Chapitre I

Propriétés générales des fonctions elliptiques. Les fonctions elliptiques jouissent comme on sait de cette propriété rc- . marquante, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique. La découverte de cette propriété est dùe à M. Legendre. La démonstration que cet illustre géomètre en a donné, est fondée sur l'intégration algébrique de l'équation différentielle:

dy ds

✓(a + |iy + fs* + &y* + ijr4) ~ /(a + + y** + + ' L'objet de ce chapitre sera de démontrer cette propriété des fonctions* elliptiques, mais en s'appuyant sur des considérations différentes de celles de Mr. Legendre.

Démonstration d'un théo rime fondamental.

Nous commencerons par établir un théorème général qui servira de fondement de tout ce qui va être exposé dans ce mémoire et qui en même temps exprime une propriété très remarquable des fonctions elliptiques.

Théorème 1. Soient fx et <fx deux fonctions quelconques entières de x, l'une paire, l'autre impaire, et dont les coefficiens soient supposés variables. Cela posé, si l'on décompose la fonction entière paire

(fx)* — ('fxMixr en facteurs de la forme x* — jt*, en sorte que

( M*— fo>*)W = A.(x*—z\) {x*—x\) {x*—x\) . . . (x*— arj) où A est indépendant de l'indéterminée x, je dis qu'on aura:

2) nx1 + nxt + nx, + ... + nx. = c-^\oS(^±^),

où a désigne le paramètre de la fonction Zfor, en sorte que

!* — Ms=-

La quantité C est la constante d'intégration.

Démonstration. Supposons d'abord que tons les coefficiens des diverses puissances de x dans fx et (px soient des quantités variables indépendantes. Dans ce cas toutes les quantités xt, .ra, ...x^ seront évidemment inégales entre elles et fonctions de ces variables. En désignant par x l'une quelconque entre elles, l'équation (1) donnera

4) (/>)«- <y;r)*.(A*)* = 0, et de là:

5) fx -f- <px.bx = 0.

Cela posé, faisons pour abréger

^ = (/•*)« (T*)W> et désignons par y'x la dérivée de cette fonction par rapport à x seul. De même désignons par la caractéristique à la dlffërentiation qui se rapporte aux seules variables indépendantes. Puis en différentiant, on tire de l'équation (4):

y'x . dx -f- 2fx . dfx — • fyx .ôçx. (A*)* = 0 ; mais en vertu de (5) on a:

fx = — tf>X . &x, <px(bx)* = — fx.Lr,

donc en substituant:

y'x.dx — 2àx(<px.âfx — fx.Stpx) — 0.

De là, en divisant par (l — Ç). te; on tire: et en intégrant:

Maintenant en faisant x = ar1, a:,,...^, ajoutant les résultats et faisant pour iibrégcr:

2{<px.8fx — fx. d<px) = 0#,

on obtiendra:

6) n*l h- nx% + ... 4- nx^

Mais %x étant une fonction entière de x* dont le degré est évidemment inférieur à celai de la fonction yx, le second membre, suivant un théorème connu sur la décomposition des fonctions fractionnaires, se réduira à

/aia

c'est-a-dire en substituant la valeur de On et celle de va, à:

/*ç« . tfa — fa . Sço

Cette intégrale se trouvera facilement; en effet Aa étant constant, on aura en intégrant d'après les règles connues: