fV 1— r»y

y1 et Ay, comme nous venons de voir, sont des fonctions rationnelles de *, donc 2 le sera également

La formule (82) prendra donc la forme suivante:

85) 2ôam . y,* = 2« v •* + V,

où V est une fonction algébrique et logarithmique, qui en vertu du théorème II. pourra se mettre sous la forme:

« -f Ax logr, + A% logv, + . . .

toutes les quantités », étant de la forme p-\-q.ùmx.

En développant le second membre de l'équation (85), on aura aussi la formule:

86) { Wo- VmX = "» * VVl + "a " V'«î» + •••+«-!• VS^i < + ■ + • • • + «f- Vh*h + r»

où en vertu des deux équations (84, 83) toutes les quantités

sont des fonctions rationnelles de la variables x. Cette formule est donc une suite nécessaire de la formule générale (77). Il faut faire attention que d est

un nombre entier et que les coefficicns <*,, a,, . .«^ sont précisément les mêmes dans les deux formules. Cent une remarque essentielle.

A l'aide de la formule (86) on pourra maintenant réduire la formule générale (77) à une autre plus simple; En effet, en éliminant la fonction y»* entre ces deux équations, on trouvera une équation de la même forme que la proposée, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions elliptiques. Faisons m — fi et mettons x^ pour x dans la formule (86). On aura: 2d«K. w*!! = «, . V'î, + «, • V*a + • • • + «M-» • V* V + V- En éliminant la fonction VV*^ en're 'es deux équations il viendra: 87) «^Efty,*,— V,î,)+«,(2«)v4x4— V^1) + ... + «^,(2%H 1^l~y|1 1rl^l)=F''. Mais 2* étant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons vu dans le chapitre précédent, trouver des fonctions algébriques x\ , . . . telles que

2<ty, xt — VjS, = ylx>l + V x ,

2*V\,*, — Y,*» = ï/i + F« etc.

donc la formule (87) donnera celle-ci:

(«.V,^, + «tV/, + • • • + a,!%y i*V-i = t«'-M\ log^-M', log*, + . . . 4- A'IogtV Cette équation a précisément la même forme que l'équation proposée; seulement elle ne contient la fonction «>• Ou pourra la traiter de la même manière et en chasser une des fonctions, par exemple vy-i- En continuant ainsi, on parviendra enfin à une équation qui ne contiendra que des fonctions algébriques et logarithmiques, et qui ne présentera plus de difficulté. On voit donc qne le problème général pourra être réduit à celui-ci:

Satisfaire de la manière la plus générale à l'équation

+ u + A , log vt -f A% log vt + . . . + A, log »„ ok v, v,» i|'a> • • - V'm désignent des fonctions elliptiques des trois espèces, H en supposant que

y,» Jf,.---y-

«oteut <A« fonctions rationnelles de x; et que A,y,, A,y , , . . . A^y» *©*e»< de /« forme p. Ar, o« /) erf rationnelle en x, et A* le radical dans la fonction yx. Soient

M . = /\ • V. = ^, • Ar, . . . A»y. == pm . A*.

Supposons que ces équations soient satisfaites, et soit

Ptedx fl.sdx fl.x.d*

où fcr, G,Jf, . . . %nP seront toujours des fonctions rationnelles suivant la nature des fonctions % ta, . . . y„, on aura:

»^.* est fart. r.U.».eU« de », do»c IW^d. d„ second

membre pourra être réduite à la forme:

= r + ^oz + ^<0a0x + A'II'fa a') -f- A'IJ'fa «•) + ..., où r est une expression algébrique et logarithmique. En transformant tontes . les fonctions y*» y,^, yay,»"' de celte manière, l'équation (87) prendra cette forme:

'\ =tt + ^llogt»l4-^alogî>a + ...

En vertu de ce que nous venons de voir il est clair que la solution du problème (8Î)) pourra être réduite à celle des suivants:

Problème A. Trouver»tous les cas possibles où l'on peut satisfaire à l'équation:

M) (t-y'Xi — *Y) =j>*(i— —

en supposant y et p fonctions rationnelles de l'indéterminée x, et c et & étant des constantes.

Problème B. L'équation (91) étant satisfaite, réduire les trois fonctions: o(y,C), o0(y, <-), 7%, c», a)

à la forme:

r -f Aax -f- JoQo* -f J77(x, a1) -f- J'/^*, «•) + ... on r est une expression algébrique et logarithmique.

Problème C. Trouver la relation la plus générale entre les fonctions qui ont le même module et la même variable, c'est-à-dire: trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour exprimer une fonction de la forme:

aux -f- aja^c -+- alIT{x, ax) -f «%IF(x, «,) + •• •> par des fonctions algébriques et des logarithmes.

La solution complète de ces trois problèmes sera l'objet principal de nos recherches ultérieures. Nous allons commencer par le dernier qui est le plus simple.