x = Q*^1-* = JrAff

d'où l'on voit que les facteurs du second membre de l'équation (149) seront égaux deux à deux, en faisant abstraction du premier facteur z — x. On a donc: qa = {a — ba)(l — z) . p*

> — qr = (a — br)(l —cz) . ?•», r-.0d=(a-W)(l+«).Çoù p, ç\ (f% seront des fonctions entières de z du degré p. Mais puisque

151) (q*—p*)(q*— cy*) = r* (1 — z«)(l — eV),

les équations précédentes font voir que les quatre constantes a, p, y, d égalent celles-ci:

et si cette condition a lieu, les quatre équations (150) donneront évidemment une de la forme (151), et par suite on aura

152) ÈL=(.^t

en vertu de ce qu'on a vu dans le paragraphe 1 de ce chapitre.

Puisqu'il suffît de connaître une seule valeur de y, nous pourrons faire par exemple:

Cela posé, il reste à satisfaire à ces équations. Or si l'on fait pour un moment:

»kjl\ * <* M14 *(*«—«)(**—',)...(**-«;)

l'expression de y deviendra :

d'où l'oo tire, en remarquant que ç(— x) — — ça?, et faisant * = 1, — 1,

donc en vertu des équations (153), on aura:

a'6»^(a — %(t) = 0, tf-j-fr — (a+%(l) = 0,

*-■£+(- IV (t)=«- -+ M« + f )* (f ) = *

1) est impossible de satisfaire à ces équations à moins que Tune des quantités a'j 6' ne soit 'zéro. Faisons donc <t' = 0, on aura en même temps 6=0. Donc deux des équation précédentes donneront:

d'où l'on tire la valeur de C, savoir:

La valeur de y deviendra:

a ox

Quant aux valeurs de qp(l) et ç (-i-), on aura en vertu de l'expression deçà-:

•9(1) et

Enfin, pour avoir la valeur du coefficient *, il suffit de faire * = 0, après avoir difterentié l'expression de y. On aura:

Mais comme on a

il en résulte, en faisant ar = 0.

donc on pourra faire:

, p» 1er""

En vertu de ce qui précède on pourra énoncer le théorème suivant:

Théorème X. "Soit e une racine quelconque de l'équation eJ(t+, = 0, mais qui ne puisse être racine d'une autre équation de la même forme etw^i—Ûj où 2*»-f-i est diviseur de 2ft-\- 1. Cela posé, si l'on détermine la fonction y, le module c*, et le coefficient r, en vertu des formules: __^+* Jfr'-r'X* WX«W) • • • (^-*a)

y yV ' (1— c»irïx*)(l — c'^V'Xl— -..(1— e*^**)' L c,^ / (l-e»)(l-^)(l-.»i)...(l-gp y

dg , ds

✓[(»-*«)(»-*»*•)] ~~ ±fV[(i— *»)(!-*«*»)]' en déterminant convenablement le signe du second membre.

Ayant trouvé de cette sorte un système de valeurs de y, &, r, on en aura, d'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, cinq autres à l'aide des formules du paragraphe l. H répond six systèmes de valeurs de y, r*, t à chaque valeur de e. On trouvera même douze valeurs de y, car à chaque valeur de e* répondent deux valeurs différentes de cette fonction. Nous reviendrons plus bas an problème de trouver le nombre total des solutions qui répondent à la même valeur de /<.

Pour donner un exemple des formules ci-dessus, soit ft = 1. Puisque dans ce cas 2/4+1 = 3 est un nombre premier, on pourra, en vertu de ce qu'on a vu plus haut, prendre pour e une racine quelconque de l'équation et = 0, excepté la racine zéro. Cette équation, en vertu de la formule qui donne l'expression de x%, est du huitième degré, savoir:

La quantité e étant une racine quelconque de cette équation, on aura:

✓ [(t^)(l-<:'V)J = ±*V[(l-*1Kl-c«*«)]'

Puisque e» est exprimé eu c par une équation du quatrième degré, le module C le pourra être également Cette équation est:

(c—c)* == 4Vcc,.{i—yrcc)\

L'expression générale de y, donnée plus haut, est exprimée en forme des produits. On décomposera aisément cette fraction en fractions partielles. En effet, puisque les racines de l'équation

sont les ifi + 1 quantités suivantes

x, Qar, (r\r . . .

la somme de ces quantités sera égale au coefficient de z**t divisé par celui de z*»+l et pris avec le signe — 1, donc:

(lV+',e>l».,i.,> »+|»+|.» + ... + |.,* = !-2__r! t.y;

donc, en vertu de l'équation

on aura l'expression suivante de y:

157) •*/ — ( x - 1 tA*"r I I . *Ay \ (-1)*+'

Cas II. Si n est un nombre pair.

Faisons n=fyi. Puisqu'on a

fi sbe. + g. Àx fttji-»» -rA». — e-Ax

on aura, en faisant m = fi:

Cette égalité ne peut subsister à moins que e^ n'ait une des deux valeurs : zéro ou l'infini. Cela donne lieu à considérer séparément ces deux cas: A. si «,i = ^.

On aura : Wx = 4- — •

es

En y substituant 0"# au lieu de x, on aura:

Les racines de l'équation y = yx deviendront donc:

158) p— qy =(o— «yX*— •arX*-^"1*).. .(^-^-»x)(i— ^x).

En désignant par a» et ô» les coeûlciens de z**'1 dans les deux fonctions entières p et y, on anra:

ôy = — (a — èy).(x -fc 1 + 8* + en*-»x + . . . + 9»-lx + W+lx)

L'expression qu'on en tire pour y sera évidemment une fonction rationnelle de x du degré 2fi, et puisqu'elle reste invariable, en mettaot pour x les fyi quantités*)

x, 9x, 9"x, . . . O'^'x, l'équation (158) aura lieu en mettant pour y cette valeur et pour p et q les valeurs correspondantes en z.

Nous allons voir qu'on aura une valeur convenable de y en faisant

a = b'=zO.

Cela donne

* 1 SA* * SA*^ ,.x '

expression qui est évidemment de la forme:

1<>9) y — A — ^— — = A.ttx.

1 + ats*+ats* + . . . + a . x»t*

Pour trouver la valeur de A> remarquons que si l'on fait x = 1, y doit avoir une des valeurs: £ 1, ± Soit par exemple y = 1, pour x= 1, on aura :

Cela posé, faisons dans l'équation (158): x= 1. En remarquant que a = 0, on aura

où ç est mie fonction entière de 2, car pour x = 1 on

En changeant le signe de z dans l'équation précédente, on aura, en remarquant que q est une fonction paire et p une fonction impaire:

q + p=(t+z)(l±cz).ç»

Cela donne:

ç*-/>* = (l-z')<l-cVXe^>')••

Maintenant, puisque

161 ) (q* —p*)(q* — C *p*) = (1 — — c'z V» cela fait voir que la fonction q* — doit être un carré parfait Or on pourra toujours déterminer & de la manière que cette condition soit remplie. Faisons dans l'équation (158)

donc: • 0H+~.r = fl*\r.

Si donc on désigne par a la valeur de y qui réponde à x = les racines de l'équation

c'est-à-dire les facteurs de p—aqt seront égaux entre eux deux à deux; donc p — aq sera un carré parfait. En changeant le signe de z, on aura p -f- <tq, qui par conséquent sera également un carré; donc en multipliant, on aura:

p* — a*q3 = i\ où t est une fonction entière de z. En faisant donc

l'équation (161) aura lieu, et par suite ou aura:

= où^ = v,

c'est-à-dire, en changeant 2 en *:

Pour déterminer le coefficient t, on aura d'abord» en vertu de la dernière équation:

« = pour *=0.

Mais l'expression de y donnera:

donc :

Le numérateur de la fraction qui exprime la valeur de y sera décomposé en facteurs; savoir si l'on fait y = ~, on aura:-

t = - c*e\x*) . . (1 -c VJ.,*1).

On pourra facilement décomposer de la même manière le dénominateur ç», comme on va le voir.

En divisant les membres de la formule (147) par y, il viendra à cause de

• -J- — q = — *(* — x)(z— 6x)(z — (Px) . . . (s— fl»i*-iar).

Cela posé, soit £ une valeur de x, qui rend y infini, c'est-à-dire une des racines de l'équation q' = 0. On aura

q — b{z — (J)(z— 0(î)(* — 0*<J) . . . (z— J). 11 suffit donc de connaître une valeur de A Or une telle valeur est — ^

En effet puisqu'on doit avoir y = £, et

on aura

Soit pour une valeur quelconque de * :

« — (Tx -4- fl«i»~"jr -f - -fon aura évidemment, en remarquant que d*v-x-=ix:

Po + Px + #»• + • • • + P «h-i = Or je dis que si l'on fait

on aura : pm = 0,

pour une valeur quelconque de m. En effet on a d'abord:

donc en mettant 6*x an lien de x, et remarquant que ^4: = ^^:

En faisant

x==vww-

c).(l±c.eD='"^+fl'^ donc en effet: •* r — q

On pourra donc faire

En remarquant que g' = 1, pour x = 0, on aura, en mettant dans l'expression de q, x au lieu de z\

D'après ce qui précède on pourra énoncer ce théorème:

Théorème XI. "Soit « une racine quelconque de l'équation e„ = i, mais qui ne satisfait pas en même temps à deux équations de la forme em == 0, &em = 1, où m est facteur de 2/#. Cela posé, si l'on détermine les trois quantités y, «*, * en vertu des formules:

2Ac.x , 2Aea.x , , 2A*[x-rx

162) /± * = Ci1t7+1^7»'f- l-c*e\+- • + )

on aura toujours:

dg t.dx

v'K»— ^K1— e'VH ✓[(!— **)(!— c«x*)] Le cas le plus simple de cette formule est celui où /* = 1. On aura:

' «Kl V)]=(1 ±C)' ✓[(!— r«)(l-C»*«)] '

Après avoir déterminé en vertu du théorème précèdent un système de valeurs pour y, c1, t, on aura cinq autres solutions à l'aide des formules du paragraphe 2 de ce chapitre.

B. SieH = 0.

Si — 0, le radical Ae^ ne pourra avoir que l'une des deux valeurs -f- 1 — 1 ; mais il faut ici supposer àe^ = — 1, car si l'on avait en même eH = 0, Afy = 1, il en résulterait Ov-x — x, ce qui n'a pas lieu. Mais

xie + e Ax l cs,»x» »

cela donne

flH# = — *,

et, en mettant fl"ar au lieu de x:

6v*-x = — (Tx.

Les racines de l'équation y = yx seront égales dans ce cas deux à deux, mais de signe contraire, et par conséquent yx sera une fonction paire de x. En faisant

Vz = j>

on aura:

464) p —qy=(a — Ay)(za — — (^)*)(2* — (G**)*) . . . (*•—'(*-»*)■).

Si l'on fait z = 0, et qu'on désigne les valeurs correspondantes de j> et q par a* et 6', on aura:

a' — b'y = ± (a—by)(x. Ox. 6*x . . . 6»-*x)%. ' Cela donne pour y une expression rationnelle dn degré £/i. Comme dans les deux premiers cas on démontrera aisément qu'il sera toujours possible de déterminer les constantes a, b, a', b* de la sorte que l'équation:

A'y Ax

sera satisfaite, en attribuant au module e et au coefficient * des valeurs convenables. Je vais considérer seulement le cas le plus simple, où fi = 1. On aura dans ce cas

a'—b>y = (—a+by)x*

et par suite:

o' + ax»

y é' + ix» " En mettant cette valeur dans l'équation:

e A> ' Ax »

on trouvera facilement une solution, savoir:

ainsi une solution, on en déduira, en vertu des formules du $ 2, les cinq autres, de sorte que l'équation

pourra être satislaite des six manières suivantes:

iOR\ r> — l±î- *± v' (*-**)

' î^e' «*)' cq:^(c«— 1)'

Réduction du problème général au cat où k degré da la fonction rationnel!* y

mt un nombre premier.

