cVV

Cette équation, devant avoir lieu pour une valeur quelconque de x, ne pourra subsister à moins qu'on n'ait séparément e' = 0, Ae'= 1; donc on aura:

Telle sera l'expression de Vx pour une valeur quelconque du nombre entier ». Elle a en effet, comme on voit, la forme d'une racine quelconque de l'équation y = yx.

Cela posé, soient Vx et 0"+"x deux quantités de la série (154), égales entre elles, dont il existera toujours suivant la remarque plus haut. On aura donc:

mais 0"+"x est évidemment la même chose que 0"(0"ar), donc en mettant x pour (Px, il viendra:

Une équation de cette forme doit donc toujours avoir lieu quel que soit x. Si elle a lieu effectivement, il est clair que la série (134) n'aura que « ternies différents, car, %—lx, passé, les termes se reproduiront dans le même ordre, puisque V+lx = fcr, 9"+*x = 0ax etc. Si l'on suppose, ce qui est permis, qne », dans l'équation 0"x = ar, a la valeur la plus petite possible pour la même valeur de #, il est clair également que les n quantités.

137) x, Ox, 0'*,

seront nécessairement différentes entre elles. Car si l'on avait par exemple

il en résulterait Wx-=x> ce qui est contre l'hypothèse, attendu que p est moindre que n.

Il s'agit maintenant de satisfaire à l'équation

En y substituant l'expression de 0"x, donnée par la formule (135), il viendra:

Or il est impossible de satisfaire à cette équation pour une valeur quelconque de x, h moins qu'on n'ait séparément les deux équations:

138) eK = 0, Ap» = 1 ;

et réciproquement: si ces équations subsistent, il en sera de même de l'équation Wx = x. Or je dis qu'il sera toujours possible de satisfaire à ces deux équations à la fois.

D'abord si n est impair, les deux quantités <•„ et seront des fonctions rationnelles de e, comme nous l'avons vu chapitre I. § 4. Si donc on désigne par e une racine quelconque de l'équation

139) em = 0,

il suffit, pour satisfaire à l'équation Ae» = 1, de déterminer le radical Ae de la manière que: