Chapitre II

Sur la relation la plus générale qui existe entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques.

Après avoir établi dans le chapitre précédent les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons maintenant en faire d'applications au problème général, que nous nous sommes proposé. Nous ferons voir qu'on pourra en ramener la solution à celle de quelques autres plus simples.

Sur la fortM dont {'intégrale d'une différentielle Quelconque algébrique c»t susceptible, en tuppotant cette intégrale exprimable par de* fonction» algébrique», logarithmiques et elliptique».

Soient x , x , x1,...x„ un nombre quelconque de variables, liées entre elles par des équations algébriques dont le nombre est moindre que celui des variables. Soient y(, yt, . . .y^ des fonctions algébriques quelconques de ces variables et supposons que la différentielle

soit complète et que son intégrale soit exprimable à l'aide de fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques, en sorte que l'on ait:

*i7) /(y Ai 4yt<**, 4 • • • 4 y»*1**)

= h -f Al logvt + A% \ogvt + ... -f AH log«\

où , At, . . . A^, «, , «,,...«« sont des quantités constantes, u, i>t,...r„ 1 1 , ft>. des fonctions algébriques des variables x,, x,,..^, et y,, Va» tt<„ . . . y. des fonctions elliptiques quelconques des trois espèces avec des modules et des paramètres quelconques. Désignons respectivement par cl , ea, . . . <•„ les modules de ces fonctions, et faisons pour abréger:

**) ±V{iX — ''Kl — «V)) = A~r,

en sorte qu'on ait en général :

59) ,mx

où 0' est une fonction rationnelle de x* de l'une des trois formes:

U — ^ na

selon que tj.'„x est une fonction de la première de la seconde ou de la troisième espèce. Nous pourrons même supposer que 0' soit une fonction rationnelle quelconque de x.

On pourra regarder un certaiu nombre des quantités x,, xa, . . . comme variables indépendantes. Supposons que les m premières

(>0) x,, xs, x(,...xB,

le soient: dans ce cas toutes les quantités:

Ci) » > • • • *(l> tt » t%y . . . tKy Uy 1», , V % , . . . t>„ If , , If % , . . . tf^

seront des fonctions algébriques de x , x , . . . xm.

Cela posé, imaginons une fonction algébrique 0 telle qu'on puisse exprimer toutes les fonctions:

62) u, », , »4 , . . . t», ; r, , fa , . . . tm, A,^,), À,(*t), • • • A.(/.) rationnellement en

63) 0, x,, x,, x„...x^ y,, ya, y,,.. .yr

H existera une infinité de fonctions 0 qui jouiront de cette propriété. Une telle fonction sera p. ex. la somme de toutes les fonctions (02), multipliées chacune par un coefficient indéterminé et constant Cela est facile de démontrer par la théorie des équations algébriques. La quantité 6, étant une fonction algébrique des variables x , x , pourra donc satisfaire à une équation algébrique, dans laquelle tous les coeflïciens sont des fonctions rationnelles de

xx ' *»»••• ^® supposer ces coefficiens rationnels en af(,

noos les supposerons rationnels en 64)

Cette supposition admise, on simplifiera beaucoup le raisonnement Soit donc

l'équation en 0, désignons son degré par S et supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible, que la fonction 0 puisse être racine d'une autre équation de la même forme, mais dont le degré est inoindre que d.

Imaginons maintenant qu'on diflërentie l'équation (57) par rapport aux variables indépendantes xt, xt, . . . x„ 11 est facile de voir, que la différentielle qu'on trouve sera de la forme

66) Pl ^xt -fpt.<£rt4-... + pm.</x. = 0,

où p1, p%> .. ,pm seront des fonctions rationnelles des quantités

yx* y, ---yn» *\> «v vs,...v„

Donc en introduisant la fonction 0; plt /»,»•• 'f- deviendront des fonctions rationnelles de

67) ,,*„*„...*„ y, Cela posé, l'équation (66) donnera séparément

et il est clair que si ces équations sont satisfaites, l'équation proposée (57) le sera également Maintenant les équations (68) sont autant d'équations en 0 de la même forme que V = 0, ou pourront aisément être réduites à cette forme;

mais suivant l'hypothèse V-=. 0 est une équation irréductible en 0, donc il suit d'un théorème connu, que toutes les équations (68) seront encore satisfaites, en mettant au lieu de 0 une quelconque des racines de l'équation P=0. Donc l'équation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de 9, pourvu qu'elle satisfasse à F=0.

Désignons par

69) et, o,,.-. oa les racines de l'équation V = 0 et par

70) «', «',... tt'6); tfmy . . . ?>„(»); <•.,... r»<8>

les valeurs correspondantes des fonctions «, vmi tm. L'équation (57), en substituant dans le second membre les expressions des quantités «, vt,

tlt tt, . . ., donnera Af/J, ... en fonctions rationnelles de 0, *lf x%y . . .

y»» y«» • --yn» substituant ensuite an lien de 6 successivement les â valeurs •„ •„ . . . On, I équation (57) donnera, dis-je, â équations semblables qui, ajoutées e, conduiront à celle-ci:

â ./{y^, +yt«tr, + • • • + y^K) = «'+«•+••• + 71) /+4Xlog*VHog^+~.+log<8>)+..^^

Le second membre de cette équation pourra encore être réduit à une forme beaucoup plus simple. Considérons d'abord sa partie algébrique

Cette fonction est exprimée rationnellement en

*i» *«» • • • *»»» yi> y*» • • • y** &«»••• o»,

mais elle est en même temps symétrique par rapport à 0,, 0e» donc

vertu d'un théorème connu des fonctions symétriques et rationnelles, on pourra exprimer la fonction U rationnellement en

73) xxt x„ . . . xH, yt, y„ . . .

et par les coefficiens de l'équation V = 0 ; mais ceux-ci sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des quantités (73), dope la fonction U le sera également Soit maintenant

74) log T. = log r'm + log *m -f . . . + log ».« ,

donc la fonction Vm est aussi une fonction rationnelle des quantités (73. 69) et symétrique par rapport à 8,, 9a,...0j; donc on démontrera de la même ma- . nière, que Vm pourra s'exprimer rationnellement par les quantités (73) seules.

Il reste à considérer la partie elliptique de l'équation (71); or d'après les formules du chapitre précédent, on pourra toujours faire

> (= V UTJ) +p + Bt log 9l + B% log q% + . . . + A, log f , où toutes les quantités

76) Tm, UT^p, qt, y,,...?,

sont des fonctions rationnelles des fonctions

or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantités (69. 73), et il est

clair qu'elles seront symétriques par rapport à 9,, ...On, «lonc enfio on pourra exprimer les fonctions (76) rationnellement par les quantités xlt ar„

• • • #|lî Jfll Jf%i • • 'Iff

En vertu de ce que nous venons de voir, on pourra donc mettre le second membre de l'équatiou (71) sons la forme:

r -f- A' log p' + A" log ? + . . . + A«» loge*»

Vl(5T,)+ <V V't{Tj+ • • • + W*(Tm).

Donc nous sommes parvenus à ce théorème général:

Théorème II. Si une intégrale quelconque de la forme

fdfi^x + y-t^ + • • • + Vv-dx^ où y,, i/ty-'-J/ii sont des fonctions algébriques de a*,, a*,, . . . liées entre elles par un nombre quelconque d'équations algébriques, peut être exprimée par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques de sorte qu'on ait:

Jhidxi+ y%dx% + • ■ • + yv-dx*) = " + ^ilog»i-Ma,°S1'» + ••• + «4

+ «iViCi) + "•'/,(',) + • • • + «.¥.(< j» où yft,...a,, af , . . . sont des constantes; u, vlt des fonctions algébriques de a-t, et v,» V'«> • • • des fonctions elliptiques

quelconques; on pourra toujours exprimer cette intégrale de la manière suivante: d/(yl.^1+y,.<^+...+^.d*V)=^

+ «|.Vi(0,) + «a • v,(o4)-+ ... + «.. V-(0.), d étant un nombre entier; «j, «,,...<*» les mêmes que dans l'équation (57); A', A', . . . des constantes, et

des fonctions rationnelles des quantités:

•ri > • • • xrf Ht » y«» • • • y^* ,

Ce théorème a non seulement beaucoup d'importance dans la solution de notre problème général, mais il est encore le fondement de tout ce qui concerne l'application des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques à la théorie de l'intégration des formules différentielles algébriques. «Feu ai tiré un grand nombre de résultats nouveaux et généraux que je sousmettrai au jugement des géomètres dans une autre occasion.

Comme corollaire de ce théorème il y a à remarquer le suivant:

Théorème III. Si une intégrale de la forme

peut être exprimée par une fonction algébrique et logarithmique de la forme

«-f J.log^ + log + + 41ogi*,, on pourra toujours supposer que m, i^, soient des Fonctions ra/ien-

n«//e» de xlf x^ . . . x^, yt, yt, . . .y^. Si donc on a l'intégrale ^/y<ir, où y est liée à x par une équation algébrique quelconque, on pourra supposer que w, vx , v% etc. soient des fonctions rationnelles de y et x*).

Application du théorème du paragraphe précédent àmia relation générale qui exttte entre des fonction» nlrebr iaues lorarithmiaues et elliut iaues.

On peut tirer immédiatement du théorème général démontré dans le paragraphe précédent, plusieurs propositions importantes, relatives à la théorie des fonctions elliptiques.

