II. c = ±|, y = ±«% y =± 1. e — ±e

On voit que le module c1 a six valeurs différentes. La fonction y en aura douze, car à chaque valeur de d répondent deux valeurs différentes de y. Ces formules nous seront utiles pour la solution du problème général.

Propriété générale de la fonction rationnelle 9, fui eatitfait à une équation de ta

<iy , dx

Soit pour abréger:

l'équation (125) qu'il s'agit de satisfaire, prendra la forme: 427) ±=e.±,

où y est supposée fonction rationnelle de x. Soit

la fonction cherchée. Si, en réduisant yx à sa plus simple expression, les puissances de la variable x qui y entrent s'élèvent jusqu'à la /i"" inclusivement, nous dirons que yx est une fonction rationnelle de x du degré //. Sa forme générale sera donc:

#0 + x x+ A,** + . . . + .x* le numérateur n'ayant de diviseur commun avec le dénominateur, et les deux coeffîciens et B^. n'étant nuls à la fois.

Cela posé, si l'on considère x comme fonction de y, l'équation y=t}x donnera /< valeurs différentes à x, nécessairement inégales, en supposant y variable. Il est évident que toutes ces valeurs de x satisferont également à l'équation différentielle:

A'jr A*

En désignant donc par x et xf deux de ces valeurs, on aura en même temps:

Donc, en égalant ces deux valeurs de on aura

di

Xr' As

Cette relation aura toujours lieu entre deux racines quelconques de l'équation

Il est facile de tirer de là une équation algébrique entre x1 et x. En effet l'intégrale complète de cette équation est en vertu de (36):

sbe + eXx

où e est une constante. Maintenant x etx1 étant tous deux racines iey=yx,

on aura: y = yx,y=yx;

donc:

131) yx'^yx,

et puisque y est variable, cette équation doit nécessairement avoir lieu pour une valeur quelconque de x. On aura donc immédiatement ce théorème:

Théorème IX. "Si une fonction rationnelle y de x, du degré p, doit satisfaire à une équation différentielle de la forme

il faut que cette fonction reste la même, en mettent pour x, /u valeurs différentes de la forme: •

she + ebs 1— cV».r»'

e étant constant"

Ce théorème, nous conduira, comme nous verrons, de la manière la plus simple à l'expression générale de y. Il s'agit seulement de déterminer les valeurs convenables de la constante e\ car celles-ci étant trouvées, rien n'est plus facile que de trouver ensuite toutes les autres conditions nécessaires. Occud'abord de la recherche de cette constante.

Recherche de» racine» de l'équation jr = tys. Soit pour abréger:

132) sàe+eàs

d'après ce que non» venons de voir (151):

133) y(0x) = tpx,

où le signe du radical Ax est évidemment arbitraire. Je remarque que cette équation, ayant lieu pour une valeur quelconque de x, subsistera encore en mettant Ox au lieu de x. On aura donc:

y(8(9x)) = y(tx) = V,Jr' En mettant de nouveau Gx au lieu de x et ainsi de suite, on trouve

y z= yx = y(Gx) = i/ (9'jt) = ipfO'x) = . . . = y>(Q"x) = etc., où l'on a écrit pour abréger:

0»x = 08x, 0»* == 09*x, . . . etc. e»x = M-»*. Il suit de là que toutes les quantités de la série

134) xt 0x, Ô*x, . . • Vx, . . .

seront des racines de l'équation y = yx. Maintenant cette équation, n'ayant qu'un nombre limité de racines, savoir p, il faut nécessairement que plusieurs quantités de la série (134) soient égales entre elles. Il s'agit de savoir si cela est possible. Pour cela il faut d'abord avoir l'expression générale de 6"x en fonction de x et e. Supposons pour le moment e indépendamment variable. On aura en vertu de l'équation (132)

.„ O'-'g.Ag + «A(0"-Ix)

1— c««*(»»-lx)»

A(«»*j" " A(ft--'x) Ae ' En mettant dans cette équation successivement « — 1, » — £,. .2, 1 au lieu de m, et supposant, ce qui est permis, que les radicaux A(0"x), A^—'x) . . . A(9x), Ax conservent leurs signes dans deux équations consécutives, on aura sur le champ :

A(»"x) Ax * A«

€ela posé, cherchons suivant le paragraphe 4 du chapitre I. une fonction rationnelle eM de « telle que

de.

on aura:

rf(t»x) rfjr .

A(»"x) Ax ' Ae. '

Mais si l'on fait

, xA«. + ».Ax

~~ l-«Vx« '

on a:

dr ds j^ da.

Cette dernière équation donne

s' tua' + g'Ajr*

ou e' est

Pour trouver cette constante, faisons e = 0; on aura #, = 0 et hen= 1. Donc la valeur de x» deviendra x' = x, et par conséquent celle de Q"x.-

«„ jrAff' + cAjr

Mais puisque Ox = x, on aura encore 0"x = x, donc: