Si la fonction

dont le module c est réel et moindre que l'unité, peut être transformée dans

dont le module & ést réel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction algébrique quelconque de x, il faut nécessairement que le module & soit déterminé par l'une des deux équations: 1

K'-K*.Kf,.(l + f|)(I + fi>)(l + frt, Y& i— 9i . i— y.*

où çrl = yfl, étant rationnel; ou ce qui rerient au même:

et fi' étant des nombres rationnels quelconques.

8. La théorie de la transformation devient très facile à l'aide des propriétés les plus simples de la fonction 29. Pour en donner un exemple, soit proposé le problème: satisfaire de la manière la plus générale à l'équation

Ab,,*) 'A(x,r)'

en supposant c et C moindres que l'unité et y fonction rationnelle, réelle ou imaginaire de x.

Soit x = >.% y = ÂT, en désignant par /.' la fonction qui répond au module c'. L'équation différentielle se changera dans ce cas en dty = f <ft, d'où

0' = f 9 + Oy

a étant une constante. Cela posé, soit

on aura *(*e+«) = ?<$.

En mettant ô + 2o, 9 + w* aa Iie0 de 9, >9 ne change pas de valeur et par conséquent on doit avoir:

/.'(«$ -f" éwi -|- «) = + «)• Donc, si l'on désigne par o' et «' les valeurs de o et on qui répondent au module <?, on aura en vertu de (2):

2ta — £mo' -f-

ce qui donne

donc:

ou bien:

Maintenant, si c est indéterminé, cette équation ne pourra subsister à moins qu'on n'ait ou « = 0, m' — 0, ou »' = 0, m = 0. Dans le premier cas é est réel et

et dans le second cas « est imaginaire et

2 a u Supposons e réel. Alors on aura ce théorème:

"SI deux fonctions réelles peuvent être transformées l'une en l'autre il faut qu'on ait entre les fonctions complètes o, w, o', w' cette relation.

a' m'a* où »' et m sont des nombres entiers."

On pourra démontrer que si cette condition est remplie, on pourra effectivement satisfaire à l'équation

Rien n'est plus simple que de trouver l'expression de y. Il suffit pour cela de chercher les racines des deux équations çar = 0, fx = 0.

Désignons par Xâ et Ad' une racine quelconque de ces deux équations, on aura, pour déterminer â et ô'} ces deux équations:

ce qui donne:

c'est-à-dire:

À: et Ar» étant des nombres entiers. Pour trouver «, il suffit de remarquer que A8 ne change pas de valeur en mettant a — 0 au lieu de 0. On aura donc

ce qui donne

a = £((2/i -f- 1 — m)a' -f- /i'w'i) Dans le cas où m est impair, on pourra toujours faire « = 0.

Connaissant les valeurs de A et <V, on aura' immédiatement les racines des deux équations tfx = 0,fx = 0, et par suite l'expression des fonctions (fx et f x en factorielles Les formules les plus simples répondent aux cas de m = 1 ou w' = 1, et elles sont les seules dont il s'agit, comme il est aisé

de voir par l'équation — = — • -- . On pourra aussi se" servir des ex-

- pressions de la fonction A0 en produits infinis rapportées plus haut J'ai fait voir cela dans les mémoires XIII et XIV.

9. Le cas où un des modules c peut être transformé en son complément — «.•*) = b, mérite une attention particulière. En vertu de l'équation

-°- = — • —, on aura dans ce cas o' ma

*L=]/(m-) et = V(m.n). * Le module c sera déterminé par une équation algébrique qui parait être résoluble par les radicaux: au moins cela aura lieu effectivement si — est un carré parfait Dans tous les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis. En effet, si £=j/(^-), on a:

Si deux modules r» et c peuvent être transformés l'un dans l'autre, ils auront entre eux une relation algébrique. Mais généralement il parait impossible d'en tirer la valeur de C en c à l'aide de radicaux % mais il est remarquable, que cela a toujours lieu si c peut être transformé en son complément Par exemple si c* — ^.

Les équations modulaires jouissent d'ailleurs de la propriété remarquable, que toutes leurs racines peuvent être exprimées rationnellement par deux entre elles. De même on pourra exprimer toutes les racines par l'une d'elles à l'aide de radicaux.

10. On pourra développer la fonction ÂO de la manière suivante:

où le numérateur et le dénominateur sont des séries toujours convergentes. En faisant

= e + oo' -f «'ô* + . . .

/•û=l-j-fr04-f-o"0' + ...

ces deux fonctions auront la propriété exprimée par les deux équations:

»(•'+ «).*(0' — o) = foe/or — (vO' ./••)», f(*' + o)-Ao' — 0) = f/o./V)* — c'M.çor,

*) Dans le cas par ex. ob y eat de la forme:

r e' ' (l — o***) (!—««**) "-3'' < l'équation entre e' et e eat du sixième degré. Or je suis parvenu à démontrer rigoureusement, que si une équation du sixième degré est résoluble à l'aide de radicaux, cette équation sera décomposable ou en dent autres du troisième degré, dont les coefficients dépendent d'une équation du second degré, ou elle sera décomposable en trois équations du second degré, dont le* coefficiens sont déterminés par une équation du troisième degré. L'équation entre c' et c ne parait guère être décomposable de cette aorte.

où 0' et 0 sont deux variables indépendantes. Ainsi p. ex. si l'on fait 0'=0, on a

Ces fonctions jouissent de beaucoup de propriétés remarquables.

11. Les formules présentées dans ce qui précède ont lieu avec quelques restrictions, le module c étant quelconque, réel ou imaginaire.