C- ' log({a + ^'f
2Aa b\fa— ça.Aa/ où C est la constante d'intégration. Cette fonction étant mise à la place du second membre de l'équation (0) donnera précisément la formule (2) qu'il s'agissait de démontrer.
La propriété de la fonction I7(x), exprimée par la formule (2), est d'autant plus remarquable, quelle aura lieu en supposant la fonction Ax racine carrée d'une fonction quelconque entière et paire de x. En effet la démonstration précédente est fondée sur cette seule propriété de la fonction Aar. Donc on a de cette sorte une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes*).
La formule (2) étant démontrée pour le cas, où les quantités xx, x%, ...x^ sont inégales entre elles, il est évident qu'elle aura lieu encore en attribuant aux variables indépendantes des relations quelconques qui pourront aussi rendre plusieurs des quantités xx, xt, ...x^ égales entre elles.
F y a à observer, que les signes des radicaux A*,, Axa, hx^ ne sont
pas arbitraires. Ils doivent être pris tels qu'ils satisfassent aux équations
7) fxl-{-qxl.Axl—0, /xa-j-f/x2.Ax, = 0, . . . fxv,-\-q>x)l.bxik=0, qu'on tire de l'équation (i>), en mettant pour x les valeurs x2, . . . x^.
•) Vojc* le» mémoires XV et XX.
La formule (2) exprime une propriété de la fonction de la troisième espèce II(x). Or rien n'est pins facile que d'en déduire des propriétés
D'abord si Ton fait a infini, on a 7Zr=oar; mais il est ' clair, que la partie logarithmique de la formule (2) s'évanouira dans ce cas; le second membre se réduira donc à une constante, et par conséquent on aura:
9) oxl-\-axt -)-...-{- xsxv,=C.
Egalement si l'on développe les deux membres de l'équation (2) suivant les
puissances ascendantes de -i, on aura, en comparant les coefficiens de ^ dans les deux membres:
10) Vi + Vi + - + V^ = C-;,
où p est une fonction algébrique des variables, savoir le coefficient de ^ dans le développement de la fonction
JLloe +
suivant les puissances ascendantes de -|L
En vertu des formules (2. 9. 10) il est clair, qu'en désignant par yx une fonction quelconque de la forme:
{V>x= J\A+B.x* + ^+-^+... + -ÏLti
dx
«* a\ al
on aura:
Y>xl+Vx%+... + yx»=C-B.p~ «£ !f(g±«£)
On voit que cette équation a lieu quelle que soit la constante A.
Propriété fondamentale de» fonctions elliptique», tirée du formulée précédente». Dans ce qui précède les quantités xlt xtt xt, . . . x^ sont regardées comme fonctions des coefficiens variables dans fx et yx. Supposons maintenant qu'on détermine ces coefficiens de manière qu'un certain nombre des quantités xx, *«>••• *|i prend des
des variables indépendantes. Alors les coefficiens dans fx, g>x deviendront des fonctions de ces quantités. En les substituant dans l'équation
if*?— fox)«(Ax)* = 0, le premier membre sera divisible par le produit
(x*— x\)(x*— x\) . . .x» — *».), et le quotient, égalé à zéro, donnera une équation du degré ft — m par rapport à x*, dont les racines seront les ft — m quantités:
qui par suite sont des fonctions algébriques de xlf x„ . . . xm.
Le cas le plus simple et le plus important est celui, où le nombre /< — m a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut donner aux fonctions fx et tpx la forme la plus générale pour laquelle le degré de l'équation (fx)* — (tpx)i(&x)*= 0 est égal à ft.
Il est facile de voir que le plus grand nombre de coefficiens possible à introduire dans fx et (px, est //. Mais, puisqu'en vertu de. la forme des équations (7) on peut supposer un de ces coefficiens égal à l'unité, sans diminuer la généralité, on n'aura réellement qu'un nombre de ft — 1 indéterminées. On pourra donc faire m=fi — 1, en sorte que toutes les quantités x,, x„ . . . a^, excepté une seule, seront des variables indépendantes. Par là on aura immédiatement la propriété fondamentale des fonctions elliptiques dont il a été question au commencement du chapitre.
Il y a deux cas différents à considérer, savoir ft pair ou impair.
Cas I. ft étant pair et = 2«.
A. Si la fonction fx est paire et <px impaire, il est clair que fx doit être du degré 2», et tpx du degré 2/i — 3. Faisons donc:
fx = a0 -f Qlx* -f aj* + . . . + a^x*-» -f x**,
\tfx = (b0 + V* + V + •■ • + > et
13) (fx)*-(9xf(l-x*)(l -r«xî)=(o:1— ^)(x'-x«) ...(xa-x?.,(x'— où nous avons mis y au lieu de x.ln, qui sera une fonction des variables xâ, xs, . . . *i„,.
Les coefficiens «0, a,, a,,... «„,, b0, bm.* seront exprimés en
fonctions de x,, x„ ... à l'aide des ft — 1 équations (7), savoir:
*•*') fxx-\-tPxi-^cl = ^ /■r«+tf-r»-A-ri— 0» • • ./^ï—i + V**— »-àx*—i==0-
Ces équations, étant linéaires par rapport aux inconnues, donneront celles-
xt , , Arx , Aars , . . . Axi»i.
11 est clair qu'on pourra donner aux radicaux ùxl , A#4, . . . A*t, des signes arbitraires.
Pour avoir la valeur de y, faisons dans l'équation (13) x=0. Cela donne
a* = x* x* . . . 4rî», .y*,
d'où l'on tire:
La quantité y est donc une fonction rationnelle des variables xx , . . . et des radicaux correspondants.
Si maintenant y a cette valeur et qu'on fait
&xin = — Ay, les formules (2. 9. 10) donneront:
(qxi -f- o*a -f - . . . -f- car, ,, = oy -f C, 15) / °«*,+ 0»ri + • • • + 0«^«—i=0<»y— + C,
(^,+77., + ...+//^,= ^-^ los(£±g£)+C.
Quant aux fonctions oy, o^, /7y, il faut bien observer que le signe du radical Ay n'est pas toujours le même. Il sera dans tous les cas déterminé par la dernière des équations (7) qui, en mettant pour xt9 et Ars„ leurs valeurs y et — Ay, deviendra:
fy — ?y-Ay = 0.
On en tire
16) Ay = £,
et cela fait voir que le radical Ay , comme y, est une fonction rationnelle des quantités xx , xt, . . . Ar, , A*, . . .
La fonction y a la propriété d'être zéro en même temps que les variables xl > x\t • - • *tn-\- En effet si l'on fait
Xy = X% = . . . = = 0
l'équation (13) ne pourra subsister à inoins que tous les coefficiens a^, at , . . . *0> *»»•••*—! ne soient égaux à zéro, donc cette équation ne réduit à:
On pourrait donner le signe contraire an second membre de i équation (14). Celai que nous avons choisi est tel que le radical Ay se réduit à -f- 1, en supposant x, = x% = x, = . . . x,»., = 0, et en même temps A*, = A*, = ■ ■ • Art i = -f- 1. Pour démontrer cela, supposons x, , xt> . . . xa! infiniment petits, on aura dans ce cas:
Ar, = A*a = . . . Ar»»i == 1, et les équations (15') font voir que xlt x%i... xtn i satisfont à l'équation:
17) x-+am lx*^+b^tx**-* + ... + V + «o==0.
Cette équation étant du degré 2n, doit avoir encore une racine. En la désignant par z, on aura:
o0 — z • • • **»-i> donc en vertu de l'équation (14)):
L'équation est donc satisfaite en faisant x = — y. Or cela donne
y"+ ^.y*- + • • • + a y + a0 = (ft0 + à y + . . . + ^,y*-)y, donc en vertu de (16):
18) Ay = +1.
On pourra encore remarquer que y se réduit pour des valeurs infiniment petites de xlt xa, . . . xa^, k x, -f-xa -f- . . . + x,».,. Cela fait voir l'équation (17), qui, n'ayant pas de second terme, donnera la somme des racines égale à téro, c'est-à-dire:
xi +x* + • • • + — V — °»
donc:
B. Si fx est impair et <fx pair, fx doit être du degré 2n— 1 et tpx du degré 2n— 2. Donc on aura dans ce cas un nombre de 2« — 1 coefficient* indéterminés, et on parviendra à des formules semblables aux (15); mais la fonction y aura une valeur différente. On démontrera aisément quelle sera
égale à — la valeur de y étant déterminée par l'équation (14).
Cas IL Si pl est un nombre impair et =2n+i.
A. Si fx est impair et <px pair, on aura:
2Q) f* = K+ + + • • • + «.-i**-* + ***)*, ' <F*= *0+ft1*« + *,*«+... + b^x*>\
«*) (fx)*— (^)a(l~x«)(l~cV) = (^-xï)(a:«-xJ)...(**--*Î.K*>-y1).
Les coefbciens c^,, a,,...^!, b0i bli...bn l sont déterminés par les 2n
La fonction y le sera par l'équation:
qu'on obtiendra, en faisant dans (21) x = 0. Enfin de radical Ay est déterminé par 24) = Cela posé on aura:
( ex, + oa:, + • • ■ + 0;ps- = °y 4-
( zr* , + n*% + . . . + . = ny - £. i og + c.
Les fonctions y et Ay sont, comme dans le cas précédent, des fonctions rationnelles des variables xl , art, . . . x2n et des radicaux A*, , Axa, . . . A?,», et on démontrera de la même manière, qu'on aura pour des valeurs infiniment petites de x ^ , . . • X\m
26) y = *1+*« + "* + *i» 4y = +i; si l'on suppose en même temps que les radicaux A*,, Aare,... A*,» se réduisent à -f 1, y s'évanouira simultanément avec les variables.