Soit maintenant y — tfx une fonction rationnelle quelconque qui satisfait à l'équation différentielle:

Ay ^

Comme on a vu dans le paragraphe 3, l'équation

aura toujours » racines de la forme:

167) x, Ox, 0*x, . . . 0"-1, où (Tx — x.

Cela posé, désignons par x* une nouvelle racine, différente de celles-ci, en sorte que:

yjr» = yx = y.

On a

V»(0-jt) = ¥*,

donc ausBi

y((Tx') — ^x> = y.

Il suit de là que les n quantités

qui sont différentes entre elles, seront racines de l'équation dont il sagit Or toutes ces n racines seront différentes des racines (167). En effet si l'on avait (fx* = Ov-x, il en résulterait:

0~— fl-ar* = 0—

x» = 0— +Mr,

ce qui est contre l'hypothèse. Le degré /« de l'équation y = xpx est donc égal à 2«, ou plus grand que ce nombre. Dans le dernier cas, si l'on désigne par x* une racine différente des 2» racines précédentes, on aura en même temps celles-ci: ■

**, 0**, 0%a? . . . Él-1**, qui seront différentes entre elles et des racines (167. 168). Donc /i sera égal à Sn ou plus grand que ce nombre. En continuant jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les racines, on voit que fi doit être un multiple de », et si l'on fait en

fi — m.n,

les p racines se rangeront en m groupes, de n termes chacun, savoir: (x, Ox, Q*x . . . 0— 1 x, laf, fl-r», 0V. . .

Cela posé, soit

où p et q sont des fonctions entières de z, sans diviseur commun. On aura: 170) p — qy=(a—by).(z — x)(z — — 0*x) . . (z— tf-'*)

et d'après ce qui a été exposé dans le paragraphe précédent, on pourra trouver une fonction rationnelle: y, = y,(.r), telle que les racines de l'équation

soient égales à ces n quantités:

x, Ox, 0*x, , . . 0*~~lx, et que yt satisfasse a une équation différentielle de la forme: âj\\ «foi . dJ

Faisons

où et q' sont des fonctions entières du degré n. On aura :

172) p'— q'y, = (a'— b'yt)(z — x)(z — Ox) . . . (z— 0~lx), où et 6' sont des constantes.

En y mettant au lieu de x successivement les m valeurs:

et puis multipliant entre elles les équations qui en résultent, on trouvera, en ayant égard à l'équation (170):

m*-i\ p — qr p'—f9i p'—fu p'—q'y-

Où

sont les valeurs de la fonction y„ qui répondent aux valeurs de *.

Puis, attribuant à x deux valeurs particulières a, /?, telles que

et désignant par

°I» Cl> • • • amy §i* fin • • •

les valeurs de yx, y„...y„, respectivement correspondantes aux valeurs a et fi de ar, l'équation

' (y = A'ip-^.q') (p'-W) . . • (p'-fi..q% où 4' et ^ sont deux constantes. En divisant p par y, on voit que 2- r= yz sera fonction rationnelle de ^ = v4z. En mettant * au lieu de c,

f =y> Y=yi»

J7!ï\ „ ^ (>i — «tXy, — Oa)(jri — «s) • » - (y, —a.)

' y~ '<yi-Pi)(yi-P»)(y.-f*,)--(yi-M'

où A = — est constant A'

On voit donc que y pourra être exprimé par une fonction rationnelle de y, du degré m. ,

En combinant maintenant l'équation (171) avec celle-ci:

qui doit avoir lieu, on aura:

176) d* = -i. rfj'

donc la fonction y, rationnelle en yt et du degré m, doit satisfaire à cette équation. Réciproquement, si cette équation a lieu, l'équation

subsistera également, car la fonction y, est déterminée en x de la manière à satisfaire à la formule (171). Ainsi le problème général est rédnit à satisfaire de la manrièe la pins générale à l'équation (176). Or ce problème est précisément le même que celai que nous traitons actuellement ; seulement le degré de la fonction y en y, sera m, an lieu que y, comme fonction de x, est du de* gré m.n, qni est pins grand que m. On pourra donc appliquer à l'équation

(176) le même procédé dont on s'est servi pour l'équation É?L = t . Éf. et il

• Ay àj

est évident qu'on parviendra ainsi à l'expression générale de y, car les degrés des fonctions successives vont toujours en décroissant

Supposons maintenant que le degré /* de la fonction y en x est un nombre premier. Puisque fi = m.n, on a nécessairement m = 1, /< = n. Par suite:

S Si— P,

On connaît l'expression de y, en x par les formules du paragraphe précédent En substituant l'expression de y en yt dans l'équation (176), on trouvera à l'aide des formules du paragraphe 2 toutes les solutions possibles.

En vertu de ce qui précède on pourra donc énoncer le théorème suivant:

Théorème XII. Soit y une fonction rationnelle de * d'un degré quelconque /#, qui satisfait à l'équation différentielle:

dy ds

Vi(î=r)(i-c-v)] ~ ' ' v[(i-*')(i-c**-)5 "

On ponrra toujours décomposer /* en deux facteurs n et m, dont l'un n est un nombre premier, tels qu'on ait:

dyt ds

✓ [(l-jr^Kl-cWC ~ * * V[(l—r*)(l -e»**)]

et

dg * dyl

✓ [<--»•)(- -*V)1 ~ »i V[(l-y»i)(l-«9,srVr où y est une fonction rationnelle de y, du degré m, et y, une fonction rationnelle de x du degré n.

Si donc on désigne par », »„...»„ des nombres premiers dont le produit est //, et qu'on fait, pour abréger:

on pourra faire:

dy rfg* — —, . rf*

âômô ~ ~fv-1 • Ato^.o *'Â(^r) '

où yt est une fonction rationnelle de x du degré n,

* y§ yt- ' n%-

En vertu de ce théorème la solution du problème général sera donc ramenée an cas où le degré de la fonction y est un nombre premier. On trouvera tontes les solutions qui répondent à ce cas par les formules du paragraphe précédent, et le problème que nous nous sommes proposé ai de ce chapitre pourra être regardé comme résolu.

8ur la forme de la fonction j.

Désignons par x, ar1, x9 ... jt<h-» les racines de l'équation

Si Ton fait yz = £ , où p et q sont des fonctions entières de z, on

177) p — qy=[a-by)(z-x){z—x>){z-x') . . .

où a et b sont des constantes. Cela posé, soit a une racine de l'équation y= 0, on aura en faisant x = a:

Soit également /? une racine de l'équation y = ^. Cela donnera, en faisant * = /?, et après avoir divisé les deux membres de l'équation (177) par y:

179) q =b{z-(3){z-(i%z-P') • • • (t-P*-1)- Ces valeurs de p et y donneront, en mettant x au lieu de z:

180) y==^ (*-»)(,-»)... fr-q^O)

où est un coefficient constant, qu'on trouvera en remarquant que si l'on fait x = 1, y doit avoir une des valeurs ±1, ± — •

Mais il y a deux cas: savoir, il pourra arriver que Tune ou l'autre des deux quantités a et b soit égale à zéro, et dans ce cas l'une des racines des équations y = 0, y = £ sera zéro ou il

Cas 1. Si // = 0.

On aura dans ce cas

181) p—qy = a(z — x){z—ï) . . (z—x(*-%

et p sera du degré //, et q seulement du degré fi — i. En égalant le coefficient de dans les deux membres, on aura:

182) a?— b'y=— a(x+x>+x>+... + x<»-% on a» et b> sont des constantes. Maintenant si

. sàe + eAx

est nne racine de y = y*, la quantité

xAc — eAx 1— *»e«x»

le sera également; donc si ces deux quantités sont différentes entre elles pour tontes les valeurs de e, fi sera on nombre impair, et en faisant /* = 2n-f-l,

Maintenant si l'on fait x — ^ 1, ^ -i-, on aura y = ± 1, y=±^ d'où il

est facile de conclure que a' sera égal à zéro. Donc y sera une fonction impaire de x, et de la forme:

Cela fait voir que

q=z(l c^z») ... (1 — r»eV2«).

