par une équation algébrique. On peut se contenter de considérer le cas, où le degré de la fonction y est nn nombre premier, en y comprenant l'unité. Si ce degré est désigné par /i, <f pourra avoir 6(/«-f- 1) valeurs différentes, excepté pour /i=l, où ce nombre se réduit à 6.
La seconde partie traite les fonctions à modules réels et moindres que l'unité. Au lieu des fonctions a(x,c), o0(x,c), //(x,r,a) j'en introduis trois autres, savoir d'abord la fonction 1(0), déterminée par l'équation
C'est la fonction inverse de la première espèce. En mettant x = i,9 dans les expressions de o0(x,f), ll(xtc,a), elles deviendront de la forme:
Mises sous cette forme, les fonctions elliptiques offrent des propriétés très remarquables, et sont beaucoup plus traitables. C'est surtout la fonction A0, qui mérite une attention particulière. Cette fonction a été l'objet, du mémoire XII. où j'ai démontré le premier quelques-unes de ses propriétés fondamentales. On en trouvera d'avantage dans ce mémoire. Je vais indiquer rapidement quelques-uns des résultats auxquels je suis parvenu:
1. La fonction 19 jonlt de la propriété remarquable d'être périodique de deux manières différentes, savoir non seulement pour des valeurs réelles de la variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En effet si l'on fait pour abréger
a /»' ds o z»1 </x
où b = Y(l—ct) et ]/ — l=ri, on aura:
A(0+ 2a) = A0 ; À(0+ ut) = >.0.
2. La fonction /.0 devient égale à zéro et à l'infini, pour une infinité de valeurs réelles et imaginaires de 0, savoir
/(ma + ncoi) = 0, /.(mo + (»-)- j)»*) = ^> où m et » sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. De même on a
si fl» = ( — l)"0-f mo + nwi; mais cette relation est nécessaire.
5. La propriété fondamentale de >.ô est exprimée par l'équation
où 0' et 0 sont des variables quelconques, réelles ou imaginaires.
A. La fonction i.0 pourra se développer en facteurs et en fractions de beaucoup de manières; par exemple si Ton fait pour abréger
on a:
«in(*ro\ C«-V-^(»«Hy4][i- V-"'(»«)^,]P-«T'-"«(»«>«-y "3 • ••
=st7L' W- (ï^'"iBCfa)+ I^.-.1n(Sfl»H-r^i.«h. (Sftr) + . .
^2 ' Vc (i+/,.e'*')(l + p. +p».*-*™)(l +/»». «"")...
On pourra exprimer d'une manière analogue la fonction de seconde et troisième espèce.
5. Une des propriétés les plus fécoudes de la fonction i.0 est la suivante:
[On a fait pour abréger: M' = ±V((l — >*0)(l — cVô))] "Si l'équation
«~i + • • ■ + «iW + «o= (M« + *i W + • • • +
est satisfaite, en mettant pour 0, 2» quantités 0,, «„ .. . 0,», telles, que (AOJ*, (A9,)", . . . (ie,.)' soient différentes entre elles, on aura toujours:
- 1(M =+,.„,+,,+...+ = xt|^^ ,
les coefôciens a0, c^, . . ., ô0, 61} . . . pourront être quelconques, et il est facile de voir qu'on pourra les déterminer de sorte que e,, 0„ . . . 0*^
Voilà une autre propriété plus générale: "Si l'on fait
p* — —x*)(i—c*x*) = A(x — AO,) (x — . . . (or— où p et y sont des fonctions entières quelconques de la quantité indéterminée x, on pourra toujours supposer les quantités 01} 0„ ...0^ de la sorte que l'expression
i(e14-«.4-o, + ... + oK)
soit égale à zéro ou à l'infini."
Ainsi p. ex., si
p*~q*(i—x*){\—c*x') = A(x* — A*0)>S où l'une des fonctions p et q est paire et l'autre impaire; on aura
1) si p est pair:
*fyift) = 0, si n est pair et A(j<9) = £, si ft est impair;
2) si p est impair:
A(/iô) = 0, si fi est impair et A(/iO) = |, si est pair.
De là il suit encore que, si l'équation ci-dessus a lieu, on aura toujours:
où m et n sont entiers et moindres que u.
