Chapitre IV

De Tcquation (1 -y'^-^») = r'(l - r'i'). Considérons maintenant le problème (A), savoir de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation:

118) (1 - C'y') = r* (1 — - rV),

y et r étant des fonctions rationnelles de a*. La méthode qui s'offre d'abord de résoudre ce problème est celle des coefficiens indéterminés, mais cette méthode ne parait guère applicable, si le degré de la fonction y est un peu élevé; au moins son application serait très pénible. Je vais présenter une autre plus simple et qui est, ce me Hemble, importante dans la théorie .des fonctions elliptiques.

Réduction du problème à celui de tatie/aire à l'équation:

du ^ ds

On voit d'abord que si l'équation dont il s'agit a lieu, on doit avoir nécessairement

où « est constant

Il est facile de voir que les deux facteurs 1 — y*, 1 — c*y% ne peuvent s'évanouir en même temps, car dans ce cas on aurait c*2 = 1, et ce cas à été excepté. On doit donc avoir séparément:

119) l y* = r>, i-^y. = rl.ç>

où rt et ra sont des fonctions rationnelles dont le produit est égal à r. Egalc-

Or, différentiant les deux équations (119), on en tirera:

120) j— 2y-rfy =rf(r,rfe +2?rfri).

( — 2C*y.dy = ra . (rtdç' -}- Sp'rfrJ. Mais il est clair que y ne pourra avoir aucun facteur commun, ni avec r, ni avec rt, donc il faut que le numérateur de la fracticm ratiounelle ^ soit divisible par rx et par ra ; mais ces deux fonctions ne pourront s'évanouir en temps, donc on doit avoir:

où v est une fonction rationnelle de x, qui ne devient pas infini en attribuant à x une valeur qui donne r = 0. Soit y = où p et q sont deux fonctions entières de x sans diviseur commun, on aura évidemment:

122) ^donc:

Cela fait voir que v est une fonction entière. Or je dis que v se réduira à une constante. Désignons par m et n les degrés des fonctions p et y, et par /* et v ceux de 0 et v. Cela posé, il y a trois cas.

Cas I. m > n.

Dans ce cas l'équation

123) = — **)(! — cV) fait voir que

mais comme on a

on trouve

-{- V = JW -{- 71 — 1,

c'est-à-dire, puisque 2m — ^=2:

et par conséquent v constant

Cas U. n>m.

On aura de la même manière:

4« = 2fi-\- 4, 2n — fi = 2, y<Zn—fi — i., p<l, v = 0, donc aussi dans ce cas v sera égal à une constante.

Cas III. n — m.

Dans ce cas il peut arriver que le degré de l'une des fonctions

9— p> q+p> 9—*p* q + fp

soit moindre que n — m. Soit donc par exemple

où le degré de <p, que nous désignerons par m — k, ne pourra surpasser m. On aura en vertu de (123):

d'où

2m — fi = 2-f-^r, maintenant si l'on substitue la valeur de q —p + <p, on aura:

ft „ pdg — qdp pdy — ydp

donc:

ft-\-v = m -\-m — k — 1 = 2m — k — 1, si A > 0, et H + v = m + m — k — 2 = 2m — k — 2, si k=0.

Dans le premier cas on a

v = îm — p — k — 1 =1 — JA = 0,

et dans le second

y = 2m — ft — * — 2 = 0.

Le degré de la fonction entière v est donc dans tous les cas égal à zéro, et par conséquent v se réduit à une constante. En la désignant par t, on aura :

Cela posé, l'équation

donnera celle-ci.

125) v[(l-3r«)(i-cV)] = ✓[(i-j*X*-«1*«)]*

et le problème est ramené par là à celai de - satisfaire de la manière la plus

générale à cette équation en supposant y rationnel en a*. En intégrant, on aura:

En comparant ce résultat à celui que nous avons démontré dans le chapitre II. on aura ce théorème:

Théorème VIII. "Si l'on a une relation quelconque entre un nombre quelconque de fonctions elliptiques, et qu'on désigne par e le module de l'une d'elles prise a volonté, il se trouvera parmi les autres fonctions au moins une, dont lo module est C, et qui est telle, qu'on ait entre les fonctions de la première espèce, correspondantes respectivement aux modules c* et c, cette relation très simple.

C) = t m(x, c) + C, on y est une fonction rationnelle de x et f une quantité constante."

Ce théorème est de la plus grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques.

Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs de y et des modules c et c propres à satisfaire à l'équation (125). Si la fonction y contient des puissances de x supérieures à la première, elle jouira d'une certaine propriété, qui conduira à son expression générale, en supposant connue la solution complète dans le cas où y ne contient que la première puissance de x. C'est pourquoi nous donnerons d'abord la solution dans ce cas.

Solution du problème dan» U ca$ do y = f ' * . En substituant cette valeur de y dans l'équation :

•V -y'Xi - «V) = (i -*■)(! - «V> •

rien n'est plus facile, que de trouver toutes les solutions possibles. Je ne ferai que les transcrire t