r = V'(^x + y)y), ou f{x,y) = (yx + h y

Voila donc la forme, que doit avoir la fonction cherchée. Mais elle ne peut pas dans toute sa généralité satisfaire à l'équation (4.). En effet l'équation (a.), qui donne la forme de la fonction f[x,y), est beaucoup plus générale que l'équation (4.), à laquelle elle doit satisfaire. Il s'agit donc des restrictions auxquelles l'équation générale est assujettie. On a f{z,r) = ytoz + yr).

Or r = y (tfx -f Vy) , donc f{z, r) = y (tpz -f tPi< (<px + <ry)) . Cette expression doit être symétrique par rapport i i, y et z. Donc ifz -\- -f çy) = tfx + VV (?y + V*)- Soi! <r* = 0 et <fy = 0, on

V V = V* + <f V (0) = <t* + r , donc en Taisant qx = p,

En désignant donc par y, la fonction inverse de celle exprimée par 9 de sorte que

Wx (*) — * .

on trouvera

La forme générale de la fonction cherchée f(x,y) sera donc

f{*> y) = V 1 (* + V* -f W), et cette fonction a en effet la propriété demandée.

On tire de là

ou en mettant 1/ x — r à la place de (fx et par conséquent vy — c à la place de <py et — f 8 ,a P,aec de v(f(x>y))>

vA^y)= ?•(*) + v (.y) •

Cela donne le théorème suivant:

Lorsqu' une fonction (\x, y) de deux quantités variables indépendentes x et y a la propriété que f(î,f{x,y)) est une fonction symétrique de x, y et z, il y aura toujours une fonction y pour laquelle ou a

v A** = v» (•*■) + vCy) •

La fonction f\x,y) étant donnée on trouvera aisément la fonctinu y.r. En effet on aura en différant iant l'équation ci-dessus suivant .r et suivant y, et faisant pour abréger f[x, y) = r:

donc en éliminant ^'(r), d" où

Multipliant donc par rf.r et intégrant, on aura

Soit par exemple

r = f(.r, y) = ry, il se trouvera donc one fonction y, pour laquelle

Orr = xy, donc ±. = y, ~ = ^

donc vx = V'y dx = yy't/ log («) ,

ou puisque la quantité y est supposée constante,

yx = a log (ex) .

Cela donne = a log (ey), y (xy) = a log (rxy) ; on doit donc avoir: a log (exy) = a log (ex) -f- a log (ry); ce qui a effectivement lieu pour e = 1.

Par un procédé semblable au précédent on peut aussi trouver des fonctions de deux quantités variables, qui satisfont à des équations données à trois variables. Savoir on peut par des différentiations successives par rapport aux différentes quantités variables trouver des équations, desquelles on peut éliminer autant de fonctions inconnues qu'on voudra, jusqu' à ce qu'on est parvenu à une équation qui ne contient qu'une seule fonction inconnue. Cette équation sera une équation différentielle partielle à deux variables indépendentes. L'expression, que donne cette équation, contiendra donc un certain nombre de fonctions arbitraires d'une seule quantité variable. Lorsque les fonctions inconnues trouvées de cette manière seront substituées dans l'équation donnée, on trouvera une équation entre plusieurs fonctions d'une seule quantité variable. Pour trouver ces fonctions on doit différenticr de nouveau et ou parviendra par là à des équations différentielles ordinaires, desquelles on trouvera les fonctions, qui ne sont plus arbitraires. De cette manière on trouvera la forme de toutes les fonctions inconnues, à moins qu'il ne soit impossible de satisfaire à l'équation donnt-e.

Démonstration de t impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qtà passent le quatrième degré

On peut, comme on sait, résoudre les équations générales jusqu'au quatrième degré, maïs les équations d'un degré plus élevé seulement dans des cas particuliers, et, si je ne me trompe, on n'a pas encore répondu d'une manière satisfaisante à la question:

"Est-il possible de résoudre en général les équations algébriques, qui

"passent le quatrième degré?" Ce mémoire a pour but de répondre à cette question.

Résoudre algébriquement une équation ne veut dire autre cbose, que d'exprimer ses racines par des fonctions algébriques des cocfficiens. D'abord il faut donc considérer la forme générale des fonctions algébriques, et chercher ensuite, s'il est possible de satisfaire à l'équation donnée en mettant l'expression d'une fonction algébrique an lieu de l'inconnu.

Sur la forme générale de* fonction* algébrique».

Soient X*, x*, xm . . . un nombre fini de quantités quelconques. On dit que v est une fonction algébrique de ces quantités, s'il est possible d'exprimer v en •r", x" ... a l'aide des opérations suivantes. 1. par l'addition; 2. par la multiplication soit des quantités dépendentes de x", x" . . . soit des quantités, qui n'en dépendent pas; «ï. par la division; 4. par l'extraction des racines avec des exposons premiers. Parmi ces opérations nous n'avons pas compté la soustraction, l'élévation a des puissances entières et l'extraction des racines avec des exposants composés, car elles sont évidemment comprises dans les quatre opérations mentionnées.

Lorsque la fonction v peut se former par les trois premières des opérations ci-dessus, elle est dite rationnelle; et si tes deux premières opérations

sont seules nécessaires, elle est dite rationnelle et entih'e , ou seulement entière

Soit /\x', x*,xm . . .) une fonction quelconque, qui peut s' exprimer par une somme d'un nombre fini de termes de la forme

Ax""i . x*mt

où A est une quantité indépendante de x', x* etc. et m„ nt, etc. signifient des nombres cutiers positifs; il est clair, que l'opération désignée par f\x',x',xm...) est un cas particulier des deux premières opérations ci-dessus. On peut donc considérer les fonctions entières suivant leur définition comme résultantes d'un nombre limité de répétitions de cette opération. Donc en désignant par r', ify tf etc. plusieurs fonctions des quantités x', x", xm . . . . , de la même forme que flx', x; . . .), la fonction f\v\ «",...) sera évidemment de la même forme que f{x; x* . . .). Or flv',if...) est l'expression générale des fonctions résultantes par l'opération ftx1, **,...) deux fois répétée. On trouvera donc toujours le même résultat en répétant cette opération autant de fois qu'on voudra. Il

suit de là, que toute fonction entière de plusieurs quantités x1, x* peut

être exprimée par une somme de plusieurs termes de la forme Ax"*\ . x"»

Considérons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque fix1, x* . . .) et y(ar', x* . . .) sont deux, fonctions entières, il est évident, que le quotient

est un cas particulier du résultat des trois premières opérations, qui donnent des fonctions rationnelles. On peut donc ronsidérer une fonction rationnelle comme le résultat de la répétition de cette opération. Si l'on désigne par

V, if, tf etc. plusieurs fonctions de la forme ^f'*" " | , on voit aisément, que

la fonction - ' ' ' -) peut être réduite à la même forme. Il suit de là, que

toute fonction rationnelle de plusieurs quantités x', x* peut toujours être

réduite à la forme

où le .numérateur et le dénominateur sont des fonctions entières.

Nous allons ensuite cbercher la forme générale des fonctions algébriques.

Désignons par f\x>, x* . . .) une fonction rationnelle quelconque, il est clair que toute fonction algébrique peut être composée à l'aide de l'opération

désignée par /\x', x9 . . .) combinée avec l' opération y^r, où m est un nombre premier. Donc, si p\ /#"... sont des fonctions rationnelles de x", x* . . .

Pl=f(x'yx'... Vp', Vp'-) sera la forme générale des fonctions algébriques de x1, x9 . . . dans lesquelles

1' opération exprimée par y r alTeetc seulement des fonctions rationnelles. Les fonctions de la forme px seront dites fonctions algébriques dit premier ordre. En désignant par />,', p* plusieurs quantités de la forme pv Y expression,

Pt = /UJ, • • • Vp; Vp"-- VPi, Vp" • ■ ) sera la forme générale des fonctions algébriques de x', x"..., dans lesquelles

l' opération V r affecte seulement des fonctions rationnelles et des fonctions algébriques du premier ordre. Les fonctions de la forme p% seront dites fonctions algébriques du tleuxième ordre. De ta même manière l'expression

P>=f\x>, x*... Vp\ Vp* ■ • - Vp,', Vp,; • • • Vp*, \ïp; ■ ■ ■)

dans laquelle p9', pf sont des fonctions du deuxième ordre, sera la forme

générale des fonctions algébriques de .r', .r» . . . dans lesquelles I' opération Vr n' affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algébriques du premier et du deuxième ordre.

En continuant de cette manière, on obtiendra des fonctions algébriques du troisième, du quatrième... du /i>rn" ordre, et il est clair, que l'expression des fonctions du ft,ime ordre sera l' expression générale des fonctions algébriques.

Donc en désignant par fi l'ordre d'une fonction algébrique quelconque et par v la fonction même, on aura

v = f\r>,r» ...Vp', Vp' . • ) où p\ p" sont des fonctions de l'ordre /< — 1; r\r*... des fonctions de l'ordre fi — 1 ou des ordres moins élèves, et «',»•... des nombres premiers, f signifie toujours une fonction rationnelle des quantités comprises entre les parenthèses. On peut évidemment supposer, qu'il est impossible d'exprimer une des

quantités Vp', Vp" - Par une fonction rationnelle des autres et des quantités r*, r* . . . : car dans le cas contraire la fonction v aurait cette forme plus simple,

t' = flr',7-... Vp', Vp'..)

où le nombre des quantités Vp1, VV*"a serait diminué au moins d'une unité. En réduisant de cette manière l'expression de v autant que possible, on parviendrait ensuite ou à une expression irréductible, ou à une expression de la forme

v — fl? f, r* . . .)

mais cette fonction serait seulement du (/t — 1)-* ordre, tandis que v doit être du piim* ordre, ce qui est une contradiction.

Si dans l'expression de v le nombre des quantités y'p', Vp' • • est égal à m, nous dirons, que la fonction v est du piime ordre et du miim' degré. On voit donc, qu'une fonction de l' ordre p et du degré 0 est la même chose qu'une fonction de l'ordre p — 1, et qu'une fonction de l'ordre 0 est la même chose qu'une fonction rationnelle.

Il suit de là, qu'on peut poser

» = /{r',r»... Vp) où p est une fonction du (p — 1)~ ordre, mais r', r" . . . des fonctions du /u~ ordre et tout au plus du (m — l)-4 degré, et on peut toujours supposer qu'il

est impossible d'exprimer \fp par une fonction rationnelle de ces quantités.

Dans ce qui précède nous avons vu, qu'une fonction rationnelle de plusieurs quantités peut toujours être réduite à la forme

où * et / sont des fonctions entières des mêmes quantités variables. On conclut de là, que v peut toujours être exprimée comme il suit,

où 9 et t signifient des fonctions entières des quantités r', r* . . . et Vp. En vertu de ce, que nons avons trouvé plus haut, toute fonction entière de plusieurs quantités s, r, r" . . . peut s'exprimer par la forme

<o "f <i* + V* + • • • 1 0 tm étant des fonctions entières de r', r", r" . . . sans s. On peut donc poser

<o + tlP° + .... Up" T

v 1 I HïT — v

vo + viPn + r*P° Vm'Pn

où f0, r, . . . tm et *>0, v,... vm, sont des fonctions entières de r», r», r" etc.

Soient Vv P, . . . V^.x les » — 1 valeurs de V, qu' on trouve en mettant i i i j i

successivement ttpH, a%pnt a*//". . . a*-1/»" au lieu de pn, a étant une racine

différente de l'unité de l'équation a* — 1=0; on trouvera en multipliant la T

fraction ~y en haut et en bas par F,. V%. Vt... P»,

r^r, . ra... r.i

Le produit F. Ft . . . F»-, peut, comme on sait, s'exprimer par une fonction entière de p et des quantités r', r» . . ., et le produit T. Vx . . . P, est, comme

on voit, une fonction entière de Yp et de r*, r*... En posant ce produit égal à

on trouvera

ou en écrivant y„ y, . . . au lieu de i^, -il etc.

JL ». 1

v = 9o + 9iPn + 9%P~-- 9>Pm où 7o> 9\ • • • ?» sont des fonctions rationnelles des quantités /i, r1, r" etc. Soit fi un nombre entier quelconque, on peut toujours poser

p = an -\- a

a et a étant deux nombres entiers et a <n. Il suit de là, que

En mettant donc cette expression au lieu de p" dans l'expression de v, on obtiendra,

» = ?o 4- 4- • • • + y-ip " »

9o> 9\> 9* étant encore des fonctions rationnelles de p, r1, r» . . . et par conséquent des fonctions du p™ ordre et au plus du (m — degré et liées entre

elles de manière qu'il soit impossible d'exprimer pn rationnellement par ces quantités.