Pour avoir p, il suffît de faire dans l'équation (181) x = 0, et cela donne

p = az (z* — «*)... (** — «*„),

donc on aura:

185) y-«- (1 c,eV,)(l c,.v,)...(1 cw) •

Telle est donc la forme de la fonction y dans le cas où le degré de son numérateur est impair et plus grand que celui du dénominateur.

Si pour quelque valeur de e les deux quantités

xAe + «Ax xAff — «Ax 1— c«»*Ax' 1— e«e«x«"

étaient égales, on aurait:

e = 0, où e = £.

Soit d'abord « = on aura = £ JL, et par suite le second membre de

l'équation (182) serait une fonction impaire de x, dont le degré serait an pair. On trouve seulement que cela donne a' = 0; donc en faisant p — Zn:

et par suite y sera exprime en factorielle comme il suit:

Si au contraire e = 0, on anra en même temps: / x' — x.

Donc dans ce cas y sera une fonction paire de x. Mais le degré du numérateur doit être le même que celui du dénominateur, comme il est facile de voir; donc l'expression (187) appartient à y toutes les fois que le degré du numérateur est un nombre pair et en même temps plus grand que celui

CasTl. Sia = 0.

On aura:

p — qy=±by(x— 2)(x'— z) . . . (x'^—z).

En raisonnant comme ci-dessus on trouvera aisément que dans le cas où fi est un nombre impair, y sera une fonction impaire de x de la forme:

> y a' s(,\-x*)(e\ -**)... «-*») Si ft est pair, y sera une fonction impaire de x de la forme :

joq\ ' „ *p-"«y> - ('-«".'-,*'>

WJ) y-n

De la fonction

Nous avons vu chapitre I. paragraphe 4. qu'à l'équation différentielle

on peut satisfaire, en mettant au lieu de y une fonction impaire de x du degré (2f* -f- 1)*, qui s'évanouit avec En la désignant comme nous l'avons fait à l'endroit cité par £»„+i, et faisant pour abréger (2/*-f- l)a — 1=2», cette fonction, en vertu de ce que nous venons de voir dans le paragraphe précédent, doit avoir la forme suivante:

et on aura en même temps:

ni) Iw.=^.(*+1^+^+...+1^).

Pour déterminer les coefficiens a et À, faisons x = £. On trouvera:

A y c^m • c ^ • £^ • • • c*», ■ ■ H» Si l'on suppose x infiniment petit, la première formule donne:

xï(l+i= a. e*. <»*... e\.x, mais l'équation différentielle donne dans ce cas:

par suite:

Si l'on "suppose x infiniment grand, la seconde expression de xS|1+I xt(l+1=J.x, mais dans le même cas l'équation différentielle donne:

donc:

Connaissant on aura:

193) e|.e;...e«li=^li, a = C = c*»'+*».

Les quantités é?lt <?„. ..en ont entre elles des relations remarquables que allons développer.

Considérons l'équation Les racines de cette équation seront les (2ji + if quantités

Soit U — '*t*£% «ne quelconque de ces racines, les £// -f- 1 quantité»:

x, Ox, ô'x . . . O'^x

seront encore des racines et en même temps différentes entre elles, en prenant pour e une quantité qui n'est pas racine d'une équation

Xf*+i — 0, où 9m -f- i est facteur de &p -f- 1- Soit

"1 1— «««'»*• une autre racine, on aura encore les racines suivantes:

e,*-, e'ar, . . . %YX>

qui seront différentes entre elles. Cela posé, faisons

on aura en général:

quels que soient les nombres entiers m et k. En mettant (Par au lieu de x,

donc toute quantité de la forme

sera racine de l'équation y = yx. Je dis maintenant que si l'on attribue à A et m toutes les valeurs entières possibles, moindres que 2// -f- 1, les valeurs qui en résultent pour la fonction G*^"*, seront tontes différentes entre elles. En effet, si Ton avait

O^O-ar = <r\ô-' x,

il en résulterait, en mettant Ç"^1— au lieu de x, et remarquant que t*»+*x=x:

où h' = m -j- 2/* -f- 1 — Cela donne:

où *• = 2/t -f 1 — A -f A', c'est-à-dire :

et de là:

2/i -f 1 est un nombre premier, on pourra faire

c'est-à-dire 0^ serait une des quantités:

x, fcr, . . . e^x,

et cela est contre l'hypothèse.

L'expression e*x0"x a donc un nombre + *)* de odeurs différentes et par conséquent ces valeurs seront les racines de l'équation

= assoit maintenant

On aura en regardant e et e* comme variables:

Ax- —

Ajt

de»

de

Ax

Ae

En mettant dans la première formule au lieu de x, x' se changera en **, donc:

donc:

et si l'on fait

Ax» Ax~ ' Ae ' ds« dx , , rfe' , rfe

Âx-" — Â7 * ~& "+" Â7'

de de»

Ae' A«V A» A».

</x* dx . <fe\ . rfc.

Si donc on fait:

on aura:

dx* </x , «*«.,,

Ar» Ax A*^ '

et de là, en supposant que em et s'évanouissent avec e:

Toutes les racines de l'équation y — ara^+I pourront donc être exprimées par cette même

Donc pour trouver toutes les racines, il suffit d'avoir la valeur des deux quantités e et ef, qui sont deux racines de l'équation

Toutes les racines de cette équation

qui, par ce qui précède, sont les (2/t -f- 1)* quantités suivantes

0, ifu i • • • i*»

sont donc exprimées par lu formule

en donnant à m et k toutes les valeurs moindres que 2fi -j- 1. Il est facile de voir qu'on pourra exprimer e»,* en fonction rationnelle des deux quantités «, 'donc on voit que toutes les racines de l'équation xtiL+1 = 0, pourront s'exprimer rationnellement par deux entre elles et par le module c.

Si l'on veut exprimer ar4ll+l à l'aide des fonctions 9^ et 0*, on pourra faire cela d'une manière fort simple. En effet, en remarquant que le dernier terme d'une équation est le produit de toutes ses racines, on aura sur le champ : ■196)

Xe,x.0l0x.01Ôax...Oiea>la:

On a aussi:

197) *w = ^-2m£m<rtr*

De l'équation x1|ltfl = 0.

D'après ce qui précède les racines de l'équation #ï|tfI = 0 sont exprimées par e^t en donnant k m et k toutes les valeurs possibles moindres que 2/u+l. Une de ces valeurs est zéro, savoir e0>0.

En divisant le numérateur de la fraction par x, on aura, en égalant

le quotient à zéro, une équation:

du degré 4/t* -j- 4//. Je dis que cette équation peut être résolue à l'aide d'équations du degré 2fi -f- 2 et du degré SLft.

Soit p une fonction quelconque symétrique et rationnelle des quantités et , ...«t|i. En mettant au lieu de e„ et,...et(l leurs expressions en fonctions rationnelles de eit p deviendra une fonction rationnelle de cette racine. Faisons :

199) P = Çe1, on aura évidemment:

200) <pe, = <pet = q>et = . . . = (pctfL,

équations qui auront lien quelle que soit la racine e. Cela posé, mettons au lieu de «, il est clair que

se changeront respectivement en:

Donc on aura:

201) tpe^ , = q>eiMf » = ■•• = «K .

Formons l'équation:

<(j,— Ve,Xji — ve^&p— <peitl)(p— q*fcl) . . . (/>— çe>|M) ' \=p^+»^, .pw + . . . + Ço=0,

7o> ?i> • • • 6eront des fonctions symétriques et rationnelles de <pelt tfeo,i> < ■ ■ <fei\L,i- Or on pourra les exprimer rationnellement en e. En effet il suffit d'avoir la valeur de:

203) {yef + (y*0>1)* + . . . + fo^ 0* = (>*

En vertu des équations (200, 201) cette quantité pourra s'écrire comme il suit: 2(t.Çk = foej* + (<pej- + (y*,)* + . . . + ((fe^

+ (»^JH-(v^+(^aM- ■ • • +(? W H- («F«'i,i)'+(«r^,J*+(<r«»,,)'H- . • • +(?«.*.,)*

+ (<P««m i)*+(V«4mi)*-K»««m «)*+ • • • + (9«*wt*J' Or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation P = 0; donc on pourra exprimer çk rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire par c.

