f(z, f\xy yf\ = une fonction symétrique de x, y et z

Une fonction symétrique reste la même lorsqu'on y échange entre elles d une manière quelconque les quantités variables dont elle dépend. On a donc les équations suivantes:

f(:,f{x,y)) = f{:>fly>*)\

f{t,a*,y)) = f{x,f\!t>*)\ fi**fl*>y)) = f{!/>f{*>*))i f{:>fX*>yj) = f{y,fc> *))•

La première équation ne peut avoir lieu à moin qu'on n'ait

c'est-à-dire f(x, y) doit être une (onction symétrique de x et y. Par cette raison les équations (2.) se réduisent aux denx suivantes:

3 if(z,f{x>y)) = f(x>f{y,:)) \f(z>a*>y)) = f{y>f{:>*))>

Soit pour abréger f\x, y) — r,f{y,z) — v; f{z3 x) = s; or

En différentiant successivement par rapport à x, y, z, on aura

Si Ton multiplie ces égalions membre par membre et divise les produits par P(r) f>(v) • /*(*)» °n obtiendra cette équation

Mon fait z invariable, (^) : (^) se réduira à une fonction de y seule.

oit (p (y) cette fonction, on aura donc en même temps : = ?(«-);

car * est la même fonction de ; et j- que r de 2 et y. Donc

On en tirera, en intégrant, la valeur générale de r,

r = v (/t* • dx +hy • <ty)

V étant une fonction arbitraire. En écrivant pour abréger '/.r pour fyxdx et <py pour /pyrfy, on aura