Dans l'expression de v ci-dessus, on peut toujours faire y, =: 1. Car si y, n'est pas nul, on obtiendra en faisant />,=p.yI»

' fi" * îi '

expression de la même Tonne que la précédente, seulement que qx — 1. Si <y, = 0, soit ^ une des quantités y,, 7, . . . qui n'est pas nulle, et soit

ajj. a

q .p^ =px. On conclut de là, q„.p* — Pin- Donc en prenant deux nombres entiers « et /S, qui satisfont à l'équation up- — ■/î»=^'> p' étant un nombre entier, on aura

" = i»" et ■Pr9-p'-

En vertu de cela et en remarquant que y^/»* = pxu, i> aura la forme

« = 9* + + 9tPi" • • - • De tout ce qui précède on conclut:

Si v est une fonction algébrique de l'ordre p et du degré m, on peut toujours poser:

L *. A îzL

où » est un nombre premier, q0, q%. . . 9^ sont des fonctions algébriques de

l'ordre et du degré m — 1 au plus, p est une fonction algébrique de l'ordre

p — 1, et p" ne peut s'exprimer rationnellement en q0, y, . . .

Propriété! det fonction* algébrique», qui êatiêfont à une équation donné*.

Soit

une équation quelconque du degré r, où c0, <*,... sont des fonctions rationnelles de x*... t x', x* ... étant des quantités indépendantes quelconques. Supposons, qu'on peut satisfaire à cette équation en mettant au lieu de y une fonction algébrique de*', Soit

cette Jonction. En substituant cette expression de y dans l'équation proposée, on obtiendra, en vertu de ce qui précède, une expression de la forme

ro + r%P' + T*P* • "f r-i/> " = 0 3.

où r0, ri,r%,..,r^l sont des fonctions rationnelles des quantités p, g0, ,. Or je dis, que l'équation (3) ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait séparément ro = 0, rl = 0 . . . r l = 0. En effet dans le cas contraire, on aurait en posant p* = z, les deux équations

z" — p=0, et »"o+ rtz + r9î» . . . -f- r^-1 =0 qui auraient une ou plusieurs racines communes. Soit A le nombre de ces racines, on peut, comme on sait, trouver une équation, qui a pour racines les * racines mentionnées, et dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de P' ro> **!••• *V-i- Soit

cette équation, et

'o + V + *,*"... + Vt2^' + ^

un facteur de son prémier membre, où tn, t, etc. sont des fonctions rationnelles de p, r#, rt . . . on aura de même

+ + VV.. + <l^-+^ = o,

et il est elair, qu'on peut supposer, qu'il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré moins élevé. Cette équation a ses fi racines communes avec T équation z* — p = 0. Or toutes les racines de l' équation s" — p = 0, sont de la forme az, où u est une racine quelconque de l'unité. Donc en remarquant, que fi ne peut pas être moindre que 2, parce qu'il est impossible d'exprimer z en fonction rationnelle des quantités p, r0, r,...ivt, il s' ensuit, que deux équations de la forme

<o + V + •• + 'i*-i2,'"l + ^ = 0 et • f. -f- af,s -f «V* • • • + «^''p.-,^1 -f- = 0 doivent avoir lieu. De ces équations on tire en éliminant z^

Mais cette équation étant du degré fi — 1, et l'équation zv- -f- t\i-\z • • - = 0 étant irréductible et que par conséquent t0 ne peut être égal à zéro, on doit avoir av- — 1 = 0, ce qui ne peut pas avoir lieu. On doit donc avoir

r = 0, r, = 0... 7Vj = 0.

Maintenant, ces équations ayant lieu, il est clair qu'on satisfera a l'équation pro-

-L J. JL J

posée en attribuant à pn toutes les valeurs ap", a*p* . . . am~ipn. On voit aisément, que toutes ces valeurs de y seront différentes entre elles; car dans le cas contraire on aurait une équation de la même forme que (5), mais nne telle équation conduit, comme on vient de voir, à des contradictions.

En désignant donc par y „ y,... y, les n racines de l'équation (I), on aura

» s. *-1 Vi = 9o + P" + 1%Vm + "

JL x ï±

y* = q<> + «pn + «•W • . • • + à*-lq^p -

y. = îo + a"lp" + • • • 4- «q~iP *

De ces n équations on tirera sans peine

= v (yi + «""'y. + «""V. • • • + «y.) ?^"=v (yi+a*^y.+a*^.- • • + «*.)

• = 4- (y» + °y« + «Va + «""'y»)

On voit par là, que toutes les quantités p", q0, q% . . . ' tions rationnelles des racines de l'équation proposée. En effet on a

„ =„n y«-f"-tty.+«-'tiy.-- + ^-,>tty- F ' (y. + «"y,+ «- y, • • • + y.)»1

Considérons maintenant l'équation générale du degré m

0 = a + «,* -j- flrT* • • • 4" o^jJ^"' -f- or" et supposons qu'elle soit résoluble algébriquement Soit