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après avoir mis le second membre sous la iorme d'une fonction rationnelle en e. Ce-ci se fait voir, en remarquant, que si eu = 0, la quantité Ae» — ±VX(1 — «a«)l — ne pourra avoir que l'une des deux valeurs +1, — 1.

Si au contraire n est un nombre pair, on a vu que àen sera une fonction rationnelle de e, de la même sorte que àe\ t. En la désignant par rn, on

doit avoir en vertu des équations (138):

Or je dis que si e est une racine quelconque de cette équation, on aura à la fois e„ = 0, A«« = 1. En effet ayant

on en tire en

et cela donne:

car c* est différent de l'unité. Or ayant eM = 0 et tn— 1, on aura évidemment Ae» = 1 ; donc etc.

On pourra donc satisfaire à la fois aux deux équations:

«. = 0, Ae.= l,

et on aura toujours un nombre n* de valeurs différentes et convenables de e, car en vertu des formules (SI. 55) les équations «. = 0, «.= 1 seront du degré n* en e.

Il s'agit maintenant de choisir les valeurs de e qui rendent toutes les n quantités ar, fcr, . . . flx différentes entre elles, car cela est une seconde condition à laquelle doit satisfaire e.

Or pour cela il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient donner Wx = x, où ft est moindre que n. On pourra toujours supposer fi facteur de n. En effet soit * le plus grand commun diviseur de /i et n, on pourra trouver deux nombres entiers /*' et »' tels que:

Or l'équation Wx = x donne:

donc : 0"'H-*X = x = O^x;

mais en vertu de Vx = x on a encore

donc enfin:

donc, si = on aura encore: &x = x, où k est diviseur de n. Donc il suffit, de rejeter toutes les valeurs de e, qui pourraient satisfaire en même temps à ces deux équations:

où fi est un facteur de n; et il faut nécessairement les rejeter toutes, car si l'on a Wx = xt on a nécessairement 6"* = x.

Ainsi on trouvera aisément une équation en e, dont toutes les racines donneront des valeurs convenables de cette constante. Si n est un nombre pre-

■nier impair, on a fi = 1 ; donc la seule racine qu'il faut rejeter de celles de l'équation

est celle-ci:

On aura donc un nombre n%— 1 de valeurs convenables de e. Car l'équation rm = 0 est du degré *«.

Il y a une remarque essentielle à faire sur les

Savoir, on aura toujours en même temps:

U2> *= 1-cW. ' ° En effet, on a (43) :

1 — cs«re3 '

On aura également (42)

donc à cause de on aura:

En substituant ces valeurs de dans l'équation

fi„m. xA«»« + «—«A*

' * 1-cV x' '

on aura précisément la seconde des équations (142).

Si l'on multiplie entre elles les valeurs de 9"x et 0— *, le produit sera rationnel, et on trouvera

143) rx.r-.—ï^..

On aura de la même sorte:

Ces formules nous seront utiles dans la suite. D'après ce qui précède, les n quantités

sont différentes entre elles et racines de l'équation y = \px. Le degré p de cette équation est donc égal à n, s'il ne surpasse ce nombre. Nous verrons plus bas, qu'il suffira de considérer le cas, où /* = n. On

Trouver toutes les valeur» de y oui pourront répondre aux valeur» de» racines,

Pour simplifier la solution du problème général, voyons si plusieurs valeurs différentes de la fonction y et du module C pourront répondre aux mêmes racines de l'équation y = yx. Rien n'est plus facile que de trouver les valeurs de y et C. En eflet soit V>* = ^ oh p et q sont des fonctions entières

de z sans diviseur commun. En désignant par

ar, . jKi")

toutes les racines de l'équation

y = xpx,

on aura p — qy-=(a — by){z — x)(z — ar')(t — x*) . . . (z — ard*-1)), où a et b sont des constantes. Soit maintenant y' une autre valeur de y qui satisfait aux mêmes valcurs.de x, #»,*•..., on aura en désignant par p' et q' les valeurs correspondantes des fonctions p et q :

En attribuant à z une valeur constante, il est clair que cette équation donnera pour y' une expression de la forme:

où a, (J, «', /?' sont des constantes. En désignant maintenant par r* le module qui répond h y*, on aura en même temps:

~*VÏ "aV A'» ' Xi*

✓ [0— A» A'jr A*'

donc:

14«> ** — il ^

' ✓[(i-y*Xi-«^f,)]— * v[(i-5a)(i-«'V)]

En y substituant l'expression de y1 en y, on aura les équations nécessaires pour trouver y', (f, Ce problème est précisément le même que celui du paragraphe 2. On voit donc, qu'une seule solution de l'équation

dg ds

donnera sur le champ cinq autres qui, généralement, seront différentes entre elles. La fonction y aura toujours deux valeurs correspondantes au même

module C, savoir » et-i.

Solution complète du problème dan* le cai y. = n. Supposons maintenant que l'équation y = yx n'ait d'autres racines que celles-ci:

x, ex, 9\r, . . . 0-»x, ce qui à lieu toujours si fi est un nombre premier, comme nous le verrons plus bas. On aura alors, si p et q signifient la même chose qu'an paragraphe précédent:

147) /»— yy=(a— by)(z— x)(z— fcr)(i— O'x) . . . (a— G-1*). En attribuant à z une valeur particulière, on aura une expression de y, dans laquelle tout est déterminé, excepté trois quantités constantes. Nous allons voir qu'on pourra toujours trouver ces quantités de sorte que l'équation différentielle proposée soit satisfaite. Pour cela considérons deux cas: n impair et n pair.

Cas I. Si n est un nombre impair.

Soit dans ce cas n = 2ft -f- 1 Alors l'équation (147) donne, en attribuant à z la valeur particulière zéro:

a' — b'y — — (a — by)x . 1x . Px . . . Q**x>

et de là:

« éq\ u' + a.x.Jx.é*x.. .45|A.r

' ^ A' + *.x.fcr.«»x...«'«1x '

Hemarquant maintenant qu'en vertu de (143) :

il est clair que l'expression précédente de y sera une fonction rationnelle de x du degré 2/* -f- 1 ; donc, puisque cette fonction ne varie pas, en mettant pour x les 2,u -j- 1 valeurs

x, fcr, %*x . . .

ce qui est évident à cause de O*^1* = x, on conclura que l'équation (147) a lieu en mettant au lieu de y cette fonction et pour p et q les valeurs correspondantes en z. Cette équation pourra s'écrire comme il suit:

149) p^=(a^)(z—x)(z—ïx)(z—WxXz--Px)(z--**»-*x) . . .

...(2— Wx){z— t^x).

Ceh posé, faisons:

et désignons les valeurs correspondantes de y par

Puisqu'on a pour ces valeurs de x> A* = 0, il suit en vertu des deux équations (142) du paragraphe 4: