ÉL — ^L
L'intégrale complète de cette équation est donc exprimée par l'équation algébrique (36), e étant la constante arbitraire. Parmi les intégrales particulières il y a à remarquer les suivantes:
1) y = x, qui répond à e=0, Ay = Ar,
2) y = ± i, qui répond à * = Ay ==F
3> y = Y(££Ù 1* ^ et
Application au cat, où toute» Us fonction» donnée» «ont égalée. Si Ton fait dans les formules (la. 23).
xi=x*—xt = • ■ ■ ~ x, Axl=Aar,=A^, = . . . = Ar, on aura celles-ci:
58) Jw = ««y — +
(„*.-Ifr£*(g±e£) + C.
OÙ
2 étant l'indéterminée.
La fonction y est déterminée par les équations (14. 25):
La première a lieu si ft=2n— 1, la seconde si /i=2«. Les équations (151. 22) qui doivent déterminer les coeflicicns a0> a,, a4, . . ., b0, bl , b%, . . . se réduiront dans le cas que nous considérons à une seule, savoir
fx -f- tpx.bx = 0,
mais en vertu des principes du calcul différentiel, cette équation doit avoir encore lieu, en la diflférentiant par rapport à x seule un nombre quelconque de fois moindre que ft. On aura donc en totalité fi équations linéaires entre les H inconnus, d'où l'on tire leurs valeurs en fonctions rationnelles de la variable x et du radical A*. Connaisant a», a,,...,*,, i,, on aura la
valeur de Ay à l'aide de l'équation:
On pourrait déterminer de cette sorte toutes les quantités nécessaires, mais pour mieux approfondir les propriétés de la fonction y, nous allons entamer le problème d'une autre manière, qui conduira successivement aux valeurs de y, correspondentes aux valeurs 1, 2, 3 etc. de ft.
Désignons par x^ la valeur de y qui répond à fi. On aura
a.r(i = C-\- fitax,
donc : = C + «*K a*,
mais si l'on fait
on aura, en verts de (25):
41) SUr^ssrCT+oy.
La valeur la plus générale de qui satisfera à cette équation est:
où e est une constante. Pour la déterminer, soit * infiniment petit; on xm—mx, x^fix, x^=(m-\-fi)x, Axm=A^(1=l;
L'équation (il') donnera:
(m -f- /')* = (*» + /*)*• -f- e, donc e=0, Àe=l et par suite ar^rrry, c'est-à-dire:
On aura de la même manière
La première de ces formules servira à trouver ar,^.., lorsqu'on connaît jr„ et x^; on pourra donc former successivement les fonctions
en remarquant que ar, = x, Aarâ = A*. Si m = 1, en trouvera:
En remarquant que
x0= 0, ar, = x,
cette formule fait voir que x^ est une fonction rationnelle de x, si fi est un nombre impair, et que x^ est de la forme p.Ax, on p est rationnel, si /* est un
nombre pair. Dans le premier cas est rationnel, et A*v l'est dans le
second. On voit également que x^ s'évanouira en rotfme temps que Ar, si p est un nombre pair. Les quantités
sont donc des fonctions rationnelles de x.
Si Ton multiplie entré elles les deux formules (42, 43) il viendra:
équation qui parait exprimer la plus simple relation qui puisse être établie entre les fonctions x^.
En y faisant m — p — 1, on aura:
De même si l'on fait m = on aura:
Ces deux formules semblent être les plus commodes pour le calcul des fonctions Xx , 3",, X^ , . . .
Pour trouver les expressions les plus simples de x^, supposons:
47) x> = J±t Ar,= À,
où pjj, sont des fonctions entières de x, n'ayant pas de diviseur commun. En mettant ces valeurs dans l'équation (46), on aura:
/y fryw
Or il est évident que la fraction du second membre est réduite à sa plus simple expression; donc on aura séparément:
48) P*ii = 2ptfiS}l, q^ — q^ — c'pl.
En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (45), on obtiendra
Or je dis que la fraction du second membre est réduite à sa plus simple expression. En effet si l'on avait pour une même valeur de x:
on aurait encore:
Mais on a en général
= x ji- 1 A^r,i = 0,
ou bien:
- = 0 = — jrj)(l — c*x$,
ce qui est impossible, car ou doit avoir:
Cela posé, r équation (49) donnera:
50) ?*^i=y -(rf-îî-i- rô/>î-i)> g*^—vl7^i— e%Pl<Pl-\-
Si donc on détermine successivement les fonctions
P*> 9t*P*> 9*>P*> par les équations (48. 50), ^ sera toujours réduit à sa plus simple expression.
On pourra faire pl = x, qx — 1. D'après la forme des expressions (48. 50), il est clair que
1) Ptn-i est une fonction entière et impaire de x du degré (2/i — 1)*,
2) Ax, où p' est une fonction entière et impaire du degré (2/*)* — 3,
3) r/p est une fonction entière et paire du degré fi* — 1 ou selon que /* est impair ou pair.
Les fonctions xiv^i et x2fL auront donc la forme suivante:
= S. (J0 + ^S*+AAX* + ■ . • + ^y., .<<"")'-') ' ' l+^,.j« + ^>4.x« + ... + ^^.l),l.x('"1-1J'-' '
s.lx.(B0+Bts*+B<s* +... + B,^.^-*)
On aura par exemple:
2jAjt S— 4(1 +c»)x» — c*x»
' » 1— X% X'l—0c*x*+4c*(l+c*)x*—Zc*s*'
Il est facile de voir que les coefficiens A0, Ati...A^, A^,...B9, Bt, . . . B\t B\t . . . seront des fonctions entières de c\ On a toujours A0 = %n — 1, B0 = 2ti et A\=zB\ = 0.
La fonction xajl est, comme on voit, irrationnelle; or on peut facilement trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse à l'équation
Une fonction de cette sorte est la suivante: car on a en vertu (37):
dS
et y est rationnelle, puisque les fonctions ArS(1 et x\^ le sont On verra aiséque cette fonction y aura la forme:
' l+a'.x» + ... + p'..rW'
Pour (i — 1, on aura:
Nous verrons dans la suite, comment les fonctions x^ et y peuvent être décomposées en facteurs et en fractions partielles.
Nous ferons voir aussi que les équations précédentes sont toujours résolubles algébriquement par rapport à x, en sorte qu'on puisse exprimer x en x^ à l'aide de radicaux.