On voit donc que les coefficiens de l'équation (202), q9, qlf y„ . . . seront des fonctions rationnelles en c. Donc une fonction symétrique quelconque des racines:

pourra être déterminée par le module e, à l'aide d'une équation du degré 2fi-\-t. Cela posé, faisons:

204) (e—eùie—ej . . . (e— e9J =

+Pr+'*** + Pr+'**r* + • • • + *»,•«• + Po = 0. Les coefficiens pxt . . ./>H, seront des fonctions rationnelles et symétriques de elt «,,...et|1; donc, comme nous venons de voir, on pourra les déterminer à l'aide d'équations du degré 2/* -J- 2. Ainsi pour avoir les racines de l'équation /> = 0, il suffira de résoudre des équations du degré 2/i et 2^-j-2.

Ce qui précède est susceptible d'une application importante. Le module C, exprimé par la formule (156), est comme ou voit une fonction rationnelle et symétrique de e, e„ e„ , . . ea|l. Donc, en vertu de la propriété démontrée précédemment, on pourra trouver le module tf en c à l'aide d'une équation du degré 2/i -f- S* Cette équation ne parait guère résoluble algébriquement, ex» cepté lorsque lp + 1 = 3. Dans ce cas elle sera du quatrième degré.

En appliquant le théorème XII. à l'équation :

on aura en remarquant que le degré de la fonction est (2/i-j-i)", et

2/i+l un nombre premier: 1

^VtL -^L=(2« + l). /*,

où y est une fonction de x du degré 2/i-p-1» 1 one fonction de y du

même degré. On aura:

(l— cV»jt») (1 — c»«\jr*) . . . (I— •*«**«)

„ ttk+t ( 1— «» 1<>Y

e' est déterminé de la même manière en C que e l'est en t*. Donc si l'on change c en c1; e se changera en e\ De là il suit que l'équation entre les modules C et c doit rester la même si l'on change simultanément c en C et C en c.

Puisque C dépend d'une équation du degré 2u -j-2, on pourra donner ;i la fonction y, 2/i+2 valeurs différentes.

$ il.

diffénmiei qui répondent à un même degré de la fonction y.

Soit

B0+Bls+Bts* + ...+B s»

A(jf,c) A(x,e)

Supposons /i premier et d'abord fi = 1. Dans ce cas le modale c*, en vertu des formules du paragraphe 2, aura six valeurs différentes et la fonction y en aura douze.

Si fi = 2, on aura tontes les solutions possibles en combinant les deux formules (165, 165) avec les six formules du paragraphe % ce qui en donne 18 valeurs différentes du module C.

Si l'on fait

ces 18 valeurs se trouveront en mettant dans les six fonctions:

±, ±j. ±(4=&)*. ±Ci±&)\ ±(j=£è)-. ±(££)*.

les trois quantités c, , <•„ e, au lieu de c.

Si fi est un nombre premier impair 2» + l, on aura d'abord 2» +2 valeurs du module c*, qui répondent à la forme suivante de y.

^ = yV * (i —c*e*s*)(l— c«eVa) • • • (l— '

Or de chaque valeur de y de cette forme on tire en vertu des six formules du paragraphe 2. cinq antres de la forme:

1— c ' iq^tz-c" auxquelles répondent respectivement les modules :

JL /lzzvV^\* + y /l + ✓—c'Y /!--✓— c'Y

c-' Vit^/' vi— /c/ ' Vi—/—,.'/' vi+/— c'y*

On aura donc en totalité un nombre de 6 (2» + 2) = 6(/i-|-l) valeurs différentes pour le module C. On en aura le double nombre pour la fonction y.