Chapitre III

Relation la plus ge'ne'rale entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques de la même variable et du même mudule-, ou solution du problème C.

Soit comme précédemment

A* = ±K(d— *»)(l-rV)), sx, les fonctions elliptiques des deux premières espèces et IPalt Ifa%t ...Il'a^ des fonctions de la troisième espèce, ayant pour paramètres ax, a%i

o^, ensorte

/dx fs*dx f dx

Cela posé, il s'agit de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation:

' \ —u + Al log*, A% Iog»a + . . . + logtv En vertu du théorème VI. on peut supposer que «, vl% v%, . . . soient de la forme /> + 7^*"» où y et o sont rationnels en x.

Nous supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver une relation semblable, qui ne contenait toutes les fonctions:

ITuxy /7'«,,.. .n'a*.

Nous supposons encore qu'aucun des paramètres a , a%,...am ne soit égal à

^ 1 ou à i » car dans le cas contraire on pourrait, comme on sait, réduire la fonction correspondante de la troisième espèce aux fonctions ax et o^ar.

Cela posé, désignons le premier membre de l'équation (92) par y* et le second par n -±-2Alog v. On aura donc

93) yx = u -f- 2A log v.

Il est clair, que cette équation aura lieu encore si le radical ùx change de signe. Donc en désignaut par «' et v> les valeurs correspondantes de u et v, on aura:

— —u'-\-2A log v'.

Cela donne

<tyx=u — «'4-2^1og(^).

Mettons ici — x au lien de -\-x, on pourra supposer que bjx reste invariable; la fonction yx changera de signe et par conséquent on aura, en désignant par u", k", if, rf les valeurs correspondantes de tt, u', v, v':

— <tyx = W — «-•+ 2^ log (£) .

De là on tire:

,,,* = £<„-«'--«• + «•) + log

Soit

où p, q, p', q' sont des fonctions paires, on aura :

«* + — + y'.r)Àx, ?>• =p — qx+ (p1 — q'x)î>xy if —p — qx — (//' — q'x)hx,

donc

v.v" =p* — q*x* — (p* — q'W)±7x + 2x{pq' — W>')A*» V.if=zp* — q*x* — (^ — y'VjA** — 2x(pq' — qp')±r, par conséquent on aura:

v'.e' /r — <px.Ax ' on /fc et tfx seront des fonctions entières, dont Inné est paire et l'autre impaire. Nous supposerons, ce qui est permis, qu'elles n'ont pas de diviseur commun.

La partie algébrique ^(« — u' -f- «" — »') est évidemment de la forme r.&r, où r est une fonction impaire de x. En écrivant A au lieu de £A, l'expression de ijvr prendra la forme suivante:

Quant aux coefliciens ^ , . ./f, , nous pourrons supposer, qu'il soit im-

possible d'avoir entre eux une relation de cette forme: 9») m1^f|+m1ilt4-... + fltv^,s=0>

où m,,...»*, sout des nombres entiers. En effet, si cette équation avait lieu, on aurait:

" = i- J log (2)+^, bf (£) + • . . + ^..Lg (g) J' c'est-à-dire :

2illogv= J^.log»", -f^.logr^H- . + A\ ,1og*V.,

où le second membre contient an nombre moindre de logarithmes que le premier. On pourra donc répéter cette réduction jusqu'à ce qu'une équation telle que (95) est impossible. Cela posé, il faut prendre la différentielle des deux membres et comparer entre elles les fonctions algébriques qni en résultent

Considérons d'abord la partie logarithmique du second membre de la formule (94). Soit pour abréger:

on aura, en différentiant, un résultat de la forme :

97) do = v— ,

' LU*)*— (çx)*A*j]A*'

où v est une fonction paire et entière de xt savoir:

98) p= 2 . (fx . q>'x — <fx .f'x)b* x— 2fx . ç x . ((1 -f c*)x — Sr**' ). En faisant:

99) tx = (fx)*-(fx)W, on pourra aussi mettre v sous cette forme:

100) ) vtpx = 2px.lx—fx.Vx, équation facile à vérifier.