Les formules (25) pourront d'ailleurs être déduites sur le champ de celles du premier cas, en y faisant xtH x = 0, et changeant ensuite n en n-f-1.
B. Si fx est pair et <px impair, on parviendra à des formules semblables. La valeur qui en résultera pour la fonction y, sera égale à où y est
déterminé par la formule (25).
On voit donc par les formules (15. 25), qu'on pourra toujours exprimer la somme d'un nombre donné de fonctions par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant, pour les fonctions de ta première espèce, une constante, pour celles de la seconde espèce une certaine fonction algébrique, et pour celles de la troisième espèce une fonction logarithmique.
En faisant attention qu'une intégrale quelconque de la forme
fïx.ds
peut être réduite aux fonctions car et o^ar et à on certain nombre de fonctions de la troisième espèce, en y ajoutant une expression algébrique et logarithmique, il est clair qu'en faisant
fte.ds
on aura
où v est exprimable par des fonctions algébriques et 'logarithmiques.
En vertu des formules (15. 25) il est clair que la fonction v ne change pas de valeur, si l'on ajoute à la fonction rationnelle 0* une quantité constante quelconque, de sorte qu'on peut supposer également
Je dis maintenant que la fonction >p est la seule qui puisse satisfaire à l'équation (27). En effet si l'on différentie cette équation par rapport à l'une des variables indépendantes xt, xt,..., par exemple à*,, on aura:
Cela posé, si l'on suppose tontes les quantités xa, xtt...y égales à des constantes déterminées, on aura, en mettant x pour x t et faisant
y'x .dx = A. q&c -f- pdx,
d'où l'on tire:
Vx=f(Aq + p)dx.
La fonction yx ne pourra donc renfermer qu'une seule constante indéterminée A, et par conséquent:
yx=f(A+*x)£
est son expression générale.
Les propriétés exprimées par les formules de ce paragraphe appartiennent donc exclusivement aux fonctions elliptiques Cest pourquoi je les ai nommées fondamentales.
Dans les formules que nous avons données, y a une valeur unique, mais on pourra satisfaire aux mêmes formules, en mettant au lieu de y une expression algébrique contenant une constante arbitraire. En effet, pour avoir une telle expression, il suffit de supposer une des varibles x%i x%, égale à
une constante arbitraire, et la valeur de y qu'on obtiendra par là, sera la plus
générale possible, comme on sait par la théorie de l'intégration des équations différentielles du premier ordre, dont l'intégrale complète ne contient qu'une seule constante arbitraire.
A l'aide des formules (15. 25) on pourra exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions par nne seule fonction. Il est facile d'en tirer les formules suivantes:
où /*,,/'„... p., /* désignent des nombres entiers quelconques, et y est une fonction algébrique des variables a? , xt, . . . xm, de même que les coefficiens dans fa et q>a. Pour avoir ces formules, il suffit, de supposer dans (13) et (21) un certain nombre des quantités xlf xti ...y égales entre elles. Pour déterminer y, fx> yx, on aura cette équation: 29) (/*)» — (?*)«(1— x*)(i —c*x*)
=(x* — x\)»>(x* — **)(*. . . . (x* — x\Y-(x* — y>, qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de x.
Application au cas, oà deux fonctions tout données. Pour réduire deux fonctions à une seule, il suffit de supposer dans les formules (25):
Cela donne
fx = aax + x*, <fx = 60, et pour déterminer les deux constantes a», et b0, on aura les deux équations: M.+xî+*oA*t = 0, a^ + x\+b£x% = Q.
qui donnent:
Connaisant fl>0, on aura la valeur de y par la formule (23), savoir pour » = 1:
donc:
on bien en multipliant en haut et en bas par a^Aa^+a^Ar, : 31) v— *t***+*tL*i
Si Ton exprime a0 et b0 en xlt xt, y, on aura ces expressions très simples:
32) *0 = a:, .*,.y, «8=i (r«^y-xî -x; -y«). L'expression de «0 se tire de l'équation
— *V)=(««— a#(*'-y»), en égalant entre eux les coefficiens de x* dans les deux membres.
Les fonctions a0 et y étant déterminées comme on vient de voir, les formules (2T>) donneront, en faisant n=l:
( uxt + xaxt = oy -f- C,
53) |««a:,H-0<»a:«=0ay — xix& + Quant & la valeur du radical Ay, elle est donnée par l'équation (24):
c'est-à-dire:
Pour réduire la différence de deux fonctions à une seule, il snflit de changer le signe de x% dans les formules précédentes. La valeur de y deviendra par là: 35} v — ■r'Aj'~J^1 = *\—*\ .
Si dans les formules (33) on fait x% égal à une constante arbitraire, on aura la condition qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions si elles doivent être réductibles l'une à l'autre. En faisant x,=e, x^x, on aura:
En différentiant, il viendra