Soit

77) ai'Vt(x*)+«2'V*(*J+"+nrVAxv>^+Ài]W une relation quelconque entre les fonctions elliptiques

dont les modules sont respectivement c,, c,, ... cM. Si pour abréger on fait ±K((i— -**}(!— =A„*, le premier membre sera la même chose que

on rl? r,,...^ seront respectivement des fonctions rationnelles de xt, x%1 . . . x„. Donc en vertu du théorème III. ou pourra énoncer le suivant:

Théorème IV. Si l'équation (77) a lieu en supposant que «, vlt ?>4,...t\ soient des fonctions algébriques des quantités xlt x,,...:^: on pourra toujours, sans diminuer la généralité, supposer, que soient exprimées rationnellement

en xx , xx , . . . x^, A,x, , A,*, , . . . A,^. En écrivant l'équation générale (77) de cette manière :

*) J'ai fondé sur ce théorème une nouTclle théorie de l'intégration dea formule» différentiellea algébriques, que je n'ai pu encore publier jusqu'à présent. Cette théorie franchit beaucoup les réxultata connus, et son but est d'opérer toute» lee rédnctwne possible» des Intégrales des formules algébriques, à l'aide des fonctions algébrique* et logarithmiques. On parvient par 11 à réduire au plus petit nombre possible les intégrales qui représentent sous une forme finie toutes les intégrale d'une même cluse.

=«+^,togr, +^J°g*',+ • • +^log^— «-H-iV-f i — • • • — Vfyr,i, on aura en vertu du théorème II. le suivant:

Théorème V. Si ! équation (77) a lieu, on en pourra toujours tirer une autre de la forme:

79) do, V»1*1 +d«tWr, + ... + d«.V-*-+ «-* i VW i&, + — + MVV— = r -f log p» + A> log p* + . . . -f- Aw log p<*>, <î étant un nombre entier et les 'quantités

•t» A+iO| , 9a , . . . A^O^-m,

des fonctions rationnelles de

xt,...xm, A,*,, A,*,, A.X..

On aura encore comme corollaire:

Théorème VI. Si une relation quelconque entre les fonctions elliptiques * 1*1» ^tx«» • • • '^W aes trQ's psP^<**'s » I* forme exprimée par l'équation (77), on' en tirera une autre de la forme:

80) d«.vwr= — «,•¥,*, — — • • ■ — «— 1-¥— 19— i

— .ijWiUi — • • • — <v vvV

-f r -f- A' log p' -f- ^' log p" -f- . . . -f- A<k> log p(t), â étant un nombre entier et toutes les quantités

V,, 8,, Aîet»---r» p', p',...

des fonctions rationnelles de la variable * et du radical correspondant A«x. Toutes ces fonctions pourront donc se mettre sous la forme:

où p et q sont des fonctions rationnelles de x seul.

Voilà le théorème qui nous conduira, comme nons le verrons plus bas, à la solution de notre problème.

Si Ton suppose tontes les variables x|t x9, . . . x^ égales entre elles et à x, et les fonctions </',> V4 > • • • VV ayant le même module, que nous désignerons par c, le premier membre de l'équation (77) sera la même chose que

J*-£~i ou r «st une fonction rationnelle de x; donc en vertu du théorème D.

on pourra énoncer le suivant.

Théorème VII. Si entre les fonctions tsx, ©o*, Z^ar, 17tx, . . ll^x, où nt, n^...!!^ désignent des fonctions de la troisième espèce, avec des paramètres quelconques, mais avec le même module c qu'ont les deux fonctions de la première et de la seconde espèce ax et il existe une relation quelconque de la forme:

81 ) ( °oar + ao*o* + ain^ + ftntx -f ... -|- a^x

on pourra toujours supposer que les quantités

soient de la forme p -\- qhx, oùp et q sont des fonctions rationnelles de x seul.

Ce théorème est encore d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques. Nous en développerons dans le chapitre IV. des conséquences importaotes pour notre objet

Réduction du problème général.

Reprenons la formule du théorème VI. En la diflérentiant, le résultat sera de la forme:

P+QX.x = 0

on P et Q sont des fonctions rationnelles de x; donc on aura séparément P=0, Q=0, doDC encore P — Q.bmx = 0, c. à. d. la formule (80) aura lieu en faisant varier le signe du radical A^r. Or en désignant par 0',, 0',, 0'a etc. les valeurs correspondantes de 0,, . . ., cela donne

— âam . ymx — — 2« . U'O' + 1?, où pour abréger nous avons mis le signe de sommation 2; V étant la partie algébrique et logarithmique. En retranchant cette équation de (80), on trouvera

82) 2Ôam . 1/vr = 2«(v G' — V*0) + v — v>.

Cela posé, désignons par c le module de la fonction y et par àx la fonction ±K((1 — — «*^*))î on aura, selon ce qu'on a vu dans le chapitre 1.(35):

yô'— ye = If,

en faisant

V étant une expression algébrique et logarithmique. Soient maintenant

0 —P + A6 — r-f- çbmx,

où p, 9, r, ç sont deB fondions rationnelles de *. En changeant le signe du radical ZL*, on aura les valeurs de %• et AV, savoir

♦ 6' =p — qXJt, Aô' = r — ç^x.

En substituant ces valeurs dans l'expression de y, il est clair que cette fonction prendra la forme:

où t est rationnel en x. En vertu de la formule (34) on voit que ty sera

on fait

où e est constant, on aura encore:

yO' — — V* + *V Or je dis qu'on pourra faire ensorte que z soit une fonction rationnelle de x. En effet il suffit pour cela, d'attribuer à la constante * nne valeur qui fait Ae=0. Soit par exemple «?=1, on

84) : = -A et de là Az = c*-1