HO

où xm est la fonction de x que nous avons considéré dans le §. 4. du chapitre I., et qui est telle qu'on ait

dx.

Ax. Ax et en même temps xm = 0 pour x = 0.

Il y a encore à remarquer, que si l'on désigne par a une racine de xm = 0, —

en sera une de l'équation xm = Pour prouver que « satisfait à une des équations (110), il suffît de remarquer qu'on a (59):

1 H) p*^ q*(£ix)* = (x* - «*)-(** - a\),

où am désigne la même fonction de a, que xm Test de x En multipliant les deux équations (109. 111) membre par membre, il viendra:

141) (pfx ± qtfxïx)* - (pçx ± f/ir) W = <*' ~ «TV - «*-)• Or on tire des mêmes équations:

P\ M* — q\<P*)\à*)4 — (** — «*)" • # » où R est une fonction entière. De là on voit que Tune des deux fonctions

pfx -\- qtpx.tfx, pfx — qyx.tfx sera divisible par (*•— «*)-; donc en divisant l'équation (HT) par (*»— a*)'le résultat sera de la forme:

ra — e*(A.r)» = ** — u*m, où lune des fonctions r et (> sera paire et l'antre impaire. On doit donc avoir d'abord ç = 0, et ensuite r* = x* — «*„,, et de là «m = 0, ou am = Réciproquement si l'une de ces équations a lieu, il est clair par la forme de (111) qu'on pourra satisfaire à l'équation (109). Il y a à remarquer que dans le cas que nous considérons, /? ne pourra jamais être zéro. Donc il n'existe pas de fonction de la troisième espèce, exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques.

Le cas particulier le plus remarquable de la fonnule générale (10*) est celui, où m = 3 et m, —mt = ;»,=: 1. Dans ce cas, en faisaot «, = a, A«, — — Art, on aura :

112) *U . -I- £ + kg (£±g£>

où

(/«r = **-{- «x» ifx — b, ensortc que **' ((^4-<tr)I-A4(l-^)(l-r'J:»)==(xî-«î)(J:* — «*)(**— «*),

d'où l'oo tire, comme dans le paragraphe du chapitre 1.:

Les deux paramètres «„ «t sont donc arbitraires.

Comme cas particulier on remarquera celui où «4 est infini. On dans ce cas

On pourra donc réduire l'une a l'autre deux fonctions, dont les paramètres sont respectivement a, ~. La formule correspondante ponr effectuer cette réduction est:

115) **+B.(I)r+l..-..ht(£±£).

Pour trouver toutes les fonctions réductibles l'une à l'autre, il suffit de faire dans la formule (104) »=£. Cela donne

116) mt^n'a1+mt^n'a=t^-hiog(^±^.),

où les paramètres a( et «s sont liés entre eux par l'équation:

H7) (/*)' — *4)(1 — = (*»—«;)-. (x* — oJ)-.

et cela donnera une seule équation entre et