SIMPLE
Magazin for Natiirvidenskabcrne, Aargang III, Bind 2, Christiania 1825.
On peut comme on sait, au moyen du théorème^ de Parseval exprimer l'intégrale finie ^""(px par une intégrale définie double, mais si je ne me trompe, on n'a pas exprimé la même intégrale par une intégrale définie simple. C'est ce qui est l'objet de ce mémoire.
En désignant par (px une fonction quelconque de x^ il est aisé de voir qu'on peut toujours supposer
(1) ipx= f e^'^'fv.dv,
l'intégTale étant prise entre deux limites quelconques de v^ îiidépendantes de x. La fonction fv désigne une fonction de t', dont la forme dépend de celle de (px. En supposant Jx = 1 , on aura en prenant l'intégrale finie des deux membres de l'équation (1)
(2) 2:ipx=je"-J^dv,
OÙ il faut ajouter une constante arbitraire. En prenant une seconde fois rintégi'ale finie, on obtiendra
:S'<px=Je-^^,-^^y^dv.
En général on trouvera
(3) ^^^.^^je-j^^yjv.
L'INTÉGUALE FINIE 2'''tfx EXPRIMEE PAR UNE INTEGR. DEF. SIMPLE. '35
Pour compléter cette intégrale il faut ajouter au second ineinl)re une fonction de la forme
6', C'i, 6\ etc. étant des constantes arbitraires.
Il s'ao-it maintenant de trouver la valeur de l'intégrale définie / e'"^ 7 — - — :rT— dv.
» J (e'^—iy
Pour cela je me sers d'un théorème dû à M. Legendre (Exerc. de cale. int. t. II, p. 189), savoir que
j ^"+1 1 r* dt.^mvi
^ V— 1 ~" ^«^ Jo ^^■''— 1 '
On tire de cette écpiation ■
y*) ev i ^ 2 ' /„ eM' — l
En substituant cette valeur de — — . dans l'équation (2), on aura
^<^x znz Te*'" ^"^ dv — \ fe'^'fv .dv-\-2 Ç ^^^^-^f^'^fo • sin vt . dv.
L'intégrale 1 e''''fv.m\vf ,dv se 'trouve de la manière suivante. En remplaçant
dans l'équation (1) x successivement, par x-\-ty — 1 et x — t\f — 1, on obtiendra
(p{x — ty^^) = fe'''e-'''^-^fv . dv, d'où l'on tire, en retranchant et divisant par 2^ — ï,
Ainsi l'expression de JS(px devient
scpx = 1 cpx .dx-i(px-\- 2j^ ^^j^^--j n.^^y.^^L^\ L — i .
Maintenant pour trouver la valeur de l'intégrale générale
posons
(^Z-iy» — K—^) 1^0.» P -f- ^i,« -i^ -f- ^ï,» d^ i- • • • i- ^"-1," -J^ï;:ir
36 L'INTÉGRALE FINIE JF^yx EXPRIMÉE PAR UNE INTKOR. I)ÉF. SIMPLE.
OÙ p est égal à — — ^, ^o,»? -^i,n«" étant des coefïicieiis iiuniérîcjues qui doivent être déterminés. Si Ton différentie l'équation précédente, on a
Or
donc
ney 71 . n
-J^ïy^i ~ (^^•— T)^ ' "(^'«^— l)»+i '
Je^-ly^ = '^ (- 1)""' (A- i> + -4i.« |- + • . • 4- A-M -^;;;ï]
+ « (- l)"'(An + . P + ^..« + 1 -£- + •••+ A..+ 1 ^"rj •
En comparant ces deux expressions de -j-^ — ïT^+r ? ^^ ^^ déduit les équations suivantes :
-^«— l,n + l -^n— l,n "^ -^«-2,n ^- ^^n-l,n ~^ -^n— 2,nî
d'où Ton tire
A,n 1? ^hn ^ ^^ 7 -^2,n -2* - -^— ), -^g „
etc.
Cette dernière équation servira à détenniner les constantes qui rentrent dans les expressions de -4i„, A^^^ ^3,« ^t^*
Ayant ainsi déterminé les coefficiens Aq^j A^^^ A^^ etc., on aura, en
substituant dans l'équation (3) au lieu de j-^ — -jy,; sa valeur,
2:yx = (- ly-^fe-fv . dv (a,„ i> + A^„ t + • • • + A-.- ^^' ) ;
maintenant on a
L'INTÉGRALE FINIK S'^fx EXPRIMÉE PAR UNE INTÉGR DÉF SIMPLE. 37
d'où Ton tire en différentîant
dp ^ \9 f^ t cit, co» vt
~dv ~~1^~^ J^ 'e^^^-^f
d^p 2 ^ r^t^t.smvt
dc^
dy
2 ^ nt^dt.^mn 2.3 ^ r^t^dt.co&vt
donc en substituant
^vx=y(4,,..-j^-4.,..ifcii+...+(^i)-A...i-+(-i)-.i)«->.
+ 2(-l)-f'^S;^f-e-fi.dv+^-l)->JJ*^!^^e-fi,.dv.
De réquation (px =z 1 e''' fv , dv on tire en intégrant:
I (px.dx = I e'^'fv — ,
/ (px.dx^=L je'''' fv-^^
J (px.dx^=fe"'fv J^- etc.; de plus on a
/cos.^.V^..?.= ?(-^i+^-^^^^ donc on aura en substituant
-S" >x = ^„.i „ r^iy* V^. J:r"— ^„,,„ r(w— 1)^ " " (fX^x^'-'-l-. . . +(— iy~'f(px . cZx où
3S LINTÉGRALE FINIE ^"yaî EXPRIMEE PAK UNE INTÉGR. DÉF. SIMPLE.
En faisant p. ex. n = 2j on aura
gT" tdt y(ar-f<l/— l)+y(.r— <V— 1)
Soit p. ex. <px = e", on aura
donc, en substituant et divisant pai* e*",
Le cas le plus remarquable est celui oîi w=l. On a alors, connue on l'a vu précédemment:
En supposant que les deux intégrales ^(px et lipxdx s'annulent pour x=:a^ il est clair qu'on aura:
donc
Si l'on fait x = ooj en supposant que (fx et f (px.dx s'annulent pour cette valeur de Xj on aura:
(pa'-{' (p{a-\-l) -\- (p{a -\- 2) -\- (p{a'-\- S) -{-... in inf.
L'INTKGRALE FINIE :S''<fx EXPRIMEE PAK UNE INTÊGR. DÉF. SIMPLE. 39
Soit p. ex. (px = ~Yi ^^ aura
donc
et en faisant a=l
^ r i H~ i 4" iV "T TS" "T • • • "== "(3 " =^ i I ^ / (^•'<'~T) (r+ t^y '
