DU CINQUIÈME DEGRÉ

Brochure imprimée chez Gnmdahl, Christiania 1824.

Les géomètres se sont beaucoup occup4s de la résolution générale des équations algébriques, et plusieurs d'entre eux ont cherché à en v prouver l'impossibilité; mais si je ne me trompe pas, on n'y a pas réussi jusqu'à présent. J'ose donc espérer que les géomètres recevront avec bienveillance ce mémoire qui a pour but de remplir cette lacune dans la théorie des équations algébriques.

Soit

y^ — ay^ -{-by^ — cy^ -\- dy — e^^O

l'équation générale du cinquième degré, et supposons qu'elle soit résoluble algébriquement, c'est-à-dire qu'on puisse exprimer y par une fonction des quantités a, ft, ^, d et e, formée par des radicaux. 11 est clair qu'on peut dans ce cas mettre y sous la forme:

m étant un nombre premier et ii, p^ p^^ p^ etc. des fonctions de la même forme que y, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des fonctions rationnelles des quantités a^ 6, c, d et e. On peut aussi supposer qu'il soit

impossible d^exprimer iî" par une fonction rationnelle des quantités a, h etc. Pi Pli Pi ^^'1 ^* ^^ mettant — ~ au lieu de E il est clair qu'on peut faire Pj = 1. On aura donc.

MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc 29

y IJ^ li- + jf., R- + . ., ^-y>,„ .., li

En substituant cette valeur de y dans l'équation proposée, on obtiendra en réduisant un résultat de cette fomie,

5^7 ?M 2« ^*^' étant des fonctions rationnelles et entières des quantités ff, ft, r, cZ, ^, y, />a 6*c. et ^. Pour que cette équation puiâse avoir lieu il

faut que ç ^^ 0, q^^=rz-.Ç)^ q^^=0 etc. ç„i = 0. En effet, en désignant li"" par z, on aura les deux équations

z" — /^--O et ^-|-2i25 + --- + î«-i2J'"~'-^0- Si maintenant les quantités q^ q^ etc. ne sont pas égales à zéro, ces équations ont nécessairement une ou plusieurs racines communes. Soit k le nombre de ces racines, on sait qu'on peut trouver une équation du degré k qui a pour racines les k racines mentionnées, et dans laquelle tous les coefficiens sont des fonctions ratioimelles de 7?, q^ q^ et ^m-i* S^^*

r -|- ri z -[- r 8 2* -|- • • • "h ^* ^ ^^ ^ cette équation. Elle a ces racines communes avec Téquation 2* — i? --0; or toutes les racines de cette équation sont de la forme a^z, a^ désignant une des racines de Téquatioti à!^ — 1-0. On aura donc en substituant les

équations suivantes,

r + riZ + r,z^ + ...+r,z*--0,

De ces k équations, on peut toujours tirer la valeur de z exprimée par une fonction rationnelle des quantités r, rj, r, etc. r;^, et connue ces quantités sont elles-mêmes des fonctions rationnelles de a, i, c, cZ, e, R . . . p^ p^ etc., il s'en suit que z est aussi une fonction rationnelle de ces dernières quantités; mais cela est contre l'hypothèse. Il faut donc que

q = 0, qi=^0 etc. 2^i^^0.

Si maintenant ces équations ont lieu, il est clair que l'équation proposée est satisfaite par toutes les valeurs qu'on obtiendra pour y, en donnant à

i?*" toutes les valeurs •

R"", aR"", a^R"", aUi"^, etc. «"-'»"*,

30 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc.

a étai\t mie racine de Téquatioii

On voit aussi que toutes ces valeurs de y sont différentes; car dans le cas contraire on aurait une équation de la même fonne que Téquation P --= 0, et une telle équation conduit comme on vient de le voir à un résultat qui ne peut avoir lieu. Le nombre m ne peut donc dépasser 5. En désignant donc par y^, y,, y,, y^ et y^ les racines de Téquation proposée, on aura

y, -p + R' -\-p^ li^ + . . . +jL>„i K - ,

De ces équations on tirera sans peine

^" — ^- (y. + «"-'y.+ • • • + «iy.X

On voit par là que p^ p^ etc. Pm-ii ^ et R"^ sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Considérons maintenant Tutie quelconque de ces quantités, par exemple R. Soit

En traitant cette quantité de la même manière que y, on obtiendra un

résultat pareil savoir que les quantités v", v^ S^ S^' etc. sont des fonctions rationnelles des différentes valeurs de la fonction R] et comme celles-ci