Cela posé, décomposons la fonction entière Hx en facteurs de la forme (x* — «*)", et faisons en conséquence:

101) (fx)*— (y*)1. (A*)* = (**—«*)-. (x* — a*)m* . . . (x*—a*)mp. = Ox. L'équation (100) fait voir que si %x a le facteur (x* — a*)", v aura nécessairement celui (x* — a*)""1; donc la fonction fractionnaire — pourra être décomposée de la manière suivante:

où t est la partie entière, /ï'a, . . . fi1^ des constantes. D'abord je dis que t est une constante. En effet l'expression (98) de v fait voir que le degré de cette fonction ne pourra jamais surpasser celui de Ôjt. Pour trouver les coefficicns p\, /?'„ . . ., soit ,5' l'un quelconque entre eux, correspondant au facteur (a* — x*)m de fc*. On aura:

r=«£=^ po„r* = «,

si l'on fait

de (100):

«x <px v ' ox Jt.dxV ; ' çx'

ÇX ÇX II. IIS ' ■ çx

donc en faisant x = a:

Or on a

ça

(/a)«-(ya)W = 0, /a + ç«.A« = 0, /*'= — Sma.Aa,

En multipliant par on aura la valeur de dp. La formule (94) donnera donc, en différentiant:

+ ^«-^« a»,-,» «7 x' -7 -f etc.

En substituant une fonction rationnelle quelconque de x au lieu de r, on voit sans peine qu'il sera impossible de satisfaire à cette équation, à moins que r ne soit égale à zéro. En se rapellant que nous avons supposé qu'il soit impossible de trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions II'at, Iï'a%, . . . ll'am et ayant égard à l'impossibilité d'une équation de la forme (95), on verra aisément que tous les coefficiens:

doivent se réduire à zéro excepté un seul. Soit donc

j4j — A 9 — . . A^ — 0 et At ^= 1,

on aura:

= /?o=0, al = al, «t=«s, ...

Cela posé, la formule générale (94) prendra la forme:

104) O-r — *",taa' . //'a, — .^»^//'« ^ Att' 77'a.

7 ai a.

où les paramètres alt «,,•••«» doivent satisfaire à l'équation

l'une des fonctions <pjr étant paire et l'autre impaire.

Telle est donc la relation la plus générale entre des fonctions rapportées au même module et à la même variable.

11 est remarquable que la fonction de la seconde espèce n'entre point dans cette relation.

Quant à la quantité constante /5 qui multiplie - la fonction de la première espèce ax, elle pourra sous certaines conditions se réduire à zéro.

L'équation (10î>) qui donne les relations nécessaires entre les paramètres »!> «,»••■«■ et*t précisément de la même forme que celle que nous avons considéré dans le chapitre 1. En regardant «, , a, ,...«„ comme des variables, elle donnera en vertu du théorème 1.:

Les paramètres «a, . . . a„ satisfont donc à l'équation différentielle:

Pour avoir toutes les fonctions de la troisième espèce qui seront réductibles indéfiniment à la première espèce, il faut faire n = 1. En posant = a, «,=«, on a:

108> /7*rt = ^°'-^^(^^)- Pour trouver dans ce cas le paramètre a, on aura l'équation: 109 (/*)» — fourni — x*) (1 — cV) = (**—«•)-,

ce qui fait dépendre « d'une équation qui généralement est du degré m*. Le cas le plus simple est celui où m = 2. On aura dans ce cas :

<fx = — Y — 1, fx — ax,

donc a pourra avoir les deux valeurs -ï-, ~^~c' ^8 va'eura correspondantes de a sont 1 — — , 1 -f- — . Od aura:

où l'on pourra varier le signe de c.

Si m = 3, on aura dans le cas impair:

fx = x* -\- ax, (fx=.by

De là on tire:

a» = a» + «a + Ma = 0, 2a — cH* =r — 3«», a' + (l + c*)ô« = S«4, donc en éliminant a et 6, on trouvera:

« = — Sa»),

Àa = — c'a4).

Si donc a est une racine de cette équation, on aura:

ira = f * = k.«x - ï-SL-î-iog (£^S^Lt«^î),

J Çl^j^x 1 — c*ot4 D Vx'-t-i^a6 — Sa")-»— a'Ax/'

Généralement la quantité u sera pour un m quelconque racine de l'une des deux équations: