SOLUTION DE QUOLQ. PROBL. A L'AIDE D INTÉGRALES DEF

Considérons maintenant l'intégrale / — — r^. On a

Or y** e-^f'-^dt = ^|i *) , donc

i #ïn— 1

/ -S--^(2«)(i + ^+ âi-H—.);

mais d'après ce qui précède, on a

donc

Jo ^'-1

et par conséquent

2w r^ <«"-i(ft

^^jo «'-1

En mettant f^r au lieu de t^ on obtiendra enfin

Ainsi les nombres de BemouUi peuvent être exprimés d'une manière très simple, par des intégrales définies.

D'un autre côté on voit aussi, lorsque n est un nombre entier, que

l'expression / — ,,^ — t- est toujours rationnelle et égale à ^ A^^ ce qui est

assez remarquable. Ainsi on aura par exemple eu faisait w = 1, 2, 3 etc.

r* <<ft ^ J, .-*-l— 6'

* ^^rf^ ^1 AL = i

*) Cette expression se déduit de Féquation fondamentale ra= 1 da; (log J , en y faisant a = 2n et x-=.e-K Legend/rey Exercices de cale. int. t. I, p. 277.

SOLUTION DE QUELQ. PROBi;,. A L'AIDE D'INTEGRALES DÈV.

t^di

Maintenant à l'aide de ce qui précède, on pourra très facilement exprimer la fonction ^cpx par une intégrale définie. On a

(px

=fipx.dx-i<px-\-A,f-^^--A,j^^-l-^-\-...

En substituant les valeurs de A^^ A^j A^ etc., on aura

c'est-à-dire

Or

<^P^+-2-V- ih-^^-^--f72 -2^+1:^

«jp kc

On tire de là

Jtt

ç>|x+.-^-y=rî)<^L 4 V=:i

Cette valeur étant substituée dans l'expression de 2(px^ on obtient

(fx ^ (px.dx — i<p'^-^ I — ^

dt

Cette expression de l'intégi'ale finie d'une fonction quelconque me paraît très remarquable, et je ne crois pas qu'elle ait été trouvée auparavant. De l'équation précédente on tire

y(.+ |y ij y|.J.y ij

ât

— ^ = 2(px — I (fx.dx -\-'^(px.

24 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AU>E D'INTÉGRALES DÉF.

On a ainsi l'expression d'une intégrale définie, très générale. Je vais en faire voir l'application è' quelques cas particuliers. 1, Soit (px^^e"^. Dans ce cas on a

donc

e^ sni ,. ,

et par conséquent

* sin-f ^

Tu

----j- =e-'^e^ - e-yVcie + i;

mais -^<^' ^^ ~::;7f 7 ^^ j e'^dx-^e*^ donc

sm -r- «^ -

Si l'on fait yx-^e'"*, on obtiendra de la même manière

" Bin -— <ft

Si l'on met 2t à la place de /, on aura

'** Bintnt.dt e« + 1 1

formule trouvée d'une autre manière par M. Legendre. (Exerc. de cale, iilt. t. II, p. 189.)