«ont des fonctions rationnelles de y^ y^ etc., les fonctions v", v, S^ S^ etc. le sont de même. En poursuivant ce raisonnement on conclura que toutes

MÉMOIUE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 31

les fonctions irrationnelles contenues dans l'expression de y sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Cela posé, il n'est pas difficile d'achever la démonstration. Considérons

d'abord les fonctiojis irrationnelles' de la fonne i?*", R étant une fonction

rationnelle de a, J, c, d et e. Soiti E'^-^r^ r est une fonction rationnelle Vil Vil 1/3 j y 4. 6* Vbj ^^ ^ ^^^ fonction symétrique de ces quantités. Maintenant comme il s'agit de la résolution de l'équation générale du cinquième degi'é, il est clair qu'on peut considérer yj, 1/2^ y^^ y^ et ^5 comme des

variables indépendantes; l'équation E'^^^r doit donc avoir lieu dans cette supposition. Par conséquent on peut échanger les quantités 2/i, ys? ^s? 1/4. ^* Ub entre

elles dans l'équation E'*-—r] or par ce changement E*^ obtient nécessairement m valeurs différentes en remarquant que E est une fonction symétriqUe. La fonction r doit donc avoir la propriété qu'elle obtient 7n valeurs différentes en pennutant de toutes les manières possibles les cinq variables qu'elle contient. Or pour cela il faut que w = 5 ou 7n = 2 en remarquant que m est un nombre premier. (Voyez un mémoire de M. Cauchy inséré dans le Journal de l'école polytechnique, XVII® Cahier). Soit d'abord ?Ai = 5. La fonction /• a donc cinq valeurs différentes, et' peut par conséquent être mise sous la forme

Pt pif p2'** étant des fonctions symétriques de yj, y^ etc. Cette équation donne en changeant yi en y^

P'i-piyi+p^.yl+P9iA+p*iA=^p + ^Piy^-^'^piyl--\-^P3iA

où •

nuiis cette équation ne peut avoir lieu; le nombre m doit par conséquent

être égal à deux. Soit donc

r doit avoir deux valeurs différentes et de signe contraire; on aura donc (voyez le mémoire de M. Cauchy)

R* ^r== o{i/i—y;) (j/t — y^) .-.{]/2 — î/a)-'- {!/* — >/i) = oS% 0 étant une fonction syinétiique.

32 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc.

Considérons nmîntenant les fonctions iiTatîonnelles de la Ibnne

P'i Pu j^a etc.,-K, Ml etc. étant des fonctions rationnelles de a, 6, c, cZ et c et par conséquent des fonctions symétriques de y^^ y^, y,, y^ et y^: Comme on Ta vu, on doit avoir vz:^iii=z etc. =^2, Ii=v^S^ li^zmvlS etc. La fonction précédente peut donc être misé sous la forme

Soit

r=^(p-\-PrS*]K

r. = (p-JhS^f, on aura en multipliant,

Si maintenant rr^ n'est pas une fonction symétrique, le nombre m doit être

égal à deux; mais dans ce cas r aura quatre valeurs différentes, ce qui est

impossible; il faut donc que rr^ soit une fonction symétrique. Soit v cette fonction, on aura

Cette fonction a m valeurs différentes, il faut donc que m = 5, en remarquant que m est un nombre premier. On aura par conséquent

?î Ïi7 tfa ^*^' étant des fonctions symétriques de ?/i, y^^ y^ etc. et par conséquent des fonctions rationnelles de a, i, c, rf et é?. En combinant cette équation avec l'équation proposée, on en tirera la valeur de y exprinjée par une fonction ratioimelle de z, a, 6, c, d et e. Or ime telle fonction est toujours réductible à la fonnc

où jP, H, I\^ I\ et P4 sont des fonctions de la fonne l^-^-piS^^ ^>, p^^ et S

étant des fonctions rationnelles de a, i, c, d et e. De cette valeur de y

on tire

MÉMOIRE suit LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 33

OÙ

Or le premier membre a 120 valeurs dift'érentes et le second membre seulement 10; par conséquent y ne peut avoir la fonne que noiLs venons de trouver; mais nous avons démontré que y doit nécessairement avoir cette forme, si Téquation proposée est résoluble; nous concluons donc

qu'il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation générale du cinquième degré.

Il suit innnédiatement de ce théorème qu'il est de même impossible de résoudre par des radicaux les équations générales des degrés supérieurs au cinquième.

L'INTEGRALE FINIE ^»r/.f EXI'RIMEE PAR UNE INTEGRALE DEFINIE