TRANSCENDANTES

Présenté k la société royale des sciences à Throndhjem le 22 mars 1826. Imprimé dans Det kongelige

norske Videnskabers Selskabs Skrifter t. 2. Throndhjem 1824 — 1827.

Considérons l'intégrale

/qdLc x — a

q étant une fonction de x qui ne contient pas a. En différentiant p par rapport à a on trouve

dp (la

/qdiC

Si maintenant q est choisi tel que / . -- — .y prisse être exprimé par Tinté-

— — 5 on trouvera une équation différentielle linéaire entre p et a X a

d'où Ton pourra tirer p en fonction de a. On obtiendra ainsi une relation entre plusieurs intégi'ales prises les unes par rapport à x, les autres par rapport à a. Comme on est conduit par ce procédé à plusieurs théorèmes intéressants, je vais les développer pour un cas très étendu où la ré-

~— .g est possible, savoir le cas où Ton

a q =^ (px.e-^""^ fx étant une fonction algébrique rationnelle de x^ et (px étant déterminé par Téquation

(px = k{x-]- ay {x + «y {x 4- a'Y . . . . (^ + cc^'Y^^

PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 41

OÙ «,«',«"... sont des constantes, /9, ft\ ft" ... des nombres rationnels quelconques. Dans ce cas on a

/* €-f^(px . dx x — a

dp Ç e/'ffx . dx

da J (x — a) ^

La dernière de ces intégrales peut être réduite de deux manières.

a) Si Ton différentie la quantité — on trouve

e^^rpx.dx ^. {e^^(p'x -\- e^^f'x . çfx) dx , / e^^rfx \

En intégrant cette équation de sorte que les întégi-ales s'annulent pour ic = c, on obtient

/e^^ ifx . dx eS^ ifx e^^ (fc .^ Çe-f^ {(f'x -\- (px . /'j?) dx (x — a)* a — X a — ^ J '*^ — ^

Si Ton différentie Texpression de (px on obtient

OÙ la somme doit être étendue aux valeurs j> == 0, 1, 2, 3 ... ». On tire de là

x — a ^ (.« 4- aà») (x — a) ^ '

or on a

"(x'+ «W)"(7^"^ — ~ (^ -| «W) (a + aW) + (^ „) {a -j- aû-^) ' donc

.V— a ~" ^"^^ ^ (.c + a^^) (a + «W) l" a; — a a + aW '

Considérons maintenant la quantité — • Connue fx est une fonction rationnelle de x on peut faire

42 PETITE CONTRIBtJTION A LA THKORIE DE QUEI.Q. FONCT. TKANSt'ENI).

la soiniiie étant étendue à toute valeur entière de j!>, et [i^^'^ désignant un nombre entier. En diflférentiant on obtient

donc

Or on a

- "--' = xf--'4- ax'-' + . . . + a^'x^-^'-^ + . . . + «''"' + '"- '- .

donc

X ~~^ CL X Cl

Pour rédmre 1 expression ^ , , . posons

^ (^a! — a)(x-^€(PY^^ + ^ ^

'(.;:-:"^)'(^-irc')'» ~ x — a « u? + c • (^ + 6')=* i" ••• • r (^ + c)« '

si Ton multiplie de part et d'autre par x — a, et qu'on lasse ensuite x = a^ on obtient

Pour trouver A^ on multiplie les deux membres de l'équation par (x-|-c)", x — a ~ \ X — a "^ T4^" + • • • + (^'"^p--î) (* + <')'

puis on différentie wi — p' fois de suite, ce qui donne

(- 1)-' -"(i ~;)ï,^i^'^ ={x~\-c)Ji-^1.2.3...{m-j/)A^

En faisant x = — c, on tire

donc

PETITE CONTRIBUTION A LA THKORIE DE QUELQ. PONCT. TRANSÇEND.

Eu écrivant maintenant é^^ au lieu de c^ i/^^-j-l aw lieu de r/2, et multipliant par fi^^^â^^^ on a

(^ a) (.r + €(p;)/'^''^ + i (a + £(p^)/>^+i(j. a) (a + £(P^)-"^^-^'+^(.r + e(PY '

^(pU)(p>

(jr — a) (.r + «(P^)^^''^ + i j- — a (a + €(p))a*^''^+i

(a + £rp;)^^''^-P'+2 (.r 4- €^^)p'

En substituant dans Texpressîon de -^— '- cette valeur, de même que celle

trouvée plus haut pour ^py^^^ , on obtient

^pr^^^a^'' —

fA(P)d(P)

+ 2;:2:py(''^a''x'^^'-^ -\- 2:2:

(a | e(p))f^^^'+^(x + e(PY

Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par (px, et qu'on remarque que le coefficient de est égal à f^a' on a

py^^a''x^-'^''-^^ifx

lii(p)d(p>

En y ajoutant la valeur trouvée pour ^ ' , multipliant ensuite par e^'^dx et intégrant, on en tire

M «î* ' (l \ iliX I j X — — rt 1/

^0»; CeS^ffx.dx, ^^ fi(p)3(P) Cef'ifx.dx

a-\-a(pJ x+a(P^ ' ^ ^^ e^^!!'^^-^^ J ~(7^^^^

, 1, . , r€-^'(fx,dx dp , ,

ur dans 1 expression de / ?- -— ^i ^^ ";v ? ^* ^^ "^

on trouve

^rp; r€f'cp.r,dx ,

(a + €rp))A*

/e-^'q>x ,dx